高三数学课件：第四章第一节平面向量的概念及其线性运算

第四章

平面向量、数系的扩充与复数第一节平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念(1)定义：既有______又有_____的量.(2)表示方法：用_________来表示向量.有向线段的长度表示向量的_____，用箭头所指的方向表示向量的______.用a,b,或用来表示.(3)模：向量的_____叫做向量的模，记作|a|,|b|或大小方向有向线段大小方向长度【即时应用】(1)请写出高中物理中的三个向量______________.(2)判断下列命题的真假：(请在括号中填写“真”或“假”)①向量的大小是实数()②向量可以用有向线段表示()③向量就是有向线段()④向量的长度和向量的长度相等()【解析】(1)由向量的定义可知，物理中的速度、力、加速度等都为向量.(2)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实数，故①为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度为向量的大小，有向线段的方向为向量的方向，所以②为真；③为假；

与

是大小相等、方向相反的向量，故④为真.答案：(1)速度、力、加速度(答案不唯一)(2)①真②真③假④真2.特殊向量(1)零向量：长度为__的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向_______.(2)单位向量：长度为________的向量.(3)共线向量：方向相同或______的向量叫做共线向量，共线向量也叫做_____向量；规定：零向量与任何向量共线.(4)相等向量：长度_____且方向_____的向量.(5)相反向量：长度_____且方向_____的向量.0不确定1个单位相反平行相等相同相等相反【即时应用】(1)判断下列命题的真假：(请在括号中填写“真”或“假”)①若a与b平行，则b与a方向相同或相反()②若a与b平行同向，且|a|>|b|,则a>b()③|a|=|b|与a、b的方向没有关系()(2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________.【解析】(1)①假，当a为零向量时，方向是不确定的.②假，向量不能比较大小.③真，向量a与b的模相等，即长度相等，与方向无关.(2)这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆.答案：(1)①假②假③真(2)圆3.向量的加法与减法向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算_______法则

___________法则(1)交换律:a+b=____.(2)结合律:(a+b)+c=________.三角形平行四边形b+aa+(b+c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差_______法则三角形【即时应用】(1)下列命题是否正确(请在括号中填“√”或“×”)①()②()③()(2)若菱形ABCD的边长为2，则||=_________.【解析】(1)①不正确.因为②正确.因为③正确.因为(2)||=||=||=2.答案：(1)①×②√③√(2)24.向量的数乘与共线向量定理(1)向量的数乘①长度|λa|=________②方向当λ>0时，λa的方向与a的方向_____；当λ<0时，λa的方向与a的方向_____，当λ=0时，λa=__,其方向是任意的.|λ||a|相同相反0(2)向量的数乘的运算律设λ,μ为实数，则①λ(μ

a)=_________;②(λ+μ)a=___________③λ(a+b)=___________.(3)共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得________.(λμ)aλa+μa；λa+λbb=λa【即时应用】(1)思考：在共线向量定理中，当a=0时，λ还唯一吗？提示：当a=0且b=0时，λ可以为任意实数，不唯一，当a=0且b≠0时，λ不存在.(2)填空:①8(a+c)+7(a-c)-c=__________.②③设两非零向量e1,e2不共线，且k(e1+e2)∥(e1+ke2)，则实数k的值为____________.④点C在线段AB上，且【解析】①原式=8a+8c+7a-7c-c=15a-0c=15a②原式=③由题意知，k(e1+e2)=λ(e1+ke2)⇒(k-λ)e1=(λk-k)e2又∵e1与e2不共线,∴即k=0或1.④∵∴答案：①15a②③0或1④热点考向1平面向量的有关概念1.平面向量的概念辨析题的解题方法向量有关概念的辨析题多出现在选择题或填空题中，解答时准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别要掌握好相等向量；零向量的长度为0，方向不确定等知识，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.2.几个重要结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)平行向量与起点无关.【例1】已知下列命题：①单位向量都相等②若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量③两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同④由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行⑤如果a=b,b=c,则a=c⑥如果|a|=|b|，则a与b的方向相同.其中不正确的命题是______(请把不正确的命题的序号都填上).【解题指南】以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确.【规范解答】各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故①不正确；当b=0时，a与c可以为任意向量，故②不正确；两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故③不正确；规定0与任意向量平行，故④不正确；如果a、b、c都为零向量，则a=c,如果a、b、c为非零向量，则它们的长度都相等、方向相同，所以a=c,故⑤正确；⑥不正确.答案：①②③④⑥【反思·感悟】平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复习时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生活中的模型进行类比和联想来记忆.【变式训练】给出下列命题:(1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.(2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.(3)λa=0(λ为实数),则λ必为零.(4)λ,μ为实数,若λa=μb，则a与b共线.其中错误命题的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选C.(1)错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.(2)正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.(3)错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.(4)错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时a与b可以是任意向量.热点考向2平面向量的线性运算1.平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则.2.两个重要结论(1)向量的中线公式：若P为线段AB中点，则(2)向量加法的多边形法则【提醒】当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用.向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了.【例2】(1)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()(2)(2013·泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，且那么一定有()(3)(2013·福州模拟)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=_______.【解题指南】(1)利用平面向量的线性运算并结合图形求解．(2)将向量分解为以点P为起点的两向量的差，然后化简即可.(3)结合图形，利用平行四边形法则及向量平移即可得出.【规范解答】(1)选A.∴即(2)选D.由题意得即(3)令a=则由平行四边形法则作出向量

再平移即发现a=答案：【变式训练】在△ABC中，若点D满足则＝()【解析】选A.∵∴∴∴【变式备选】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为BF、DE的交点，若试用a,b来表示

.【解析】

连接BD，因为G是△CBD的重心，所以热点考向3共线向量定理的应用【方法点睛】1.共线向量定理及应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值.(2)若a,b不共线，则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.2.证明三点共线的方法若则A、B、C三点共线.

【例3】已知a,b不共线，设t∈R，如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.【解题指南】先假设存在，再用a,b表示目标向量，最后判断是否有成立即可.【规范解答】由题设知，=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a,b不共线，所以有解之得t=.故存在实数t=使C，D，E三点在一条直线上.【反思·感悟】1.注意待定系数法在解决此类问题中的重要作用.其中的k只是桥梁，可设而不求.2.本例中应用待定系数法求t的值时，不可忽视a,b不共线的条件.【变式训练】设e1与e2是两个不共线的非零向量，若向量

=3e1-2e2,试证明：A、C、D三点共线.【证明】∵∴共线，∴A、C、D三点共线.【变式备选】设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，

(a＋b)三向量的终点在一条直线上？【解析】设

(λ∈R)，化简整理得：∵a与b不共线，∴故t=时，a,tb,(a+b)三向量的终点在一条直线上．

1.(2013·福州模拟)在平面上有A，B，C三点，设m＝n＝若m与n的长度恰好相等，则有()(A)A，B，C三点必在一条直线上(B)△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角(C)△ABC必为直角三角形且∠B为直角(D)△ABC必为等腰直角三角形【解析】选C.如图，以为邻边作平行四边形ABCD，则由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形ABCD一定是矩形．∴选C.2.(2013·南平模拟)