第7章压杆稳定

工程力学第7章压杆稳定第7章压杆稳定第7章压杆稳定7.1压杆稳定的概念7.2细长压杆临界力的欧拉公式7.3压杆的临界应力临界应力总图

7.4压杆的稳定设计7.5提高压杆承载能力的主要措施7.1压杆稳定的概念第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念构件的承载能力①强度②刚度③稳定性引例1第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念第7章压杆稳定引例2

压杆稳定性的概念轴向拉、压杆的强度条件为例：长为600mm的钢板尺，横截面尺寸为32mm1mm。钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计算得钢尺所能承受的轴向压力为[F]=A[]=6880N实际上，当压力不到

15N

时，钢板尺就被压弯。可见，钢板尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与

受压时变弯

有关。第7章压杆稳定引例3max

≤

[]1mm32mm

压杆稳定性的概念压杆在实际工作过程中，不可避免地存在与设计不相符的工作状态，例如：压杆在制作时其轴线存在初弯曲；作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆轴线相重合；压杆材料的存在不均匀性。第7章压杆稳定上述因素都不可避免地引起外加压力的偏心作用。受偏心压力作用的杆件，不论偏心距多么小，压杆的次要变形——弯曲变形将随压力的增大而加速增长，并转化为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。

压杆稳定性的概念由于影响压杆稳定性的因素很多，我们不可能在建立力学模型时将所有的因素都考虑进去。本章中压杆稳定性的研究对象不是实际压杆，而是理想压杆。理想压杆：

杆的材料均匀，轴线为直线，外力的作用线与压杆轴线重合，不存初弯曲、初应力和初偏心。研究方法：

当压杆承受轴向压力后，假想地在杆上施加一微小的横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力，通过理论或实验讨论压杆的受力和变形特征，研究其承载能力。第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念第7章压杆稳定稳定平衡和不稳定平衡

压杆稳定性的概念第7章压杆稳定稳定平衡和不稳定平衡

压杆稳定性的概念不稳定平衡稳定平衡第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念压杆的稳定平衡与不稳定平衡不稳定平衡第7章压杆稳定稳定平衡

压杆稳定性的概念压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。

①当FP小于某一临界值FPcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡状态。(a)FP<FPcrFPFQ第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。

②当FP等于某一临界值FPcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持微弯的平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是临界平衡状态。FP＝FPcRFP(b)FQ第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。

③当FP大于某一临界值FPcr，撤去横向力后，杆的轴线会继续变弯，不能再保持平衡形态，压杆失稳。(c)FP>FPcRFPFQ第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念FP＝FPcRFP(b)FQ(a)FP<FPcRFPFQ(c)FP>FPcRFPFQ稳定平衡状态临界平衡状态不稳定平衡状态失稳第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念第7章压杆稳定压杆

压杆稳定性的概念压杆第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念桁架中的压杆液压缸顶杆第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念高压输电线路保持相间距离的受压构件第7章压杆稳定

压杆稳定性的概念压杆的稳定性试验第7章压杆稳定7.2细长压杆临界力的欧拉公式第7章压杆稳定细长压杆临界力欧拉公式简化：1、剪切变形的影响忽略不计；2、不考虑杆的轴向变形。

两端铰支的细长理想压杆的临界力第7章压杆稳定细长压杆临界力欧拉公式由边界条件确定常数A、B的值δ挠曲线中点的挠度δ第7章压杆稳定细长压杆临界力欧拉公式欧拉公式第7章压杆稳定细长压杆临界力欧拉公式L

L

L

L

第7章压杆稳定不同杆端约束下细长理想压杆的临界力细长压杆临界力欧拉公式验证：长为600mm的钢板尺，横截面尺寸为

32mm1mm。利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界力。

第7章压杆稳定不同杆端约束下细长理想压杆的临界力1mm32mm第7章压杆稳定7.3压杆的临界应力临界应力总图细长压杆临界力欧拉公式1、压杆的临界应力公式压杆受临界力FPcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按=FPcr/A

计算。压杆横截面上的应力为为压杆横截面对中性轴的惯性半径柔度第7章压杆稳定临界应力－欧拉公式细长压杆临界力欧拉公式2、临界应力－欧拉公式的适用范围1、压杆的临界应力公式大柔度杆或细长杆不能用欧拉公式第7章压杆稳定临界应力－欧拉公式细长压杆临界力欧拉公式3、柔度－长细比称为压杆的柔度(长细比)。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。越大，相应的cr越小，压杆越容易失稳。若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按柔度较大者计算压杆的临界应力cr。为压杆横截面对中性轴的惯性半径第7章压杆稳定临界应力－欧拉公式细长压杆临界力欧拉公式1.

大柔度杆或细长杆压杆将发生弹性屈曲，压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极限。根据柔度的大小可将压杆分为三类:第7章压杆稳定临界应力－欧拉公式细长压杆临界力欧拉公式2.

中长杆压杆亦发生屈曲，压杆在横截面上的正应力已超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态，为非弹性屈曲。经验公式第7章压杆稳定临界应力－欧拉公式细长压杆临界力欧拉公式临界应力总图细长杆中长杆粗短杆3.

粗短杆压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。第7章压杆稳定临界应力－欧拉公式细长压杆临界力欧拉公式②A3钢(P

＝123)③16锰

钢(

P=102)常见材料的中长杆的经验公式第7章压杆稳定临界应力－欧拉公式①Q235钢，a=304，b=1.12，λs=62，λP=1007.4压杆的稳定设计第7章压杆稳定压杆的稳定设计为了保证压杆具有足够的稳定性，设计中，必须使杆件所承受的实际压缩载荷（又称为工作载荷）小于杆件的临界载荷，并且具有一定的安全裕度。压杆的稳定性设计一般采用安全系数法与稳定系数法。本书只介绍安全系数法。采用安全系数法时，稳定性安全条件一般可表示为

nwnst

安全系数法与稳定性安全条件

第7章压杆稳定压杆的稳定设计安全系数法nwnst工作安全系数临界应力工作应力nst规定安全系数第7章压杆稳定

安全系数法与稳定性安全条件

压杆的稳定设计稳定性设计（stabilitydesign）一般包括：确定许用载荷当压杆的材料、约束以及几何尺寸已知时，根据三类不同压杆的临界应力公式，确定压杆的许用载荷。稳定性安全校核当外加载荷、杆件各部分尺寸、约束以及材料性能均为已知时，验证压杆是否满足稳定性设计准则。选择截面尺寸当外加载荷、约束以及材料性能均为已知时，根据三类不同压杆的临界应力公式，选择压杆的截面尺寸。第7章压杆稳定稳定性设计三类问题压杆的稳定设计

★根据材料的弹性模量与比例极限E、σP，计算或查表得到p

和s

，再根据杆长l、截面的惯性矩I和面积A，以及两端的支承条件μ，计算压杆的实际长细比λ。

★

然后比较压杆的实际长细比值与极限值，判断属于哪一类压杆，选择合适的临界应力公式，确定临界应力。

★

最后，根据压杆的稳定性安全条件，进行稳定性设计。

★

对于一个系统，应用平衡方程求出压杆所受的轴力，或轴力与外力的关系。第7章压杆稳定稳定性设计过程

压杆的稳定设计图示理想压杆，直径均为d＝160mm，材料为Q235钢，E＝206GPa时，但二者长度和约束条件不相同，试计算二杆的临界荷载。1.

计算柔度，判断压杆类型第7章压杆稳定【例7-1】【解】大柔度杆压杆的稳定设计2.

计算各杆的临界荷载第7章压杆稳定均为细长压杆，用欧拉公式计算压杆的稳定设计【例7-2】【解】FaABa\2C故取已知：图示压杆EI，且杆在B支承处能转动。求：临界压力第7章压杆稳定压杆的稳定设计两杆均为细长杆组成的杆件系统如图所示，若杆件在ABC面内因失稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设0＜θ＜π/2)。设AB杆和BC杆材料截面均相同。1.节点B的平衡第7章压杆稳定【例7-3】【解】压杆的稳定设计2.两杆分别达到临界力时F可达最大值第7章压杆稳定

Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷如图示（a为正视图，b为俯视图），在AB两处为销钉连接。若已知l＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界力和临界应力。压杆的稳定设计正视图平面弯曲截面z绕轴转动；俯视图平面弯曲截面绕y轴转动。第7章压杆稳定【例7-4】【解】压杆的稳定设计正视图：第7章压杆稳定【解】压杆的稳定设计俯视图：第7章压杆稳定【解】压杆的稳定设计第7章压杆稳定【解】压杆的稳定设计对于单个10号槽钢，形心在C1点。z0yy1zC1aF6m两根槽钢图示组合之后，第7章压杆稳定立柱由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为球铰支座，①试问a=？时，立柱临界压力最大，值为多少？②若压杆的稳定安全系数是nst=2.5，求压杆的许可荷载。已知，中长杆经验公式为。【例7-5】【解】压杆的稳定设计z0yy1zC1aF6m，截面布置最合理，且临界压力最大。第7章压杆稳定【解】压杆的稳定设计大柔度杆，由欧拉公式求临界力。压杆的许可荷载第7章压杆稳定【解】压杆的稳定设计第7章压杆稳定【例7-6】【解】已知：两端铰支压杆，由两根∠125×125×12等边角钢组成，l=2.4m，铆钉孔直径d=30mm，FP=500kN，材料为A3钢，[σ]=160MPa，nst=2.5。试校核压杆是否安全？对有局部削弱的压杆①进行稳定计算不考虑削弱面。②对削弱面进行强度计算。FPl=2.4mxyzdyy1A1压杆的稳定设计第7章压杆稳定【解】FPl=2.4mxyzdyy1A11、

压杆稳定性校核A=2A1Iy=2Iy1查表i=i1=iy=3.83cm，A1＝28.9×10-4m2查表,λp=100,λs=62,为中柔度杆。σcr=a–bλ=304-1.12λ=234MPa压杆稳定性满足要求。压杆的稳定设计第7章压杆稳定FPl=2.4mxyzdyy1A12、强度校核A净＝2A1－2d×1.2=56.6cm2强度也满足要求，压杆安全。对有局部削弱的压杆①进行稳定计算不考虑削弱面。②对削弱面进行强度计算。已知拖架D处承受载荷F=10kN。AB杆外径D=50mm，内径d=40mm，材料Q235钢，E=210GPa，λp＝100，[nst]=3。校核AB杆的稳定性。压杆的稳定设计取CD梁为研究对象第7章压杆稳定【例7-7】【解】压杆的稳定设计AB杆AB为大柔度杆AB杆满足稳定性要求。第7章压杆稳定【解】压杆的稳定设计已知：图所示的结构中，梁AB为No.l4普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为d＝20mm，二者材料均为Q235钢。结构受力如图中所示，A、C、D三处均为球铰约束。若已知FP＝25kN，l1＝1.25m，l2＝0.55m，s＝235MPa。强度安全因数ns＝1.45，稳定安全系数[n]st＝1.8。校核:

此结构是否安全。第7章压杆稳定【例7-8】压杆的稳定设计

在给定的结构中共有两个构件：梁AB，承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD承受压缩载荷，属于稳定问题。现分别校核如下：

1、大梁AB的强度校核第7章压杆稳定【解】压杆的稳定设计由型钢表查得No.14普通热轧工字钢的Wz=102103mm3；A＝21.5102mm2，由此得到梁内最大应力1、大梁AB的强度校核第7章压杆稳定压杆的稳定设计Q235钢的许用应力

max略大于[]，但(max-[])100％/[]＝0.7％＜5％，工程上仍认为是安全的。

1、大梁AB的强度校核第7章压杆稳定压杆的稳定设计2、

校核压杆CD的稳定性

由平衡方程求得压杆CD的轴向压力

因为是圆截面杆，故惯性半径

第7章压杆稳定压杆的稳定设计因为两端为球铰约束＝1.0，所以

压杆CD为细长杆，故需采用欧拉公式计算其临界应力。2、

校核压杆CD的稳定性

第7章压杆稳定压杆的稳定设计压杆CD为细长杆，采用欧拉公式计算其临界应力2、

校核压杆CD的稳定性

第7章压杆稳定压杆的稳定设计于是，压杆的工作安全因数

所以，压杆的稳定性是安全的。上述两项计算结果表明，整个结构的强度和稳定性都是安全的。第7章压杆稳定2、

校核压杆CD的稳定性

结构用低碳钢A5制成，求:[F]。已知：E=205GPa，s=275MPa，cr=338-1.12，p=90，s=50，n=2，nst=3；AB梁为N016工字钢，BC杆为圆形截面d=60mm。压杆的稳定设计【解】

一次超静定问题ABC1m1mF1m1.

由变形协调条件列补充方程求BC杆的轴力第7章压杆稳定【例7-9】压杆的稳定设计2.

BC杆的稳定性方面(s<p)中柔度杆cr=338－1.12=338－1.12×66.6=258MPaABC1m1mF1m第7章压杆稳定压杆的稳定设计ABC1m1mF1m3.

AB杆的强度方面第7章压杆稳定0.312F0.376F+－最后，7.5提高压杆承载能力的主要措施第7章压杆稳定提高压杆承载能力的措施影响压杆承载能力的因素:1.细长杆与弹性模量E，截面形状，几何尺寸以及约束条件等因素有关。2.中长杆主要是材料常数a和b，以及压杆的长细比及压杆的横截面面积。3.粗短杆主要取决于材料的屈