《变化率与导数》课件

变化率与导数问题1气球膨胀率

在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?

结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.（一）平均变化率思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系

在某段时间内，高度相对于时间的变化率用平均速度来描述。

即:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,问题2.平均速度.思考：求t1到t2时的平均速度．

观察函数f(x)的图象OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)平均变化率的定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为

令△x=

x2–x1,△y=

f(x2)–

f(x1),则平均变化率可以表示为几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。例1、已知函数f(x)=2x+1,计算在区间[1，2]上f(x)的平均变化率.

例2、已知函数f(x)=x2,计算f(x)在下列区间[1，3]上的平均变化率：

例3

已知f(x)=2x2+1(1)求:其从x1到x2的平均变化率；(2)求:其从x0到x0+Δx的平均变化率.平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，

需要用瞬时速度描述运动状态.探究讨论：（二）、导数的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

又如何求瞬时速度呢?

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度Δt

<0时，在[2+Δt,2]这段时间内Δt

>0时,在[2,2+Δt

]这段时间内当Δt=–0.01时,当Δt=

0.01时,当Δt=–0.001时,当Δt=0.001时,当Δt=–0.0001时,当Δt=0.0001时,Δt=–0.00001,Δt=0.00001,Δt=–0.000001,Δt=0.000001,

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?…………

当Δt趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.

从物理的角度看,时间间隔|Δt

|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2

时的瞬时速度是–13.1.表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=

x0处的瞬时变化率怎样表示?导数的概念一般地，函数y=f(x)

在点x=x0处的瞬时变化率是我们称它为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记为或，即说明：（1）函数在点处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数．点是自变量x在处的改变量，，而是函数值的改变量，可以是零．

（2）由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:（1）求函数的增量:；（2）求平均变化率:；．（3）取极限，得导数:例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.三．典例分析

例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh