第3章电路的暂态分析

第3章电路的暂态分析（上）电工技术与电子技术中国矿业大学信电学院第3章电路的暂态分析3.2储能元件和换路定则3.3RC电路的响应3.4一阶线性电路暂态分析的三要素法3.6RL电路的响应3.5微分电路和积分电路3.1电阻元件、电感元件与电容元件第3章电路的暂态分析

稳定状态：

在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。

暂态过程：

电路从一种稳态变化到另一种稳态的中间过程。电路暂态分析的内容(1)暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。(2)影响暂态过程快慢的电路的暂态过程。

1.利用电路暂态过程产生特定波形的电信号：如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。研究暂态过程的实际意义

2.控制、预防可能产生的危害

暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。

直流电路、交流电路都存在过渡过程,我们讲课的重点是直流电路的过渡过程。3.1.1电阻元件描述消耗电能的性质。根据欧姆定律:即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系。线性电阻3.1电阻元件、电感元件与电容元件Ru+_表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。电阻的能量3.1.1电阻元件3.1电阻元件、电感元件与电容元件电阻丝：加热器中常用的加热元件。置顶电炉元件烘箱元件电阻器格栅（汽车后窗加热系统）3.1.1电阻元件3.1电阻元件、电感元件与电容元件电阻器：电子控制电路中最常见的部件。电阻器根据构造可以分成以下几类：1绕线式电阻器绕线式电阻器造价高常用在大电流的电路中或要求精确电阻值的电路中3.1.1电阻元件2炭质电阻器3.1电阻元件、电感元件与电容元件炭质电阻器价格低曾一度普遍使用。通常，它并不能处理大电流，它实际电阻值是在额定值的20%范围内变化3.1.1电阻元件3薄膜电阻器3.1电阻元件、电感元件与电容元件薄膜电阻器分为炭薄膜型和金属薄膜型3.1.1电阻元件4晶片形电阻器3.1电阻元件、电感元件与电容元件3.1.1电阻元件电阻器的色码：较小的固定电阻，经常使用色码系来标定电阻值和允许误差。3.1电阻元件、电感元件与电容元件(1)第一环和第二环表示电阻值的第一、第二位数。(2)第三环表示零。例外若为金色或银色表示0.01或0.1倍(3)第四环通常金色或银色。银色代表±10%允许误差；金色代表±5%允许误差。如没第四环，允许误差为±20%3.1.1电阻元件3.1电阻元件、电感元件与电容元件颜色第一位第二位倍数允许误差黑色001棕色1110±1%红色22100±2%橙色331000黄色4410000绿色55100000蓝色6610000000紫色77灰色88白色99金色0.1±5%银色0.01±10%没色环±20%通用四环电阻器色环第一环：红色第二环：蓝色第三环：橙色第四环：银色红色=2蓝色=6橙色=×1000银色=±10%电阻值为26000Ω±10%，实际阻值在23400Ω到286000Ω之间。3.1.1电阻元件3.1电阻元件、电感元件与电容元件3.1.1电阻元件3.1电阻元件、电感元件与电容元件描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。1)物理意义电感:(H、mH)线性电感:L为常数;非线性电感:L不为常数。3.1.2

电感元件电流通过N匝线圈产生(磁链)电流通过一匝线圈产生(磁通)u+-描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。3.1.2

电感元件u+-线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关。S—线圈横截面积（m2）l—线圈长度（m）N—线圈匝数μ—介质的磁导率（H/m）自感电动势：2)自感电动势方向的判定自感电动势的参考方向规定:自感电动势的正方向与电流正方向相同,或与磁通的参考方向符合右手螺旋定则。+-eL+-L电感元件的符号3.1.2

电感元件自感电动势瞬时极性的判别

0<eL与参考方向相反eL具有阻碍电流变化的性质eL实+-eLu+-+-eL实-+0eLu+-+-eL与参考方向相同

0>

0自感电动势：+-eL+-L电感元件的符号3.1.2

电感元件当电流为大小方向不变的直流量时，电感元件上的电压为零。所以电感在直流稳态电路中相当于短路。3）电感元件储能根据基尔霍夫定律可得：将上式两边同乘上

i

，并积分，则得：即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。磁场能例3.1.1有一电感元件，L=0.2H,电流i如图所示，求电感元件中产生的自感电动势eL和两端电压u的波形24624246-0.20.4246-0.40.2解：当时则：当时24624246-0.20.4246-0.40.2由图可见：1）电流正值增大时，eL为负，电流正值减小时，eL为正；2）电流的变化率di/dt大，则eL大；反映电感阻碍电流变化的性质。3）电感两端电压u和通过它的电流i的波形是不一样的。例3.1.2在上例中，试计算在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的能量和在电流减小的过程中电感元件向电源放出的能量。解：在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的能量和在电流减小的过程中电感元件向电源放出的能量是相等的。即：时的磁场能3.电容元件描述电容两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，并储存电场能量的性质电容：uiC+_电容元件3.1.3.电容元件电容：uiC+_电容元件电容器的电容与极板的尺寸、及其间介质的介电常数等关。S—极板面积（m2）d—板间距离（m）ε—介电常数（F/m）3.1.3.电容元件uiC+_电容元件当电压u变化时，在电路中产生电流:当电压为大小方向不变的直流量时，电容元件上的电流为零。所以电容在直流稳态电路中相当于开路。电容元件储能将上式两边同乘上u，并积分，则得：即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能；当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。电场能根据：3.2储能元件和换路定则一．电路中产生暂态过程的原因合S后：

电流

随电压

比例变化。∴电阻电路不存在过渡过程(R耗能元件)。图(a)：

合S前：无暂态过程tI引例：(a)S+-UR3R2u2+-图(b)

合S后：

由零逐渐增加到U。∴电容电路存在暂态过程。一．电路中产生暂态过程的原因+-CiC(b)uCU+-SR合S前:,U暂态t稳态3.2储能元件和换路定则产生暂态过程的必要条件：换路:

电路状态的改变。如：电路接通、切断、

短路、电压改变或参数改变。电路中含有储能元件(内因)电路发生换路(外因)∵

L储能：不能突变Cu\∵C储能：产生暂态过程的原因：

由于物体所具有的能量不能跃变而造成在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变若发生突变，不可能！一般电路则电容电路：注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中

uc、iL初始值。设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)

t=0-—表示换路前的终了瞬间

t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）二．换路定则电感电路：三、暂态电路初始值的确定求解要点：初始值：电路中各u、i

在t=0+

时的数值。1.特殊的初始值uc(0+)、iL

(0+)的求法。（2）在t

=0-的等效电路中求出

uc

(

0–)

、iL

(

0–)；

（3）根据换路定律求出

uc(0+)、iL

(0+)。（1）画出t

=0-的等效电路开关的状态

：断开还是闭合电容的状态

：开路还是短路电感的状态

：开路还是短路三、暂态电路初始值的确定求解要点：2.其它电量初始值的求法。初始值：电路中各u、i

在t=0+

时的数值。（1）画出t

=0+的等效（2）在t=0+的等效电路中求解其它电量初始值。开关的状态

：断开还是闭合电容的状态

：用恒压源代替电感的状态

：用恒流源代替其中恒压原上的电压=uc(0+)，恒流源上的电流=iL

(0+)。暂态过程初始值的确定例1．解：(1)由换路前电路求由已知条件知根据换路定则得：S(a)CU

R2R1t=0+-已知：换路前电路处稳态，C、L均未储能。

试求：电路中各电压和电流的初始值。L暂态过程初始值的确定例1．U

iC

(0+)uC

(0+)iL(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R2R1+++__+-(b)t=0+等效电路,

换路瞬间，电容元件可视为短路。,

换路瞬间，电感元件可视为开路。SCU

R2R1t=0+-L(a)电路(2)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值暂态过程初始值的确定例1．U

iC

(0+)uC

(0+)iL(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R2R1+++__+-(b)t=0+等效电路iC

、uL

产生突变SCU

R2R1t=0+-L(a)电路(2)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值2+_RR2R1U8Vt=0++4i14ic_uc_uLiLR34例2：换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：1）由t=0-电路求uC(0–)、iL

(0–)换路前电路已处稳态：电容元件视为开路；

电感元件视为短路。42+_RR2R1U8V++4i14ic_uc_uLiLR3LCt=0-等效电路2+_RR2R1U8Vt=0++4i14ic_uc_uLiLR34例2：换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：1）由t=0-电路求uC(0–)、iL

(0–)由t=0-电路可求得：42+_RR2R1U8V++4i14ic_uc_uLiLR3LCt=0-等效电路解：42+_RR2R1U8V++4i14ic_uc_uLiLR3LCt=0-等效电路由换路定则：2+_RR2R1U8Vt=0++4i14ic_uc_uLiLR34CL例2：换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。2+_RR2R1U8Vt=0++4i14ic_uc_uLiLR34LC解：2)由t=0+电路求ic

(0+)、uL

(0+)uc

(0+)由图可列出带入数据iL

(0+)t=0+时等效电路4V1A42+_RR2R1U8V+4ic_iLR3i+_uL2+_RR2R1U8Vt=0++4i14ic_uc_uLiLR34解：解之得t=0+时等效电路4V1A42+_RR2R1U8V+4ic_iLR3i+_uL例2：换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。计算结果：2+_RR2R1U8Vt=0++4i14ic_uc_uLiLR34电量换路瞬间，不能跃变，但可以跃变。结论1.换路瞬间，uc、iL

不能跃变,但其它电量均可以跃变。换路前,若uc(0-)0,换路瞬间(t=0+等效电路中),

电容元件可用一理想电压源替代,其电压为uc(0+);

换路前,若iL(0-)0,在t=0+等效电路中,电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。2.换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。3.3RC电路的响应一阶电路暂态过程的求解方法经典法:根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。2.三要素法初始值稳态值时间常数求（三要素）仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。一阶电路求解方法换路前电路已处稳态t=0时开关,电容C经电阻R放电。

零输入响应:

无电源激励,输入信号为零,仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。图示电路:实质：RC电路的放电过程。3.3.1RC电路的零输入响应+-SRU21+–+–代入上式得一阶线性常系数齐次微分方程1)

列

KVL方程1.电容电压uC

的变化规律(t0)3.3.1RC电路的零输入响应+-SRU21+–+–2)

解方程：特征方程由初始值确定积分常数A齐次微分方程的通解：电容电压uC

从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC决定。3)电容电压uC

的变化规律电阻电压：放电电流

电容电压t2.电流及电阻电压的变化规律3.、、变化曲线Ru4.时间常数令:(单位:S、mS)1)量纲时间常数

决定电路暂态过程变化的快慢。4.时间常数2)物理意义:当

时时间常数等于电压衰减到初始值U的所需的时间。0.368Ut0ucU0.368U越大，曲线变化越慢，达到稳态所需要的时间越长。时间常数的物理意义U0t0uc当

t=5

时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。3)暂态时间理论上认为、电路达稳态。工程上认为~

、电容放电基本结束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而率减

3.3.2RC电路的零状态响应零状态响应:储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程。分析：在t=0时，合上开关s，

此时,电路实为输入一个阶跃电压u，如图。与恒定电压不同，其电压u表达式Utu阶跃电压uC

(0-)=0sRU+_C+_iuc方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解1.uC的变化规律1)

列KVL方程

3.3.2RC电路的零状态响应uC

(0-)=0sRU+_C+_iuc一阶线性常系数非齐次微分方程1.uC的变化规律

3.3.2RC电路的零状态响应uC

(0-)=0sRU+_C+_iuc2）解方程求特解

：方程的通解:求对应齐次微分方程的通解通解即：的解微分方程的通解:2）解方程求特解----（法二）确定积分常数A根据换路定则在t=0+时，3)电容电压uC

的变化规律暂态分量稳态分量电路达到稳定状态时的电压t-U+U仅存在于暂态过程中63.2%U3.、变化曲线t2.电流

iC

的变化规律为什么在t=0时电流最大？Ut当t=

时：表示电容电压uC

从初始值上升到稳态值的63.2%

时所需的时间。4.时间常数的物理意义:UU0.632Ut

越大，曲线变化越慢，达到稳态时间越长。结论：当

t=5时,过渡过程基本结束,uC

达到稳态值。0.998Ut000.632U0.865U0.950U0.982U0.993U3.3.3

RC电路的全响应1.uC

的变化规律全响应:电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。根据叠加原理全响应=零输入响应+零状态响应uC

(0-)=UosRU+_C+_iuc稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量结论2：全响应=稳态分量+暂态分量全响应结论1：全响应=零输入响应+零状态响应稳态值初始值稳态解初始值3.4

一阶线性电路暂态分析的三要素法仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。据经典法推导结果全响应uC

(0-)=UosRU+_C+_iuc：代表一阶电路中任一电压、电流函数初始值--（三要素）

稳态值--时间常数--在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。电路响应的变化曲线t0t0t0t0三要素法求解暂态过程的要点终点起点t(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；

所用电路为换路后的t→∞的等效电路，电容C视为开路,电感L视为短路。1)稳态值的计算uc+-t=0C10V5k1fS例：5k+-t=03666mAS1H响应中“三要素”的确定在换路瞬间t=(0+)的等效电路中:电容元件视为短路。其值等于(1)若电容元件用恒压源代替，其值等于I0,电感元件视为开路。(2)若,电感元件用恒流源代替，

注意：2)初始值的计算

(1)对于简单的一阶电路，R0=R;

(2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。3)时间常数的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路

注意：R0R1U+-t=0CR2R3SR2R3R1U0+-CR0

R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。例1：解：用三要素法求解电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处稳态。试求电容电压

和电流、。S9mA6k2ƒ3kt=0+-CRt=0-等效电路9mA2ƒ+-C6kR1）确定初始值例1：解：电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处稳态。试求电容电压

和电流、。1）确定初始值由换路定则t=0-等效电路9mA2ƒ+-C6kR2)确定稳态值由换路后电路求稳态值3)由换路后电路求时间常数t∞电路9mA2ƒ+-C6kRR三要素18V54VuC

的变化曲线如图uC变化曲线t0用三要素法求S9mA6k2ƒ3kt=0+-t=0+等效电路3k6k+-54V9mA54V18V2kt=0+++--解：用三要素法求S9mA6k2ƒ3kt=0+-解：解：用三要素法求解求初始值例2：电路如图，开关S闭合前电路已处稳态。t=0时S闭合，试求：t≧0时电容电压和电流、、+-St=06V123+-t=0-等效电路12+-6V3+-求稳态值

+-St=06V123+-23+-求时间常数三要素(、关联)+-St=06V123+-3.5微分电路和积分电路3.5.1微分电路微分电路与积分电路是矩形脉冲激励下的RC电路。若选取不同的时间常数，可构成输出电压波形与输入电压波形之间的特定（微分或积分）的关系。1.电路条件2）输出电压从电阻R端取出TtU0tpCR+_+_+_2.分析由KVL定律由公式可知

输出电压近似与输入电压对时间的微分成正比。tt1UtptCR+_+_+_R很小，所以有不同τ时的u2波形τ=0.05tpτ=10tp

τ=0.2tp应用:

用于波形变换,作为触发信号。CR+_+_+_UT2TtUT2TtU2TTtU2TTUtT/2tptT2T3.波形3.5.2积分电路条件2）从电容器两端输出。1.电路CR+_+_+_TtU0tp3.5.2积分电路由图：1.电路输出电压与输入电压近似成积分关系。2.分析CR+_+_+_TtU0tp3.波形t2Utt1tt2t1Utt2t1U

用作示波器的扫描锯齿波电压应用:3.6RL电路的响应3.6.1

RL

电路的零输入响应一、RL

短接1.的变化规律U+-SRL21t=0+-+-1)确定初始值2)确定稳态值3)确定电路的时间常数2.变化曲线00U+-SRL21t=0+-+--UU36.8%U二、

RL直接从直流电源断开1.可能产生的现象1）刀闸处产生电弧2）电压表瞬间过电压U+-SRL2t=0+-+-2.解决措施(2)接续流二极管VD(1)接放电电阻U+-S