【教案】平面几何中的向量方法 教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7/7§6.4.1平面几何中的向量方法一、内容和内容解析内容：平面几何中的向量方法．内容解析：本节是高中数学人教A版选必修2第六章第4节的内容．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用”向量和向量运算“来替代”数和数的运算“.通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.二、目标和目标解析目标：（1）会用向量方法解决简单的几何问题,培养数学抽象的核心素养．（2）体会向量在解决几何问题中的作用，提升数学建模的核心素养．目标解析：（1）研究平面几何常用的是综合法，但综合法具有较大的思维难度，因此需要寻找新的研究几何的工具，以便更好的把握几何图形的性质和规律.向量法处理几何问题的基本思路是：先把几何图形中的元素用向量表示，再借助于向量的运算研究图形中几何元素之间的关系，然后把向量运算的结果翻译成平面几何的形式.（2）用向量法研究平面几何问题的过程即用向量方法解决几何问题的“三步曲”，学生很难短期内对此有深入的认识．因此，通过一些实例形象直观的表示是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面几何中的向量方法的教学中，从具体的实例归纳概括一般的平面几何问题是进行数学抽象教学的很好机会；同时也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：用向量方法解决几何问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：用向量方法解决简单的几何问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：老瓶装新酒，证明学生熟悉的定理、结论，降低了思考问题的难度，感受向量法的优势.借此进一步明确向量法解决几何问题的“三步曲”．基于上述情况，本节课的教学难点定为：能够将几何问题转化为平面向量问题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生能够用向量的方法解决平面几何问题，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用小组讨论，代表发言的形式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视向量法解决几何问题的“三步曲”，让学生体会到数学思想方法的应用，同时，平面几何问题的解决过程其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾情境引入[问题1]要判断AB⊥CD,从向量的角度如何证明?[问题2]怎样用向量的方法证明AB∥CD?[问题3]如何利用向量方法求直线AB与CD所成角?[问题4]如何利用向量的方法求线段的长度?教师1：提出问题1．学生1：证明,即即可．教师2：提出问题2．学生2：要证明AB∥CD,证明即可,同时注意AB,CD是否共线.教师3：提出问题3．学生3：根据数量积公式先求出与所成角,若是锐角或直角即为直线AB,CD所成角,若是钝角,其补角即为直线AB,CD所成角.教师4：提出问题4．学生4：根据向量的有关运算,求出对应向量的模,即为线段的长度..通过复习前几节所学知识，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探寻规律获得结论师生共同总结：1.用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系．2.用向量方法解决平面几何问题的两个基本方法：①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．通过思考，总结用向量方法做几何问题的步骤，提高学生分析问题、概括问题的能力.典例分析巩固落实1.利用平面向量证明垂直问题例1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.2.利用平面向量求几何中的长度、角度问题例2.（1）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.(2)已知矩形ABCD，AB＝eq\r(3)，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，求∠EAC的大小．3.平面几何中的平行(或共线)问题例3.如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).[课堂练习]1.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB，求证：AC⊥BC.2.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点，则cos∠BDC＝()A．－eq\f(7,25)B.eq\f(7,25)C．0D.eq\f(1,2)教师5：完成例1．学生5：设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.学生6：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2).因为eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0.所以eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.教师6：完成例2．学生7：（1）设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，而|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).学生8：（2）如图，建立平面直角坐标系．则A(0,0)，C(eq\r(3)，1)，E(eq\f(\r(3),3)，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),3)，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝2.cos∠EAC＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(AE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2×\f(2\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).∵0<∠EAC<eq\f(π,2)，∴∠EAC＝eq\f(π,6).教师7：完成例3．学生9：点E，O，F在同一直线上.证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝m，eq\o(AD,\s\up6(→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n.∴eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→)).又O为eq\o(FO,\s\up6(→))和eq\o(OE,\s\up6(→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上.教师8：布置课堂练习1、2．学生10：完成课堂练习，并核对答案．通过例题让学生了解用向量方法证明几何问题，提高学生的解决问题、分析问题的能力.课堂小结升华认知[问题5]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定2．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D．43.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．4．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过