第七章应力状态分析

材料力学第七章应力状态分析强度理论1第七章应力状态分析和强度理论§7-1

应力状态概述§7-2

二向应力状态分析（解析法）§7-3

二向应力状态的应力圆§7-4

三向应力状态简介§7-6

广义虎克定律§7-7

复杂应力状态的变形比能§7-8

强度理论概述四种常用强度理论§7-5

平面应变状态分析2掌握应力状态的概念。了解二向应力状态和三向应力状态的实例。熟练掌握平面应力状态下的应力分析解析法和图解法；主应力了解三向应力状态应力圆。了解平面应变状态概念。熟练掌握广义胡克定律。了解体积应变、复杂应力状态下的变形能密度、体积改变能、畸变能的概念熟练掌握常用的强度理论。重点1、平面应力状态分析；2、广义虎克定律；强度理论。学习目的与要求难点1、应力状态分析；2、广义胡克定律；3、应变分析。3§7-1

应力状态概述低碳钢铸铁1、问题的提出

塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？?第七章（1）应力和应变状态4脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁?5结论:不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。一、应力的三个重要概念:1、应力的面的概念;2、应力的点的概念;3、应力状态的概念.6轴向拉压时：同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：

表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同，此即为应力的面的概念。7横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即为应力的点的概念。横力弯曲时：8

一般性结论1）受力构件上应力随点的位置变化而变化；2）即使在同一点,应力也是随截面的方位变化而变化。过一点不同方位面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方位面？指明92、研究方法yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且只有主应力的单元体称为主应力单元。各边边长,,dxdydz单元体103、应力状态分类应力状态：1）单向应力状态(一个主应力不等于零)2）平面（二向）应力状态（两个主应力不等于零）3）空间（三向）应力状态（三个主应力都不等于零）复杂应力状态一般来说，过受力构件的任意一点都可找到三个互相垂直的主平面，因而每点都有三个相互垂直的主应力

1122113122311154321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面例7-1、画出如图所示梁S截面各点的应力状态单元体。

12S平面5432154321123213alF例7-2、画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体

xzy4321zy4321FSMZTS1412z3xzy4321zy4321FSMZT15例7－3、分析薄壁圆筒受内压时的应力状态。Dyz薄壁圆筒的横截面面积(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为FAs'16(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象p"yOFNFNds's"17312231例7－4、分析A点的应力状态。18§7-2

二向应力状态分析（解析法）在二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力（互相垂直的截面），确定通过这一点的其它斜截面上的应力，从而确定该点的主平面和主应力。1、斜截面上应力sxsysysxsatyxtxytaxyneff´e´a19正负号规定拉（+），压（）对单元体内任一点取矩顺时针为正，逆时针为负。由x

轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。：：：正应力的角标表示作用面的法线方向第一个角标表示作用面的法线方向，第二个角标表示切应力的方向20对隔离体列平衡方程①利用三角函数公式：且有，化简得：②21任意斜截面应力公式都是a的函数。可见，22确定正应力极值：设a＝a0

时，上式值为零，即：2、正应力极值和方位即α＝α0的截面，正应力取极值，切应力为零。23此截面的位置可由下式确定：主应力按代数值排序：s1

s2

s3

确定了两个相互垂直的平面，分别为最大和最小正应力所在平面。正应力极值：244、两个导出公式：3最大剪应力25例7-5、单元体的应力状态如图，求图示斜截面上的应力和smax、smin、tmax、tmin及主平面和最大剪应力所在平面的方位。解：1）取坐标轴2）已知条件命名3）计算

s30°，t

30°xyn264）计算smax、smin及主平面方位角27100MPax80MPa40MPay12°285）计算tmax、tmin及其所在平面的方位角。29二向应力状态分析的方法计算任意斜面上的应力、确定主应力及主平面等。1)画出应力主单元体（若已知单元体的应力状态则省去这一步）；2)取坐标轴，并写出已知应力；坐标轴应与应力单元体的边垂直，x轴与y轴可任意指定，可默认水平方向为x轴，垂直方向为y轴。3)利用相关公式，计算出指定斜面的应力，最大、最小正应力（主应力）及其对应的角度，最大、最小剪应力；4)确定主平面的方位；画出主应力单元体，则剪应力共同指向的平面为最大主应力所对应的平面。30例7－6、求主应力、主平面并画出主应力单元体；202030解：1）取坐标轴xy已知条件2)计算主应力及其对应的角度31主平面方位角主应力单元体202030xy19°20´32

例7-7、两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试求出截面

C上a,b两点处的主应力。12015152709zab250KN1.6m2mABC33(1)计算支反力,并画内力图MC=80kN.mFC左

=200kNaaaa解:(2)取a点的应力单元体FAFBFB=50kNFA

=200kN34(4)求a点主应力aaaaa35(4)横截面C上b点的主应力b点的单元体如图所示bbbb点的三个主应力为36例7－8、两相交于一点处的斜截面上的应力如图，求该点的主应力。解：取应力单元体sx？37作业P2537.2P2537.4（c、f）（解析法）P2557.1038一、应力圆将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得§7-3二向应力状态的应力圆39

因为x，y，xy

皆为已知量，所以上式是一个以，为变量的圆周方程。当斜截面方位角变化时,其上的应力

，

在-

直角坐标系内的轨迹是一个圆。圆心的坐标：圆的半径：此圆习惯上称为应力圆,或称为莫尔圆40(1)建s–t坐标系,选定比例尺o二、应力圆作法1、步骤xyxxyxxyyy41Dxyo(2)量取OA=xAD

=xy得

D

点xAOB=y(3)量取BD′=yx得D′

点yByxD′(4)连接DD′两点的直线与轴相交于C

点(5)以C为圆心,CD为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C42(1)该圆的圆心C点到坐标原点的距离为

(2)该圆半径为2、证明433、应力圆与单元体之间的对应关系1）点面对应：应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力2）转向对应——半径旋转方向与截面法线旋转方向一致；3）二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。应力圆的半径对应着微元某一截面的法线44点面对应caA45C转向对应、二倍角对应yxaAa'A'q2q46三、应力圆的应用1、求单元体上任一截面上的应力

从应力圆的半径CD

按方位角的转向转动2

得到半径

CE.圆周上E

点的坐标就依次为斜截面上的正应力

和切应力。DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn472、求主应力数值和主平面位置(1)主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1

，2

12DxyoxAyByxD′C20FE2B1A14820DxyoxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由

CD顺时针转

20到CA1所以单元体上从

x

轴顺时针转0

（负值）即到1对应的主平面的外法线0

确定后，1

对应的主平面方位即确定493、求最大切应力G1和G2

两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力

20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因为最大、最小切应力等于应力圆的半径50o例7-9、应力单元体如图所示,x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆(2)确定此单元体在

=30°和

=-40°两斜面上的应力。xyxy解:(1)选好比例尺画应力圆量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出

D点;ACBOB

=y=-0.4和，BD′=yx=0.2,定出

D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

为直径绘出的圆即为应力圆。0.551将半径CD

逆时针转动2=60°到半径CE,E

点的坐标就代表

=30°斜截面上的应力。(2)确定

=30°斜截面上的应力E60°(3)确定

=-40°斜截面上的应力将半径

CD顺时针转2=80°到半径CF,F

点的坐标就代表

=-40°斜截面上的应力。F80°AD′CBoD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa52例7－10、已知受力构件的A点处于平面应力状态，过A点两斜截面上的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应力。解：100从应力圆上量得：∴从n1顺时针转动180即为最大主应力的外法线方向。主平面位置如图。53解：可得应力圆上两点：

CD1与CD2的夹角为1200

，由此可画出应力圆。由应力圆可计算出：用图解法解例7－7、两相交于一点处的斜截面上的应力如图，试用应力圆求该点的主应力，并画出主应力单元体。sotD2D1120º30ºCAB54yxz55§7-4

三向应力状态简介

对三向应力状态的要求三个主应力均已知；三个主应力中至少有一个主应力及其主方向是已知的；定义三向应力状态——三个主应力均不为零的应力状态56szsxsytxytyx至少有一个主应力及其主方向已知sytxytyxsxsz可先化为平面应力状态求出另两对面上的主应力和主方位，再按三个主应力均已知的情况考虑。57tsIIIIIIs3s2s1I平行于s1的方向面－其上之应力与s1无关，于是由s2

、s3可作出应力圆I平行于s2的方向面－其上之应力与s2无关，于是由s1

、s3可作出应力圆

II平行于s3的方向面－其上之应力与s3无关，于是由s1

、s2可作出应力圆IIIIIs2s1

s3s3IIIs2s1三个主应力均已知的情况58zpypxpIIIIIIs1s2s3stt't'''t''tmax=s1s2s35920030050otmax例7－11、作图示单元体的应力圆并在图中标出最大剪应力。60(1)(2)排序确定(3)平面应力状态特点：作为三向应力状态的特例61例7-12、单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值。解:

该单元体有一个已知主应力因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x

截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa62由x，xy

定出D

点由y，yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆A1，A2两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1和

3A1A2D′ODC13

1=46MPa

3=-26MPa该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa根据上述主应力，作出三个应力圆63

3=-26MPa该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa解法2：解析法64作业P2557.4（c、f）(图解法)P2567.147.15P2577.19(b)65

§7-5

平面应变状态分析

平面应力状态下，已知一点的应变分量x

、y

、γxy

，欲求方向上的线应变α和切应变

,可根据弹性小变形的几何条件，分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量x

、y

、γxy在此方向上引起的线应变及切应变，再利用叠加原理.

一、任意方向的应变在所研究的O点处,Oxy坐标系内的线应变x,y,xy

为已知.求该点沿任意方向的线应变.yxO66将Oxy

坐标绕O点旋转一个角，得到一个新Ox'

y'坐标系.xyOy'x'并规定角以逆时针转动时为正值，反之为负值.

为O点沿x‘方向的线应变为直角x'Oy'的改变量，即切应变.假设:（1）O点处沿任意方向的微段内,应变是均匀的;（2）变形在线弹性范围内都是微小的,叠加原理成立;

分别计算

x,y,xy

单独存在时的线应变和切应变，然后叠加得这些应变分量同时存在时的和.671、推导线应变

从O点沿x′方向取出一微段OP=dx′,并以它作为矩形OAPB

的对角线.该矩形的两边长分别为dx

和dyxyOy'x'PABdxdydx'68（1）只有正值x存在ABdxdyxyOy'x'P

假设OB

边不动，矩形

OAPB

变形后成为OA'P'BxdxD的伸长量为O点沿x'方向的线应变1

为A'P'69（2）只有正值y存在ABdxdyxyOy'x'P假设OA

边不动矩形OAPB

变形后为OAP"B'的伸长量为D'O点沿x'方向的线应变2为ydyP''B'70（3）只有正值切应变xy存在ABdxdyxyOy'x'P使直角减小的

为正假设OA

边不动矩形OAPB

变形后为OAP"'B"P'''B''γxydyγxy的伸长为D''O点沿x′方向的线应变为71根据叠加原理，x,y

和xy

同时存在时，O点沿x´方向的线应变为2、切应变

以上两式利用三角函数化简得到72二、主应变数值及其方位73§7-6广义虎克定律1、简单应力状态下虎克定律正应力仅引起线应变(正应变)剪应力仅引起自身平面内的剪应变应用条件：p，小变形和各向同性材料。xzyAsxsxxzyAtxy742、复杂应力状态下的广义虎克定律+75++76某点在某方向上的线应变与其三个互相垂直方向的正应力有关。三个互相垂直的平面，各平面内的剪应变仅与自身平面内的剪应力有关。77若单元体是主单元体(即各面上的应力为主应力），则各方向的应变即为主应变，其大小为：各平面的剪应变为零78

对于平面应力状态(假设z

=0，xz=0，yz=0)xyzxyxyyxxyxyyx79例7－13、测得A点处的x=400×10-6，y=-120×10-6。已知：E=200GPa，=0.3，求A点在x和y方向上的正应力。解：应力状态图平面应力状态解得：PCBAxxyy80例7-14、支梁由18号工字钢制成.其上作用有力F=15kN，已知E=200GPa,=0.3.求：A

点沿00，450，900

方向的线应变h/4AAA0.50.50.25FA0°45°90°81解：

yA

，Iz

，d查表得出为图示面积对中性轴z的静矩zAh/4AAA82AA=50.8A=68.883例7-15、边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大，

变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示.已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比m=0.34，当受到F=300kN的均布压力作用时，求该铜块的主应力及最大切应力.解：铜块横截面上的压应力aaaFzyxzxy变形条件为84解得铜块的主应力为最大切应力85讨论xyz“2”86§7-7

复杂应力状态的变形比能微元应变能dydxdz87由功能原理，得：所以变形比能：88形状改变比能体积改变比能89§7-8强度理论概述四种常用强度理论单向应力状态下材料的失效判据：塑性材料脆性材料建立复杂应力状态下材料的失效判据的难点目的：建立危险点处于复杂应力状态下的强度条件应力状态的多样性试验的复杂性第七章（2）强度理论90逐一由试验建立失效判据是不可能的；对于相同的失效形式建立统一的失效原因假说是可能的；两种强度失效形式屈服断裂因此，对应于这两种失效形式，人们设想用强度理论建立处于复杂应力状态下危险点的强度条件。强度理论:关于材料强度失效主要原因的假说。材料无论处于复杂应力状态还是处于简单应力状态，引起同一形式失效的因素是相同的，并且该因素的极限值与应力状态无关。（即：材料的失效与应力状态无关）。91这样：一方面由简单应力状态（拉、压）的实验，测出引起材料失效的那个因素的极限值，另一方面计算实际受力构件上处于复杂应力状态下的危险点处的相应因素，从而建立材料处于复杂应力状态下的强度条件。简单应力状态复杂应力状态失效因素ｆ实验测量fjx计算fmax失效条件Fmax=fjx利用拉伸试验的结果建立复杂应力状态下的失效判据92用强度理论建立复杂应力状态下的强度条件的方法可用示意图表示。

选用相应的强度理论计算相当应力93断裂准则(脆性材料)最大拉应力理论---第一强度理论无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达到只与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂。失效判据设计准则s1s3s294最大伸长线应变理论---第二强度理论无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线应变达到只与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂。失效判据设计准则s1s3s295屈服准则(塑性材料)最大切应力准则----第三强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一共同的极限值。设计准则s1s3s2失效判据96形状改变比能准则----第四强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的形状改变比能达到某一极限值。s1s3s297失效判据设计准则98把各种强度理论的强度条件写成统一形式r

称为复杂应力状态的相当应力。99莫尔强度理论

任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断.100公式推导MO2OO1O3FNTL[c][t]1M´L´T´代入强度条件1011、适用范围(2)塑性材料选用第三或第四强度理论；(3)在三向拉应力相近时，无论是塑性还是脆性都将以断裂的形式失效，故选用第一或第二强度理论；各种强度理论的适用范围及其应用(1)一般脆性材料选用第一或第二强度理论；(4)在三向压应力相近时，无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论。1022、强度计算的步骤(1)外力分析：确定所受的外力值；(2)内力分析：画内力图，确定可能的危险面；(3)应力分析：确定危险点并画应力单元体，求出主应力；(4)强度计算：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。3、应用举例103F解：危险点A的应力状态如图例题7-16、直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,F=50kN,材料为铸铁，[]=40MPa,

试用第一强度理论校核杆的强度.FTTAA

故安全104例7-17、一蒸汽锅炉承受最大压强为p,圆筒部分的内径为D，厚度为t,且

t远小于D

.试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度.已知p=3.6MPa，t=10mm，D=1m，[]=160MPa。s'

"

105内壁的强度校核s'

"

所以圆筒内壁的强度合适用第四强度理论校核圆筒内壁的强度若选用第三强度理论如何？106例7-18、对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力.

(b)50MPa70MPa40MPa30MPa(a)

140MPa

110MPa107解：（1）单元体（a）(a)

140MPa

110MPa108（2）单元体（b）109例7－19、图示应力状态，试根据第三、第四强度理论建立相应的强度条件。解：stK1、求单元体的主应力1102、建立强度条件按第三强度理论：按第四强度理论：111例7-20、根据强度理论,可以从材料在单轴拉伸时的可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的。解：纯剪切应力状态下:1=,2=0,3=–按第三强度理论得强度条件为：另一方面，剪切的强度条件是：所以[]=0.5

按第四强度理论得强度条件为：A

112通过第二强度理论得出脆性材料单向压缩时许用压应力与许用拉应力之间的关系。单向压缩状态下:1=2=0,3=–按第二强度理论得强度条件为：另一方面，单向压缩的强度条件是：所以讨论:

113作业P2607.36P2617.38114

例1、两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试求出截面

C上a,b两点处的主应力。12015152709zab250KN1.6m2mABC习题课115(1)计算支反力,并画内力图MC=80kN.mFC左

=200kNaaaa解:(2)取a点的应力单元体FAFBFB=50kNFA

=200kN116(4)求a点主应力aaaaa117(4)横截面C上b点的主应力b点的单元体如图所示bbbb点的三个主应力为118例2、图示简支梁由36a工字钢制成，P=140kN,L=4m，A点位于集中力P左侧截面上的下翼缘与腹板的交界处，试求：1）A点处图中指定斜截面上的应力；2）A点处的主应力，并作主应力单元体。sAtAsAtA30°60°解：