第4章动态电路的时域分析法

03二月20231第四章动态电路的时域分析法1.熟练掌握换路定则和电路初始值的求法；2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念和物理意义；3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)；4.了解二阶电路零输入响应的概念和物理意义；6.会计算一阶电路的阶跃响应。内容提要与基本要求03二月20232

重点(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；(2)一阶电路时间常数的概念与计算；(3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；(4)求解一阶电路的三要素法；03二月20233难点(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程；(2)电路初始条件的概念和确定方法；(3)二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。与其它章节的联系

本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第4章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。一.电容元件把两块金属极板用介质(如云母、绝缘纸、电解质、空气等)隔开就构成一个电容器。由于理想介质不导电，所以在外电源作用下，两块极板上能分别存贮等量的异性电荷。外电源撤走后，这些电荷依靠电场力的作用互相吸引，能长久地存贮在极板上。因此，电容器是一种能储存电荷的器件。在电荷建立的电场中贮藏着能量，也可以说电容器是一种储存电场能量的器件。电容元件是实际电容器的理想化模型。§4-1动态元件线性电容元件的图形符号：文字符号或元件参数：C1.若电压正极所在的极板上储存的电荷为+qC是一个正实常数，单位是F（法）。则有：q=Cuouq+-u-q+q库伏特性是一条通过原点的直线。2.若C的i、u取关联参考方向电容是一个动态元件，有“隔直通交”的作用。逆变换为则有：i=dqdt=d(Cu)dti=dudtC当C为常数时+-uiC通过C的电流与电压的变化率成正比！q(t)=∫t-∞i(x)dx

=∫t0-∞i(x)dx

+∫tt0i(x)dx指定t0=0为计时起点q(t)

=

q(0)

+∫t0i(x)dx线性电容元件总结图形符号：文字符号或元件参数：C伏安特性：

单位：1F=106mF

=1012pF

储能元件：动态、记忆、储能、无源元件i=dudtCwc(t)=21Cu2(t)库伏特性：q=CuLL三.电感元件实用的电感器是用铜导线绕制成的线圈。在高频电路中，常用空心或带有铁氧体磁心的线圈。在低频电路中，如变压器、电磁铁等，则采用带铁心的线圈。1.线圈通以电流i后将产生磁通L。AB若L与N匝线圈交链，则磁通链L=N

L

。L和L都是由线圈本身的电流产生的，叫做自感磁通和自感磁通链。i2.自感磁通链与元件中电流的关系为：YL=LiL自感系数或电感。L是一个正实常数。YL和FL的单位用Wb(韦)，i的单位用A，L的单位是H(亨)。有时还采用mH和H作为L的单位。线性电感元件的图形符号文字符号或元件参数LoiYL韦安特性

3.伏安关系/功率/磁场能量i与u为关联参考方向，与L成右手螺旋关系。逆关系为：把YL=Li代入u=dLdtu=Ldidti+-uLi=L1∫-∞tudx=L1∫-∞t0udx+L1∫t0tudx或者：YL=YL(t0)+∫t0tudx动态元件t0时刻的电流i(t0)记忆元件线性电感元件总结图形符号：文字符号或元件参数：L伏安特性：

单位：1H=103m

H

=106mH

储能元件：动态、记忆、储能、无源元件u=didtLwL(t)=21Li2(t)韦安特性：YL=Li03二月202312§4-2电压和电流初始值的计算

自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态，当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从一种稳定状态转换到另一种新稳定状态时，往往不能跃变，而是需要一定的时间，或者说需要一个过程，在工程上称为过渡过程。如：冰融化成水、汽车的加速与减速等。引言

电路中也有过渡过程，电路的过渡过程有时虽然短暂，但在实践中却很重要。03二月202313例：电阻电路SUS+-(t=0)iR1R2otiR1+R2USR2US过渡期为零含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1.动态电路

当动态电路状态发生改变时（称之为换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。03二月202314例：电容电路uCiUS+-+-RS(t=0)CuCiUS+-+-RSC(t→∞)S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：S未动作前，电路处于稳定状态：i

=0,uC

=

US。i=0,uC

=0。?有一个过渡期0tuCRUS前一个稳定状态US新的稳定状态t1i新稳定状态等效电路03二月202315例：电感电路uLiUS+-+-RSL(t→∞)S接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：S未动作前，电路处于稳定状态：uL

=0,i=0,uL

=0。有一个过渡期0tiRUS前一个稳定状态US新的稳定状态t1uLuLiUS+-+-RS(t=0)LUSR新稳定状态等效电路i

=03二月202316换路的概念电路结构、状态发生变化

电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。支路接入或断开电路参数改变过渡过程产生的原因+-1W1W1W10VC+-uC1A+-uS+-10VS1(t=0)S2(t=0.2s)3W2WiL03二月2023172.动态电路的方程若以电流为变量：+-uS(t＞0)RiC+-uC以电压为变量，应用KVL和电容元件的VCR得：Ri

+uC

=uSi=CduCdtRCduCdt+uC

=uSRi

+uC

=uSuC

=1C∫idt

Rdidt+iC=duSdt例如RC串联电路。03二月202318再如RL串联电路。若以电压为变量：以电流为变量，应用KVL和电感元件的VCR得：Ri

+uL

=uSuL

=LdidtLdidt+Ri

=uSRi

+uL

=uSi

=1L∫uLdt

R+-uS(t＞0)RiL+-uLLuL

+duLdt=duSdt

含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。有源电阻电路含一个动态元件小结03二月202319再看RLC串联电路

含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。+-uS(t＞0)RiL+-uLC-+uC描述动态电路的电路方程是微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。

电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。LCd2uCdt2duCdt+RC+uC

=

uS应用KVL和元件的VCR得

结论03二月202320

动态电路的分析方法(1)首先是根据KVL、KCL和VCR建立微分方程，然后是求解微分方程。(2)分析的方法有：①时域分析法，包括经典法、状态变量法、卷积积分、数值法。②复频域分析法，包括拉普拉斯变换法、状态变量法、付氏变换。

工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。03二月2023213.电路的初始条件(1)t=0+与t=0-

的概念0+：换路后一瞬间。认为换路在t=0时刻进行。0-

：换路前一瞬间。f(0-)=lim

f(t)t→0t＜0f(0+)=lim

f(t)t→0t＞00-0tf(t)0+f(0-)=f(0+)f(0-)≠f(0+)

明确：i及其各阶导数的值。

②在动态电路分析中，①初始条件为t

=0+时，u、初始条件是得到确定解答的必需条件。03二月202322(2)电容的初始条件当i()为有限值，此项为0。

结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，

则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q(t)

=∫t-∞i(x)dx=∫0--∞i(x)dx+∫t0-i(x)dx=q(0-)+∫t0-i(x)dx当t=0+时q(0+)=q(0-)+∫0+0-i(x)dx所以，在换路瞬间有：q(0+)=q(0-)q=Cu，C不变时有：uC(0+)=uC(0-)电荷守恒Ci+-uC体现03二月202323(3)电感的初始条件用同样的方法可得：Li+-uL

结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值，

则电感电流（磁链）换路前后保持不变。在换路瞬间有：Y(0+)=

Y(0-)Y

=Li，L不变时有：iL(0+)=iL(0-)磁链守恒(4)换路定律！q(0+)=q(0-)uC(0+)=uC(0-)Y(0+)=

Y(0-)iL(0+)=iL(0-)注意：①电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。体现②换路定律反映了能量不能跃变。03二月202324(5)初始值的计算解t=0-时刻等效的电路求电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。①由t=0-时刻的电路计算uC(0-)和iL(0-)。iC(0-)=0，C视为开路。iL(0-)=12A，uC(0-)=24ViL(0+)=iL(0-)=12AuC(0+)=uC(0-)=24V由等效电路算出R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViuL(0-)=0，L视为短路。②由换路定律03二月202325③由t=0+时刻的等效电路求各电压电流。电感用电流源替代，电容用电压源替代，画出t=0+的等效电路。iC(0+)=48-243=8AuL(0+)=48-2×12=24Vi(0+)=iL(0+)+

iC(0+)

=12

+8=20At=0+时刻的等效电路R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiC24V12A+-uL+-uCR33W2W2W48ViiL(0+)=iL(0-)=12AuC(0+)=uC(0-)=24V03二月202326

注意t=0-时刻的等效电路t=0+时刻的等效电路R1+-U0SR2iLiC24V12A+-uL+-uCR33W2W2W48ViiL(0+)=iL(0-)=12AuC(0+)=uC(0-)=24ViC(0+)=8A≠iC(0-)uL(0+)=24V≠uL(0-)i(0+)=20A≠i(0-)R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48Vi03二月202327小结：求初始值的步骤①由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；②由换路定律得uC(0+)和iL(0+)；③画0+等效电路；④由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容用电压源替代，电感用电流源替代。a.指换路后的电路。c.取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同。03二月202328解题指导1：求iC(0+),uL(0+)iSiLS(t=0)L+-uLRC+-uCiCiSiLS(t=0)L+-uLRC+-uCiC解：由0－电路和换路定律得iL(0+)=

iL(0－)=

iSuC(0+)=uC(0－)=

RiSuL(0+)=

-

RiSiC(0+)=

iS

-RiSRiSiSS(t=0)+-uLRC+-iCLRiS=0由0+电路得画0+等效电路。03二月202329L+-10W10WiLC+-uC10W20Vt=0-时刻解题指导2：求S闭合瞬间流过它的电流值。解：确定0－值给出0＋等效电路(t=0)+-10W10WiLLC+-uC10W20VSiL(0+)=iL(0-)=2020=1AuC(0+)=uC(0-)+-10W10WiL+-10W20V1A+-uL10ViSiCt=0+时刻iS(0+)=2010+1010-1=2AuL(0+)=iL(0+)×10=10ViC(0+)=-10uC(0+)=-1A=20-10×1=10V03二月202330

一阶电路的分析方法①经典法列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一种在时间域中进行的分析方法。②典型电路分析法记住一些典型电路(RC串联、RL串联、RC并联、RL并联等)的分析结果，在分析非典型电路时可以设法套用。§4-3一阶电路的零输入响应③三要素法只要知道一阶电路的三个要素，代入一个公式就可以直接得到结果，这是分析一阶电路的最有效方法。任意NSuCC+-iS(t=0)SUS+-(t=0)+-uCRCi典型电路03二月202331零输入响应

换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。1.RC电路的零输入响应SR+-uC(t=0)i+-uRU0i=-CduCdt所以duCdtRC+

uC

=0由VCR得：uR

=

Ri，SR+-uC(t≥0+)i+-uRU0由KVL得：-uR

+uC

=

0uC(0+)=U0p=-RC1特征根特征方程：RCp+1=0通解为03二月202332uC

=A

e1RC-t得：uC

=U0

et≥0代入初始值：uC(0+)=uC(0-)=U0SR+-uC(t=0)i+-uRU01RC-ti

=RuC=RU0e1RC-t=I0e1RC-t或者由：i=-CduCdt求出。(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；表明：t0uC

,

it2t3t4tI0U0连续函数跃变03二月202333令=RC，称为一阶电路的时间常数。(2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；[]=[RC]=[欧][法]=[欧][库][伏]=[欧][安秒][伏]=[秒]反映电路过渡过程时间的长短。即：大→过渡过程时间长，

的物理含义

大

小电压初值一定：R大(C一定)→i=u/R→放电电流小放电时间长。C大(R一定)→W=Cu2/2→储能大U0t0uC

小→过渡过程时间短。03二月202334注意：t0t2t3t5tU0U0e-1U0e-2U0e-3U0e-5U00.368U00.135U00.05U00.007U0uC

=U0et-t①：是电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为，经过3～5时间，过渡过程结束。②的几何意义U0t0uC

0.20.40.60.81.02345次切距的长度等于时间常数

以该点的斜率为固定变化率衰减，经过时间为零值。03二月202335次切距的长度等于时间常数：M

at1

Q

t2

uC(t1)

MQ=

PM

tan

a=uC(t1)

-

duCdtt=t1

=U0t0uC(t)=U0et-tU0et-t1U0et-t1t1=tt=t2-t1

任取一点P，通过P点作切线PQ。P

03二月202336(3)能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设uC(0+)=U0则电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：SR+-uC(t≥0+)i+-uRU021CU02WR=∫∞0

Ri2dt=∫∞0

R

(U0Re1RC-t

)2dt=U0R2(-RC2e2tRC-)0∞=21CU0203二月202337例1：电路如图，电容原充有24V电压，求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。+-2Wi1S5FuCi2i33W6W+-i15FuC4W解这是一个求一阶RC零输入响应问题。t＞0有：uC

=U0

et≥01RC-tU0=24V，RC=4×5=20s所以：uC

=

24

e20-tVt≥0i1

=4uC=6

e20-tA分流：i2

=32i1=4

e20-tAi3

=3i1=2

e20-tA03二月202338例2求：(1)图示电路S闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i-++-250kW+-uC1=5mFC2=20mFSu1u2解：(1)仍是一阶RC零输入响应问题C1+C2C1C2C=5+20=5×20=4mFt＞0+-uC+-i4mFuC250kW20V+-u

uC(0+)=uC(0-)=-u1(0-)+u2(0-)=20Vt

=

RC=250×103×4×10-6=1s所以：u=

uC

=

20

e-t

V

t≥0i

=250×103u=80

e-t

mA03二月202339例2求：(1)图示电路S闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。u1(t)

=u1(0)

+∫t0i(x)dxC11u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i=80

e-t

mAi-++-250kW+-uC1=5mFC2=20mFSu1u2+-uC=

4+∫t080

e-tdt51=(20-16e-t)

Vu2(t)

=u2(0)

-∫t0i(x)dxC21=

24

-∫t080

e-tdt201=(20+4e-t)

Vu=20

e-t

V

t≥0u1(∞)=20V，u2(∞)=20V。uC(∞)=u2(∞)-u1(∞)=003二月202340例2求：(1)图示电路S闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i=80

e-t

mAi-++-250kW+-uC1=5mFC2=20mFSu1u2+-uCu=20

e-t

V

t≥0(2)初始储能W1=21×5×10-6×42=40mJWc=21Cu2(t)W2=21×20×10-6×242=5760mJ最终储能共5800mJ=21×(5+20)×10-6×202=5000mJW1+W2电阻耗能WR=∫∞0

Ri2

dt=800mJ03二月2023412.RL电路的零输入响应解之得：i

=I0eL-RSR+-(t=0)R0L12uL+-iU0i(0+)

=i(0-)

=U0R0didtL+

Ri

=0(t≥0)=I0t(t≥0)uL

=-I0R

eL-Rt(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；SR+-(t=0)R0L12uL+-iU0表明：t0i，

uL

I0连续函数跃变-I0R03二月202342令=L/R，称为一阶RL电路时间常数。(2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；

的大小反映了电路过渡过程时间的长短：L大→放电慢，大。

大→过渡过程时间长，

小→过渡过程时间短。物理含义电流初值iL(0)一定：[]=[亨][欧]=[韦][安欧]=[伏秒][安欧]=[秒]R小→P=Ri2→放电过程消耗能量小W=21LiL2→起始能量大03二月202343(3)能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设i(0+)=I0则电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：21LI02WR=∫∞0

Ri2dt=∫∞0

R

(I0eRL-t

)2dt=I0L2Re2RtL-)0∞=21LI02RLuL+-i2R(-03二月202344例题分析试求：t；i(0+)和i(0-)；i(t)和uV

(t)；uV

(0+)。造成电压表损坏。t=R+RVL=0.189+5×1030.398=79.6(ms)i(0-)≈RU=0.18935=185.2

Ai(t)=185.2

e-12560t

AuV(t)=-RVi(t)=-926e-12560tkVuV(0+)=926kV!实践中，要切断

L

的电流，必须考虑磁场能量的释放问题。解：i(0+)=i(0-)=185.2

AS+-RL+-URVuVi0.189W0.398H5kW35V某300kW汽轮发电机励磁回路的电路模型Vt≥0+03二月202345小结一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数；f(t)=

f(0+)et-tRC电路：uC(0+)=uC(0-)RL电路：iL(0+)=iL(0-)衰减快慢取决于时间常数；RC电路：

=

RC，RL电路：

=

RL一阶电路的零输入响应与初始值成正比，称为零输入线性。同一电路中所有响应具有相同的时间常数；R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。03二月202346§4-4一阶电路的零状态响应零状态响应：在动态元件初值为0的状态下，由t＞0电路中外施激励引起的响应。1.RC电路的零状态响应SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi常系数非齐次线性方程解答形式：uC

=u'C

+u"C

uC(0-)=0方程：duCdtRC+

uC

=

USu'C

为非齐次方程特解：u'C

=US称强制分量。这是电路的稳态解，称稳态分量。由于该分量与输入激励的变化规律有关，故又03二月202347u''C

为齐次方程通解：US+-(t＞0+)+-uCRC+-uRi解答形式：uC

=u'C

+u"C

方程：特解：u'C

=USu''C

=A

e1RC-t随着时间的推移，将消失，故称暂态分量。由于其变化规律由电路结构和参数决定，故又称自由分量。零输入也是这一规律。全解：uC

=US+Ae1RC-t由初始条件uC

(0+)=0得：

A=-USuC

=US-US

e1RC-t

=US(1-e

)1RC-t(t≥0)duCdtRC+

uC

=

USi

=CduCdt

=USRe1RC-t03二月202348US+-(t＞0+)+-uCRC+-uRi表明uC

=US(1-e

)1RC-t(t≥0)i

=USRe1RC-t电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；稳态分量(强制分量)+

暂态分量(自由分量)电容电压由两部分构成：u'C

连续函数uC

tuC

0USu"C跃变t0iR-USRUS03二月202349电源提供的能量：电阻吸收的能量：W=∫∞0US

i(t)dt=USq

=

CUS2WR=∫∞0i2(t)Rdt=21CUS2t=RC结果表明：电源提供的能量一半转换为电场能量存储于C中，另一半在充电过程中消耗在R上。不论RC的值是多少，充电效率总是50%。US+-(t＞0+)+-uCRC+-uRi响应变化的快慢，由时间常数=RC决定；大充电慢，小充电就快。响应与外加激励成线性关系；能量关系电容存储的能量：WC=21CUS203二月202350

=0.2

e-200t

A例：t=0时，开关S闭合，已知uC(0－)=0，求

(1)电容电压和电流；(2)uC=80V时的充电时间t。解：(1)这是一个RC电路零状S100V+-(t=0)+-uC50010Fi态响应问题，有：=RC=500×10-5=5×10-3suC

=US(1-e

)1RC-t=100

(1-e-200t)V(t≥0)i

=CduCdt

=10-5×100×200e-200t(2)设经过t1秒，uC=80V80=100

(1-e-200t1

)Vt1=8.045ms03二月2023512.RL电路的零状态响应(1)激励是恒定直流换路前：iL(0+)=iL(0-)=0换路后：iR

+

iL

=

ISSRL+-ISuL(t=0)iRiL(t≥0+)iR

=uLR=LRdiLdtLRdiLdt+iL

=

ISLRt=解得：iL

=IS

(1-e)t-t式中：uL

=LdiLdt=RIS

et-t(t≥0)tuL

,0iL

ISRIS03二月202352(2)激励是正弦电压（不要求）设us=Umcos(wt+yu)则

Ldidt+Ri=Umcos(wt+yu)通解：i"

=Aet-t特解的形式：i'=

Imcos(wt

+q

)把i'

代入微分方程：Im、q为待定系数。RImcos(wt+q

)-wLImsin(wt+q

)=Umcos(wt+yu)Im|Z|cos(wt+q

+j)=Umcos(wt+yu)式中R2|Z|

=+(wL)2tgj

=RwLLRt=t≥0+us+-+-uLRLi+-uR比较得：Im=Um|Z|q=yu-j

，03二月202353例：t=0开关打开，求t>0后iL、uL及u。解：这是RL电路零状态响应问题，先化简电路。+-u+-uL20W2HiL1A5W+-u10W+-uL10W2HiLS2A(t≥0)LReqt==220=0.1siL

=Isc(1-e)t-t=(1-e-10t

)AuL

=LdiLdt=

Req

Isc

et-t=20e-10t

Vu=5IS+10iL+uL=(20+10e-10t)

ViL(0+)=iL(0-)=0t

diLdt+iL

=

IscReq

=20W，Isc

=1A。03二月202354全响应稳态解暂态解§4-5一阶电路的全响应1.全响应：电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi+-U0uC(0+)=uC(0-)=

U0uC

=US

+(U0

-

US)eduCdtRC+

uC

=

US(1)着眼于电路的两种工作状态看成是稳态分量(强制分量)与暂态分量(自由分量)之和。=+2.全响应的两种分解方式强制分量自由分量t-t物理概念清晰。03二月202355零状态响应零输入响应(2)着眼于因果关系全响应=+uC

=US

+(U0

-

US)et-t

uC=US

(1

-e)t-t+U0

et-t此种分解方式便于叠加计算，体现了线性电路的叠加性质。US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-)=

U0US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-)=0US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-)=

U0=+03二月202356(1)在恒定激励下f(t)=

f()+[f(0+)-f()]e由初始值、稳态值和时间常数三个要素决定。全响应=稳态分量+暂态分量说明一阶电路的响应uC

=US

+(U0

-

US)et-tf(0+)是初始值，用t=0+的等效电路求解。f()是稳态值，用t的稳态电路求解。t-tt是时间常数。§4-6一阶电路的三要素法：代表一阶电路中任一电压、电流函数式中,初始值--（三要素）

稳态值--时间常数--1.在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：

利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。电路响应的变化曲线tOtOtOtO三要素法求解暂态过程的要点终点起点(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；tf(t)O

求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。 (1)稳态值的计算响应中“三要素”的确定例：uC+-t=0C10V5k1

FS5k+-t=03666mAS1H

1)由t=0-

电路求2)根据换路定则求出3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的或在换路瞬间t=(0+)的等效电路中电容元件视为短路。其值等于(1)若电容元件用恒压源代替，其值等于I0,,电感元件视为开路。(2)若,电感元件用恒流源代替，注意：(2)初始值的计算

1)对于简单的一阶电路，R0=R;

2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路注意：若不画t=(0+)的等效电路，则在所列t=0+时的方程中应有uC=uC(0+)、iL=iL

(0+)。R0U0+-CR0

R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。R1R2R3R1U+-t=0CR2R3S03二月202364*(2)在正弦电源激励下（不要求）f(t)=

f∞(t)

+[

f(0+)

-f∞(0+)

]-ttef∞(t)：换路后的稳态响应(特解)，f∞(0+)：是稳态响应f∞(t)的初始值。求f∞(t)的方法是待定系数法是与激励同频率的正弦量；f(0+)：是初始值，用t=0+等效电路求解。t：时间常数。或相量法(第4章)。例1：用三要素法求解解：电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压

和电流、。(1)确定初始值由t=0-电路可求得由换路定则解题指导t=0-等效电路9mA+-6k

RS9mA6k2F3kt=0+-C

R(2)确定稳态值由换路后电路求稳态值(3)由换路后电路求时间常数

t∞电路9mA+-6k

R3kt=0-等效电路9mA+-6k

R三要素uC

的变化曲线如图18V54VuC变化曲线tO用三要素法求54V18V2kt=0+++--S9mA6k2F3kt=0+-C

R3k6k+-54V9mAt=0+等效电路例2：由t=0-时电路电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。t=0时S闭合，试求：t≧0时电容电压uC和电流iC、i1和i2

。解：用三要素法求解求初始值t=0-等效电路12+-6V3+-+-St=06V123+-求时间常数由右图电路可求得求稳态值23+-+-St=06V123+-(、关联)+-St=06V123+-用三要素法求解解:已知：S在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。求:电感电流例3:t=0¯等效电路213AR12由t=0¯等效电路可求得(1)求uL(0+),iL(0+)t=03AR3IS211H_+LSR2R12由t=0+等效电路可求得

(2)求稳态值t=0+等效电路212AR12+_R3R2t=