(第四章)高等混凝土结构-长安大学-硕士课程

第四章

受弯截面弹塑性全过程分析30Oct,20061AdvancedConcreteStructures

§4.1弹性分析4.1.1第Ⅰ阶段（开裂前）计算图式：30Oct,20062AdvancedConcreteStructures

（一）基本方程1.平衡条件（4-1）（4-2）2.变形条件（4-3）（4-4）根据平截面假定：30Oct,20063AdvancedConcreteStructures

3.物理条件（4-5）（4-6）

6个独立方程，13个参数，即如果已知其中的任意7个，便可解出其余6个未知数。30Oct,20064AdvancedConcreteStructures

（二）中性轴位置将式(4-3)、(4-4)分别代入式(4-5)、(4-6)得：再将式(4-7)、(4-8)代入式(4-1)得：（4-7）（4-8）即：（4-9）由式（4-9）即可求得x的值，也即确定了中性轴的位置。30Oct,20065AdvancedConcreteStructures

特别地,对于矩形截面，b为常数，则由式（4-9）可得：即：（4-10）（4-10a）式中：(纵向配筋率)30Oct,20066AdvancedConcreteStructures

式(4-10a）说明：①在第Ⅰ阶段，中性轴位置与M无关,且为常数。②值略大于而接近于0.5，中性轴偏于受拉区，若为纯砼截面，则

（三）换算截面（4-12）（4-13）其中：x按（4-10）式确定。30Oct,20067AdvancedConcreteStructures

（四）弯矩曲率关系（即内力与变形的关系）将式（4-7）、式（4-8）代入（4-2）式得：（4-14）曲率的单位是：或者，且，为曲率半径。30Oct,20068AdvancedConcreteStructures

（五）抗弯刚度定义式：

将（4-14）式代入上式得：B的单位为：或(4-15)30Oct,20069AdvancedConcreteStructures

（六）弯矩与应力的关系

将式（4-14）变形得φ的表达式，再代入（4-7）式得：（4-16）由物理条件，变形条件及（4-14）式得：（4-17）30Oct,200610AdvancedConcreteStructures

4.1.2第Ⅰ阶段末（即将开裂）

在第Ⅰ阶段末，截面即将开裂，也就是说，受拉边缘的砼拉应力达到其抗拉强度，裂缝即将出现，此时的弯矩称为RC开裂弯矩，记为，可由式（4-16）确定：则（4-18）其中：由（4-10）式确定。30Oct,200611AdvancedConcreteStructures

4.1.3第Ⅱ阶段（开裂后）计算图式与第Ⅰ阶段相比有所变化:（受拉区砼退出工作）30Oct,200612AdvancedConcreteStructures

（一）基本方程1、平衡条件（4-19）（4-20）2、变形条件（4-3）（4-4）3、物理条件（4-5）（4-6）30Oct,200613AdvancedConcreteStructures

（二）中性轴的位置将变形条件，物理条件代入式（4-19）得：（4-21）由式（4-21）即可求得中性轴的位置x。可知：x仍为常数，与M无关。由式(4-22)求得的x远小于式（4-10a）求得的x，说明受拉区砼开裂时，中性轴突然上升，往受压区移动，使得x减小，这是一个非常重要的物理现象。对于矩形截面，b为常数，则由式（4-21）可得：（4-22）30Oct,200614AdvancedConcreteStructures

（三）换算截面（4-23）（4-24）对于矩形截面，b为常数，则（4-24a）

其中，x按（4-22）确定。（四）

与前式（4-14）、（4-15）、（4-16）、（4-17）相同，只不过式中I0应按式（4-24）计算。30Oct,200615AdvancedConcreteStructures

4.1.4第Ⅱ阶段末（纵筋屈服）（4-25）其中：按式（4-21）计算。30Oct,200616AdvancedConcreteStructures

§4.2受弯截面弹塑性分析平衡条件，变形条件与弹性分析时相同，物理关系不用虎克定律的线弹性模型，而采用与实验结果较为吻合的本构关系，即砼本构关系（拉、压）采用非线性模式（二次抛物线）。30Oct,200617AdvancedConcreteStructures

4.2.1第Ⅰ阶段（开裂前）计算图式：30Oct,200618AdvancedConcreteStructures

（一）基本方程1.平衡条件（4-1）（4-2）2、变形条件（4-3）（4-4）30Oct,200619AdvancedConcreteStructures

3.物理条件

a．砼受压—二次抛物线(4-26)30Oct,200620AdvancedConcreteStructures

b．砼受拉—二次抛物线

(4-27)30Oct,200621AdvancedConcreteStructures

c．钢筋受拉（压）（理想弹塑性）30Oct,200622AdvancedConcreteStructures

（二）中性轴位置将变形（相容）条件代入物理条件得：压区砼：

拉区砼：拉区钢筋：（4-28）（4-29）（4-30）30Oct,200623AdvancedConcreteStructures

再将式（4-28、4-29、4-30）代入式（4-1）得：（4-31）上式为x的一元三次方程，已知材料性能几何尺寸b、h、h0、As，曲率

，则可求解受压区高度。30Oct,200624AdvancedConcreteStructures

（三）

关系将变形条件代入物理条件，再代入式（4-2）得：（4-32）式中：由式（4-31）确定。由式（4-32）可知：为非线性关系。30Oct,200625AdvancedConcreteStructures

（四）抗弯刚度由，将式（4-32）代入该式得（4-33）B不再是常数，与及有关，且为的非线性式。30Oct,200626AdvancedConcreteStructures

（五）钢筋和砼的应力按（4-28～30）进行计算。压区砼：

拉区砼：拉区钢筋：（4-28）（4-29）（4-30）30Oct,200627AdvancedConcreteStructures

4.2.2第Ⅰ阶段末（即将开裂）计算图式：30Oct,200628AdvancedConcreteStructures

1.曲率：（4-34）2.中性轴位置将式（4-31）类比变形，用代替式（4-31）中的，代替式（4-31）中的得：（4-35）由式（4-35）可解得到。（迭代解x的三次方程）30Oct,200629AdvancedConcreteStructures

可由式（4-32）变形改写得到，用代替,代替得：

3.(4-36)4.抗弯刚度B(4-37)30Oct,200630AdvancedConcreteStructures

4.2.3第Ⅱ阶段（开裂后）

（不计中性轴以下受拉砼的作用）30Oct,200631AdvancedConcreteStructures

（一）基本方程1.平衡条件（4-38）（4-39）2、变形条件（4-3）（4-4）30Oct,200632AdvancedConcreteStructures

3、物理条件

a．受压区砼：

b．受拉钢筋：30Oct,200633AdvancedConcreteStructures

（二）中性轴的位置（三）关系（4-40）（4-41）30Oct,200634AdvancedConcreteStructures

4.2.4第Ⅱ阶段末（纵筋屈服）计算图式：30Oct,200635AdvancedConcreteStructures

1.曲率：2、中性轴位置将式（4-31）中用代替得：（4-43）（4-42）30Oct,200636AdvancedConcreteStructures

3、弯矩（纵筋屈服弯矩）

4、抗弯刚度

（4-44）（4-45）30Oct,200637AdvancedConcreteStructures

4.2.5第Ⅲ阶段（纵筋屈服后）计算图式：30Oct,200638AdvancedConcreteStructures

（一）基本方程1.平衡条件（4-38）（4-39）2、变形条件（4-3）纵筋屈服，只有砼：30Oct,200639AdvancedConcreteStructures

3、物理条件（砼受压）

a．受压区砼：

b．受拉钢筋：（4-46）（4-47）30Oct,200640AdvancedConcreteStructures

（二）中性轴位置（4-48）求解x的一个一元三次方程。（三）关系（4-49）30Oct,200641AdvancedConcreteStructures

4.2.5第Ⅲ阶段末（砼压坏）计算图式：30Oct,200642AdvancedConcreteStructures

1.曲率：2.中性轴位置（4-50）（4-51）30Oct,200643AdvancedConcreteStructures

3.截面破坏时所承受的弯矩（4-52）将式（4-51）代入（4-52），并整理得：（4-52a）30Oct,200644AdvancedConcreteStructures

3.截面破坏时所承受的弯矩如取：=0.002，=0.0033，代入（4-51）、（4-52）得（4-51b）（4-52b）4.刚度（4-53）30Oct,200645AdvancedConcreteStructures

§4.3受弯截面的延性概念：截面的延性是指从纵筋屈服直到砼压坏，截面的变形能力。定义式：即受弯截面的延性等于第Ⅲ阶段末与第Ⅱ阶段末的曲率的比值，为一无量纲的数。讨论：延性大就是塑性大，延性小表示脆性大，延性在超静定结构的内力重分布及结构的抗震设计中有重要的意义。（抗震的延性设计倒塌分析）30Oct,200646AdvancedConcreteStructures

§4.4受弯截面的塑性分析计算图式：30Oct,200647AdvancedConcreteStructures

1.物理条件受拉区钢筋：受压区砼：4.4.1基本公式2.平衡条件（4－54）（4－55）30Oct,200648AdvancedConcreteStructures

将式（4-56）代入式（4-55）得3.中性轴位置由式（4-54）得或：（4-56）（4-56a）（4-57）30Oct,200649AdvancedConcreteStructures

（4-10）（4-13）（4-18）§4.5塑性系数法（针对即将开裂截面）该法为另一种即将开裂时的简化计算方法。方法原理：对受弯截面作弹性分析，然后乘以塑性系数rm，即得开裂弯矩Mcr。公式：按弹性分析得：式中xcr和I0分别按式（4-10）、（4-13）计算，则有:30Oct,200650AdvancedConcreteStructures

由于式（4-18）没有考虑截面受拉区的塑性，故按式（4-18）计算的Mcr值偏小，而实际的Mcr应乘以塑性系数rm，且式中：按式（4-10）计算。（4-58）则对于矩形截面：一般可取rm

=1.7530Oct,200651AdvancedConcreteStructures

精确值:评述：可见塑性系数法具有一定的精度，且简便实用。求：考虑塑性系数的Mcr。例：已知：其余同例3.2。，误差：7.2%30Oct,200652AdvancedConcreteStruct