重庆科创职业学院01-2数制编码与逻辑代数

第一章数制编码与逻辑代数

——第二部分逻辑代数1.4逻辑代数

1.4.1基本逻辑

1.4.2基本逻辑的运算规则

1.4.3基本逻辑函数及其表示方法

1.4.4逻辑函数的基本公式和定律

1.4.5逻辑函数的三个规则

1.4.6逻辑函数化简常用公式

1.4.7逻辑函数的公式化简法1.5逻辑函数的卡诺图化简方法

1.5.1逻辑函数的标准与或式

1.5.2图解法（卡诺图法）

1.5.3包含无关项的逻辑函数的化简1.4逻辑代数基本概念

逻辑：事物的因果关系 逻辑运算的数学基础：逻辑代数 在二值逻辑中的变量取值：

0/11.4.1基本逻辑

与（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；

以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；

三种电路的因果关系不同：与条件同时具备，结果发生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY0000100011或条件之一具备，结果发生Y=AORB=A+BABY0000110111非条件不具备，结果发生

AY01101.4.2基本逻辑运算的运算规则记好八字口诀：与：有0则0，全1则1

或：全0则0，有1则1推导一般形式：A·1=()A·0=()A·A=()A+1=()A+0=()A+A=()AA01AA10A一、基本逻辑运算的运算规则二、几种常用的复合逻辑运算与非 或非 与或非异或Y=ABABY0000110110同或Y=A⊙BABY0010100011异或和同或运算相关结论A⊙0=()A⊙1=()A⊙A=()A⊙A=（）A⊕B=A⊕B=A⊙B=A⊙BA⊙B=A⊙B=A⊕B=A⊕B01AA⊕0=()A⊕

1=()A⊕

A=()A⊕

A=（）A10一逻辑函数（逻辑表达式）Y=F(A,B,C,······)

若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。注：在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值：0/1。1.4.3逻辑函数及其表示方法常量，原变量，反变量？二、逻辑函数的表示方法真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换真值表输入变量ABC····输出Y1Y2

····遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值逻辑式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。卡诺图EDA中的描述方式

HDL(HardwareDescriptionLanguage)

VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)

VerilogHDL EDIF DTIF

。。。

举例：举重裁判电路ABCY00000010010001101000101111011111各种表现形式的相互转换：真值表逻辑式例：奇偶判别函数的真值表A=0,B=1,C=1使

A′BC=1A=1,B=0,C=1使AB′C=1A=1,B=1,C=0使

ABC′=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以

Y=?ABCY00000010010001111000101111011110真值表逻辑式：找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些变量相加即得Y。把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。逻辑式逻辑图2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。波形图真值表从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值，将输入、输出取值对应列表输入变量的取值与对应输出值按照时间顺序依次排列起来1.4.4逻辑函数的基本公式和定律一基本公式根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式证明方法：推演真值表序号公式序号公式101′

=0;0′=110

A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A变量与常量的关系结合律交换律分配律反演律重叠率此页中′符号表示取非运算。公式（17）的证明（公式推演法）：序号公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C吸收律还原律冗余律此页中′符号表示取非运算。1.4.5逻辑函数的三个规则一代入规则在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。应用举例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)？应用举例：式（8）？因此也可以推得（式中M为任意表达式）：二反演规则等式中

•

＋

＋

•0

1

1

0原变量反变量反变量原变量2个或2个以上变量的非号照写

常量：运算符：

⊙⊕⊕⊙保持运算优先顺序不变得到原函数的反函数表达式例2求F=A+B+C+D+E的反演CF的反演=•D

•

•EAB•注意：不是单个变量上的反号应保持不变例1求

F=AB+

•C•D+0的反演F的反演=(A+B)•(CD

+)

•1例3：三对偶规则等式中0

1

1

0变量不变

常量：

•

＋

＋

•运算符：

⊙⊕⊕⊙2个或2个以上变量非号照写

保持运算优先顺序不变得到原函数的对偶函数表达式例1求F=A•(B+C)的对偶式F’F’=A+B•C例2求F=A•+A(0+C)的对偶式F’BF’=（A+•(A+1•C)B）例3F=A•B•C求的对偶F’

F’=A+B+C

对偶规则应用举例性质推理①：F与F’

互为对偶②：两个逻辑式相等，它们的对偶也一定相等（意义：逻辑函数基本公式的扩展，等式证明和化简中简化复杂的乘积项展开过程）A+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)例

A•(B+C+D)=AB+AC+AD对偶对偶1.4.6逻辑函数化简常用公式吸收律还原律冗余率冗余扩展一、最简的概念一个逻辑函数有多种不同的表达式F=AB+AC=AB+AC=(A+B)+(A+C)…..与或式…..与非/与非式…..或/与非式…..或非/或式=(A+B)•(A+C)=(A+B)•(A+C)=(A+B)+(A+C)=A•B+A•C=AB•AC…..或与式....或非/或非式…..与/或非式…..与非/与式=AB•ACF=(A+B)•(A+C)1.4.7逻辑函数的公式法化简同一类型的表达式也不是唯一的F=AB+AC=AB+AC+BC=ABC+ABC+ABC+ABC………..①………..②………..③

+F1

+F3

+F2

F1最简，元件少，可靠化简方法

代数法卡诺图法目的：①降低成本②提高可靠性逻辑函数的最简形式最简与或

------包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。1、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。

若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。二、逻辑函数的代数化简法运用摩根定律运用分配律运用分配律2、吸收法如果某乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。运用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的变量。

如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。3、配项法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。（3）利用公式ＡB＋ＡC+BC＝ＡB+AC，为某项配上其所能合并的项。4、消去冗余项法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，将冗余项ＢＣ消去。——公式＋技巧例1F=A+ABC+ACD+CE+DE=A+ACD+CE+DE=A+CD+CE+DE=A+CD+E(C+D)=A+CD+ECD=A+CD+E反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。

×例2F=AB+AC+BC+BC+BD+BD+ADE(F+G)=A+BC+BC+BD+BD+ADE(F+G)=A(BC)+BC+BC+BD+BD+ADE(F+G)=A+BC+BC+BD+BD+CD=A+BC+BC+BD+BD+CD=A+BC+BC+BD+CD×=A+BC+BD+CD×例3F=(B+D)(B+D+A+G)(C+E)(C+G)(A+E+G)F’=BD+BDAG+CE+CG+AEG=BD+CE+CG+AEG=BD+CE+CG(F’)’=(B+D)(C+E)(C+G)例4F=A+AB+AC+BD+ACEF+BE+DEF=A+C+BD+BE归纳：

优点是——不受变量数目的约束；当对公理、定理和规则十分熟练时，化简比较方便。

缺点是——没有一定的规律和步骤，技巧性很强，而且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。公式法化简法

一、最小项m：m是乘积项包含n个因子n个变量必以原变量和反变量的形式在m中出现一次且只出现一次对于n变量函数有2n个最小项1.5.1逻辑函数的标准与或式

逻辑函数的两种标准形式

最小项之和-与或式最大项之积-或与式1.5逻辑函数的标准与或式最小项举例：两变量A,B的最小项三变量A,B,C的最小项最小项的编号：最小项取值对应编号ABC十进制数0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。③全部最小项的和必为1。ABCABC②任意两个不同的最小项的乘积必为0。④两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。二、最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1

。任何两个最小项之积为0

。两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。

------相邻：仅一个变量不同的最小项如三、标准与或式——逻辑函数最小项之和的形式

求取方法1：例：利用公式可将任何一个函数化为标准与或式——逻辑函数最小项之和的形式：例：利用公式可将任何一个函数化为标准与或式——逻辑函数最小项之和的形式：例：利用公式可将任何一个函数化为标准与或式——逻辑函数最小项之和的形式：例：标准与或式——逻辑函数最小项之和的形式：

求取方法2：利用真值表——使函数值为1的变量取值对应的最小项之和如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。m1＝ABCm5＝ABCm4＝ABCm2＝ABC将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。一、用卡诺图表示逻辑函数所有最小项1、卡诺图的构成

将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。

2、卡诺图的特点

卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。1.5.2图解法——卡诺图法每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的3、最小项的卡诺图表示每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻二、用卡诺图表示逻辑函数（1）将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式）；

（2）根据逻辑式中的变量数，画出变量的卡诺图；（3）在卡诺图上将函数表达式中出现最小项对应的方格内填入1，其余的方格内填入0或不填。1、用卡诺图表示逻辑函数的步骤：m1m3m4m6m7m11m14m15变换为与或表达式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子

说明：如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，则对Ｙ中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。2、卡诺图的性质（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。ＡＤＢＤＢＤ

相邻最小项的数目必须为个才能合并为一项，并消去n个变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。小结三、逻辑函数的卡诺图化简法1、用卡诺图化简逻辑函数的方法和步骤：1）、画出逻辑函数的卡诺图；

2）、合并卡诺图中的相邻最小项（即将卡诺图中相邻的1方格画在一个圈中）；

3）、将合并化简后的各与项进行逻辑加，便求得逻辑函数的最简与--或式。逻辑表达式或真值表卡诺图112、化简示例合并最小项①圈越大越好，但每个圈中标１的方格数目必须为个。②同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。③不能漏掉任何一个标１的方格。最简与或表达式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余项2233将代表每个圈的乘积项相加两点说明

①在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最简ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最简

②在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ约束项任意项逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。在逻辑函数中，对输入变量取值的限制（即不允许出现这些输入变量取值），在这些取值下为1的最小项称为约束项。在输入变量某些取值下，函数值为1或为0不影响逻辑电路的功能，在这些取值下