ch12-1多元函数积分的概念性质

第十二章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分多元函数的积分及其应用三、多元函数积分的性质第一节一、引例二、多元函数积分的概念多元函数积分的概念与性质

第十二章解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为

n

个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M

.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D

为n

个小区域相应把薄片也分为小区域.2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量3.变密度空间立体的质量计算设有空间立体Ω,其密度为μ=μ(x,y,z)(μ=μ(x,y,z)在Ω

上连续),计算立体Ω

的质量m1)“大化小”:将Ω

划分成至多只有公共边界面的n个空间子区域:则有当充分小时,则μ=μ(x,y,z)在上近似于常数(即近似于不变)任取,则在上当时,2)“常代变”3)“近似和”4)“取极限”4.设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量M.其中,表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).这些问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:空间立体的质量:曲面薄片的质量:二、多元函数积分的概念定义:设为一个有界的几何形体（可以是平面区域、空间立体、曲线弧段、空间曲面）.它是可以度量的（即可以求长度或面积或体积），函数f(P)

是定义在上的一个有界函数（数量值的）.将任意划分为n个小部分并仍用表示每一个小部分的度量。在每一个小部分上任取一点，作乘积，并作和式（也称为黎曼和式）记

为子区域

的直径,如果不论对怎样划分，不论点在中怎样选取，极限存在并且为同一个值，则称函数f(P)在上可积，并称此极限值为多元函数f(P)在几何形体上的积分（黎曼积分），记作其中

f(P)被称为被积函数，被称为被积表达式（或积分微元），称为积分区域。引例1中曲顶柱体体积:引例2，3，4中形体的质量:A、二重积分定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点是定义在有界区域D上的有界函数,作和式记d(Δσk)为子区域Δσk

的直径,(其面积也记

),可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作若存在一个常数I,使说明:(1)若f(x,y)在D

上可积,则积分和的极限与划分无关引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:(2)如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作(3)二重积分的几何意义:(a)若

,则表示以D为底,曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积(b)若

,则即表示由D与z=f(x,y)所成曲顶柱体体积的负值(c)对于一般的函数f(x,y),表示这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和(xoy平面上方的取正值,xoy平面下方的取负值)(4)二重积分值与积分变量名称无关定义.设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作B、三重积分说明:(1)空间立体的质量:(2)空间立体的体积:设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对的任意分割局部的任意取点,C.第一型曲线积分下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一型曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对如果L是xoy

面上的曲线弧,如果L

是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx

可能为负.(3)第一型曲线积分的几何意义设f(x,y)0,记以L为准线,母线平行于z轴的柱面与曲面z=f(x,y)的交线为L1f(x,y)ds表示介于L与L1

之间小细条的面积,与L1

之间的曲面面积:所以介于L定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一型曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.D.第一型曲面积分当曲面为封闭曲面时，习惯上记为据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为定理1(可积的必要条件).多元函数积分存在定理:(证明略)定理2（可积的充分条件）.若函数上可积.在有界几何形体则在上有界.若函数在上可积.在有界闭区域上连续,则三、多元函数积分的性质(k

为常数)（齐次性）（关于被积函数的可加性）除边界外无公共点）（关于积分域的分域性质）（关于被积函数的线性运算性质）(α和β为常数)特别,由于则4.（保序性）若在上5.（估值定理）设在积分区域上||

表示的度量，则有6.(多元函数积分的中值定理)证:

由性质5可知,由连续函数介值定理,至少有一点在有界闭区则至少存在一点使使域上连续,因此7.多元函数积分值与积分变量名称无关。例3.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上被积函数相同,且非负,解:由它们的积分域范围可知（