第3章MATLAB矩阵分析与处理

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82519604第3章MATLAB

矩阵分析与处理参考教材:MATLAB程序设计与应用(第二版)刘卫国主编高等教育出版社3.1特殊矩阵3.2矩阵求逆与线性方程组求解3.3矩阵求值3.4矩阵的特征值与特征向量习题&作业3.1特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。调用格式：zeros(m):产生m*m的零矩阵。zeros(m,n)：产生m*n的零矩阵。例3.1分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的幺矩阵。

(1)建立一个3×3幺矩阵。

ones(3)

(2)建立一个3×2幺矩阵。

ones(3,2)

(3)设A为2×3矩阵，建立一个与矩阵A同样大小的幺矩阵。

A=[123;456];%产生2×3矩阵A

zeros(size(A))%产生与矩阵A同维的零矩阵rand(m,n):生成m*n维0~1之间均匀分布的随机数矩阵。randn(m,):生成m*n维均值为0，方差为1正态分布的随机数矩阵。a=rand(1000,1);b=randn(1000,1);subplot(2,1,1);hist(a);%柱状图subplot(2,1,2);hist(b)例3.2建立随机矩阵：(1)在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。

(2)均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)产生m*n维[a,b]区间上均匀分布的随机数矩阵：

y=a+(b-a)*rand(m,n)产生m*n维，均值为，方差为2随机数矩阵：

y=mu+sigma*randn(m,n)3.2矩阵求逆与线性方程组求解3.2.1矩阵的逆

对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得：

A·B=B·A=I(I为单位矩阵)

则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。

求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数:

inv(A)3.2.2用矩阵求逆方法求解线性方程组在线性方程组Ax=b两边各左乘A-1，有

A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得

x=A-1b例3.3用求逆矩阵的方法解线性方程组。

命令如下：A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];b=[5,-2,6]';x=inv(A)*b

%等价于x=A\b3.3

矩阵求值3.3.1方阵的行列式

求方阵A所对应的行列式的值的函数是:

det(A)

A=rand(5)d=det(A)

3.3.2矩阵的秩与迹1．矩阵的秩

矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是

rank(A)2．矩阵的迹

矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是

trace(A)

如：

A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9];

rank(A)trace(A)

ans=3ans=163.3.3矩阵的条件数在求解AX=b时，A和b中个别元素的微小扰动会引起解的很大变化，称A为病态矩阵，反之为良性。用条件数来描述，越大越病态，越小（趋近1）越好。

A的条件=A的范数与A-1的范数乘积

在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：

(1)cond(A,1)计算A的1—范数下的条件数。

(2)cond(A)或cond(A,2)计算A的2—范数数下的条件数。

(3)cond(A,inf)计算A的∞—范数下的条件数。

如：

A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9];

cond(A)

ans=87.9754

B=[2,-5,4;1,5,-2;-1,2,4];

cond(B)

ans=3.7515

显然，B矩阵性能要好于A矩阵。

3.4矩阵的特征值与特征向量矩阵A作用于一向量V，结果只相当于该向量乘以一常数λ。即A*V=V*λ，则V为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。

计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是

eig(A)常用的调用格式有2种：

(1)E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。例3.4用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x-18=0

p=[3,-7,0,5,2,-18];

A=compan(p);%A的伴随矩阵（友矩阵）

x1=eig(A)%求A的特征值

x2=roots(p)

%x1与x2结果相同：

2.1837

1.0000+1.0000i

1.0000-1.0000i

-0.9252+0.7197i

-0.9252-0.7197i

若用：[V，D]=eig(A);结果：特征向量为V，

特征值为D：

实验：习题&作业1．写出完成下列操作的命令。（1）建立3阶单位矩阵A。（2）建立5x6随机矩阵A，其元素为[100，200]范围内的随机整数。（3）产生均值为1，方差为0.2的500个正态分布的随机数。（4）产生和A同样大小的幺矩阵。（5）将矩阵A对角线的元素加30。2.建立一个方阵A，求A的逆矩阵和A的行列式的值，并验证A与A-1是互逆的。3.求下面线性方程组的解。4.求下列矩阵的秩、迹、条件数。（1）（2）

5.求矩阵A的特征值和相应的特征向量。MATLAB功能演示（1）求高次方程

2x5-3x3+71x2-9x+13=0

的全部根。p=[2,0,-3,71,-9,13];x=roots(p)x=-3.49141.6863+2.6947i1.6863-2.6947i0.0594+0.4251i0.0594-0.4251iMATLAB功能演示（2）求解线性方程组a=[2,3,-1;8,2,3;45,3,9];b=[2;4;23];X=inv(a)*b%或者X=a\bX=0.55310.2051-0.2784MATLAB功能演示（3）求积分quad('x.*log(1+x)',0,1)ans=0.2500MATLAB功能演示（4）符号运算symsabcxx=solve('a*x*x+b*x+c=0')x=1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))MATLAB功能演示（5）分别绘制函数y1=2-|x|和y2=sin(x)的曲线。x=-2*pi:pi/180:2*pi;y1=2.^(-abs(x));y2=sin(x);plot(x,y1,':',x,y2);MATLAB功能演示（6）在xy平面