第六章应力状态分析

Chapter7AnalysisofStressandStrainFailureCriteria第六章应力状态分析第六章应力状态分析

§6-1

应力状态概述

§6-2

平面应力状态分析-解析法§6-3

平面应力状态分析-图解法

§6-4

三向应力状态特例分析

§6-5

广义胡克定律§6-6

一般应力状态下的变形能密度

§6-1

应力状态概述

(Introductionofstress-state)一、应力状态的概念

(Conceptsofstresses-state)请看下面几段动画

1.低碳钢和铸铁的拉伸实验

（Atensiletestoflow-carbonsteelandcastiron）

2.低碳钢和铸铁的扭转实验

（Atorsionaltestoflow-carbonsteelandcastiron）低碳钢（low-carbonsteel）?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁

（cast-iron）

低碳钢和铸铁的拉伸?为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？低碳钢和铸铁的扭转低碳钢（low-carbonsteel）铸铁（cast-iron）

（1）拉中有剪,剪中有拉;

（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力;

（3）同一面上不同点的应力各不相同;

（4）同一点不同方向面上的应力也是各不相同

3.重要结论（Importantconclusions）哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？

4.一点的应力状态（stateofstressesofagivenpoint）过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状态（stateofstressesofagivenpoint）,亦指该点不同方向面上的应力集合。二、应力状态的研究方法（Themethodforinvestigatingthestateofstress）

1.单元体（Elementbody）（2）任意一对平行平面上的应力相等

2.单元体特征（Elementcharacteristic）

3.主单元体（Principalbody）

各侧面上切应力均为零的单元体（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布312231

4.主平面（Principalplane）

切应力为零的截面

5.主应力（Principalstress）

主面上的正应力

说明:一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即123

三、应力状态的分类（Theclassificationofstresses-state）

1.空间应力状态（Triaxialstress-stateorthree-dimensionalstress-state）

三个主应力1,2,3

均不等于零2.平面应力状态（Biaxialstress-stateorplanestress-state）

三个主应力1,2,3中有两个不等于零3.单向应力状态（Uniaxialstress-stateor

simplestress-state）

三个主应力1,2,3中只有一个不等于零312231221111例题

1画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面254321543211x1x1x2x222333alSF例题

2画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体

xzy4321zy4321FSMzT12yxzzy4321FSMzTxzy43213平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,xy

和y,yx§6-2

平面应力状态分析-解析法（Analysisofplanestress-state）xxyzyxyyxxyxyyx一、斜截面上的应力（Stressesonanobliquesection）1.截面法（Sectionmethod）假想地沿斜截面e-f

将单元体截开,留下左边部分的单体元eaf

作为研究对象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnαxyaxxyxxyefn（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正（2）正应力仍规定拉应力为正（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正2.符号的确定（Signconvention）efaxxyyxyαααnαt设斜截面的面积为dA,a-e的面积为dAcos,a-f

的面积为dAsinefaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos3.任意斜截面上的应力(Thestressactingonanyinclinedplane)

对研究对象列n和t方向的平衡方程得t化简以上两个平衡方程最后得不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数二、最大正应力及方位（Maximumnormalstressandit’sdirection）1.最大正应力的方位（Thedirectionofmaximumnormalstress

）令

0和0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.2.最大正应力（Maximumnormalstress）将0和

0+90°代入公式得到max和min

(主应力）下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角(可借助摩尔圆分析)二、面内最大切应力及方位(Maximumshearingstressandit’sdirection)

1.面内最大切应力的方位（Thedirectionofmaximumshearingstress

）令

1和1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.2.面内最大切应力（Maximumshearingstress

）将1和

1+90°代入公式得到max和min

比较和可见例题4简支梁如图所示.已知m-m

截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为

=-70MPa,=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.AmmalA解：把从A点处截取的单元体放大如图xAA01313xyxy例题5图示单元体,已知x

=-40MPa,y

=60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef解:（1）求

e-f

截面上的应力（2）求主应力和主单元体的方位xyxy22.5°13解:（1）求主平面方位例题6求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.xy45°（2）求主应力1=,2=0,3=-13

§7-3

平面应力状态分析-图解法

(Analysisofplanestress-statewithgraphicalmeans)一、莫尔圆（Mohr’scircle）将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得因为x,y,xy

皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的圆周方程.当斜截面随方位角变化时,其上的应力

,

在

-直角坐标系内的轨迹是一个圆.

1.圆心的坐标

（Coordinateofcirclecenter）

2.圆的半径（Radiusofcircle）此圆习惯上称为应力圆（planestresscircle）,或称为莫尔圆（Mohr’scircle）（1）建

-坐标系,选定比例尺Ｏ二、应力圆作法（Themethodfordrawingastresscircle）1.步骤（Steps）xyxxyxxyyyDxyO

（2）量取OA=xAD

=xy得D点xyxxyxxyxAOB=y（3）量取BD′=yx得D′点yByxD′（4）连接DD′两点的直线与轴相交于C

点（5）以C为圆心,CD

为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C（1）该圆的圆心C点到坐标原点的距离为（2）该圆半径为DxyOxAyByxD′C2.证明(Prove)三、应力圆的应用（Applicationofstress-circle）

1.求单元体上任一截面上的应力（Determinethestressesonanyinclinedplanebyusingstress-circle）从应力圆的半径CD按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上E

点的坐标就依次为斜截面上的正应力和切应力.DxyOxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefnDxyOxAyByxD′C20FE2证明：（感兴趣的同学课后自行证明即可。）（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.说明AB（2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍.

(3)两者的转向一致.2OCBA

问题1:应力圆上夹角的起点和终点如何对应确定？

问题2：应力圆上的夹角如何形成的？方向面应力圆方向面上的正应力和切应力应力圆上一点的横坐标和纵坐标值起始方向面到终了方向面起（始方向面上应力在应力圆上对应的）点与圆心连成的半径到终（了方向面上应力在应力圆上对应的）点起始方向面转到终了方向面的转向起点与圆心连成的半径转到终点的转向2.求主应力数值和主平面位置

（Determineprinciplestressandthedirectionofprincipleplanebyusingstresscircle）（1）主应力数值

A1和B1两点为与主平面对应的点,其横坐标为主应力1,212DxyOxAyByxD′C20FE2B1A120DxyOxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由CD顺时针转20到CA1所以单元体上从

x

轴顺时针转0（负值）即到1对应的主平面的外法线0确定后,1对应的主平面方位即确定3.求最大切应力（Determinemaximumshearing

stressbyusingstresscircle）

G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力20DxyOxAyByxD′C12A1B1G1G2因为最大、最小切应力等于应力圆的半径

应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。另一方面，应力圆通过明晰的几何关系帮助导出一些基本公式，而不是死记硬背这些公式。

应力圆的应用

利用应力圆确定前面例题4、5、6主应力所对应的平面。应力圆的应用1sxsxtx'y'sx'o2×45º2×45ºBEADadcbeEEBB45º45º应力圆的应用2：低碳钢拉伸时为什么会出现45度方向上的滑移线？EB轴向拉伸时45º方向面上既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。EBsxsx应力圆的应用2：低碳钢拉伸时为什么会出现45度方向上的滑移线？otx'y'sx'2×45º2×45ºsy'＝tsx'＝－tBEDAttd(0,-t)Ca(0,t)eb应力圆的应用3：铸铁扭转时为什么在45度方向面上发生破坏？

纯剪应力状态下，45º方向面上只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。DAttsy'＝tsx'＝－tBE应力圆的应用3：铸铁扭转时为什么在45度方向面上发生破坏？例题8两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺寸示于图中.试绘出截面C上a,b两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力.12015152709zab250kN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN·m解:（1）首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图

Mmax

=MC

=80kN·m

FSmax

=FC左

=200kN250KN1.6m2mABC12015152709zab（2）横截面C上a点的应力为

a点的单元体如图所示axxxyyx由x,xy

定出D

点由y,yx

定出D′点以DD′为直径作应力圆OC（3）做应力圆

x=122.5MPa,xy

=64.6MPa

y=0,xy

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2

A1,A2

两点的横坐标分别代表a

点的两个主应力1和3

A1点对应于单元体上1所在的主平面

axxxyyx01312015152709zab（4）横截面C上b点的应力

b点的单元体如图所示bxx

b点的三个主应力为1所在的主平面就是x

平面,即梁的横截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′1课本P170习题6-1（2）6-2（a）（b）6-3平面应力分析课堂练习已知受力物体内某一点处三个主应力1,2,3利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力.一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力(themaximumnormalstressandshearstressinthree-dimensionalstress-state)§6-4

三向应力状态特例分析（analysisofthree-dimensionalstress-state）31223113首先研究与其中一个主平面（例如主应力3所在的平面）垂直的斜截面上的应力122用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象21主应力3所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力,

与3无关,只由主应力1,2

决定与3垂直的斜截面上的应力可由

1,2作出的应力圆上的点来表示123321该应力圆上的点对应于与3垂直的所有斜截面上的应力A1O2B与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,

可用由1,3作出的应力圆上的点来表示C3与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力,

可用由2,3作出的应力圆上的点来表示该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内

abc

截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc12123A1O2BC3结论三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标1A1O2BC3该点处的最大切应力则等于最大的应力圆的半径点的最大切应力所在的截面与2所在的主平面垂直,并与1和3所在的主平面成45°角.例题9单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:

该单元体有一个已知主应力因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z

无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa由x,xy

定出D

点由y,yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆

A1,A2

两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1和

3A1A2D′ODC13

1=46MPa

3=-26MPa该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa根据上述主应力，作出三个应力圆一、各向同性材料的广义胡克定律（GeneralizedHooke’slawforisotropicmaterials）（1）正应力:拉应力为正,压应力为负1.符号规定(Signconvention)（2）切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则τ为正;反之为负（3）线应变:以伸长为正,缩短为负;

（4）切应变:使直角减者为正,增大者为负.xx

§6-5

广义胡克定律

(GeneralizedHooke’slaw)yzyxyyxzyy

x方向的线应变用叠加原理,分别计算出x,y,z

分别单独存在时,x,y,z方向的线应变x,y,z,然后代数相加.2.各向同性材料的广义胡克定律（GeneralizedHooke’slawforisotropicmaterials）单独存在时单独存在时

单独存在时xyyzzzxx在x

,y

,z同时存在时,x

方向的线应变x为同理,在x,y

,z同时存在时,y,z

方向的线应变为在xy,yz,zx

三个面内的切应变为上式称为广义胡克定律（GeneralizedHooke’slaw）

——沿x,y,z轴的线应变

——在xy,yz,zx面上的角应变

对于平面应力状态（inplanestress-state）

（假设z

=0,xz=0,yz=0）xyzxyxyyxxyxyyx3.主应力-主应变的关系（Principalstress-principalstrainrelation）二向应力状态下(inplanestress-state)设3=0已知1,2,3;1,2,3为主应变二、各向同性材料的体积应变（Thevolumetricstrain

forisotropicmaterials）123a1a2a3构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用q表示.各向同性材料在三向应力状态下的体应变如图所示的单元体,三个边长为dx

,dy

,dz变形后的边长分别为变形后单元体的体积为dx(1+,dy(1+2,dz(1+3

V1=dx(1+·

dy(1+2·

dz(1+3体积应变（volumetricstrain）为1.纯剪切应力状态下的体积应变（

Volumetricstrainforpureshearingstress-state）即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.2.三向等值应力单元体的体积应变（Thevolumetricstrain

oftriaxial-equalstresselementbody）三个主应力为单元体的体积应变mmm这两个单元体的体积应变相同mmm123dxdydz单元体的三个主应变为如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以在三向等值应力m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的.在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x

,y,z

有关,仿照上述推导有在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.DdyMeKx例题12壁厚d=10mm,外径D=60mm的薄壁圆筒,在表面上K

点与其轴线成45°和135°角,即x,y

两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为

Me

的扭转力偶,如图所示,已知圆筒材料的弹性常数为E=200GPa和m=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且max=100MPa,试求K点处的线应变x,y

以及变形后的筒壁厚度.解:从圆筒表面K

点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示可求得DdyMeKx

-45°xyk13maxmaxK

K点处的线应变x

,

y

为（压应变）（拉应变）圆筒表面上K点处沿径向（z轴）的应变和圆筒中任一点（该点到圆筒横截面中心的距离为）处的径向应变为因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为d

=10mm.

重要应用实例承受内压薄壁容器任意点的应力状态分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz薄壁圆筒的横截面面积pD′nn（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为Fmmnn直径平面（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象p"yＯFNFNd例题5-3

图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容