第三章杆件的强度与压杆稳定

建筑力学与建筑结构教学课件问题提出：FPFPFPFP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度

(1)内力在截面分布集度应力；

(2)材料承受荷载的能力。第一节应力与应变的概念FRAK总应力：一、应力的概念受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。总应力p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂直，也不与截面相切。为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。第一节应力与应变的概念总应力分解为与截面相切pK工程中应力的单位常用Pa或MPa。

1Pa=1N/m2

1MPa=1N/mm2另外，应力的单位有时也用kPa和GPa，各单位的换算情况如下：

1kPa=103Pa，

1GPa=109Pa=103MPa1MPa=106Pa正应力σ剪应力τ与截面垂直第一节应力与应变的概念说明：（1）应力是针对受力杆件的某一截面上某一点而言的，所以提及应力时必须明确指出杆件、截面、点的名称。（2）应力是矢量，不仅有大小还有方向。（3）内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点的应力；整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内力。第一节应力与应变的概念二变形—位移和应变

1、位移（变形位移）线位移：物体中一点相对于原来位置所移动的直线距离。角位移：物体中某一直线或平面相对于原来位置所转过的角度。第一节应力与应变的概念2、应变线应变切应变第一节应力与应变的概念屋架结构的简化一轴向拉伸和压缩的概念

工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变两个FP力指向端截面，使杆发生纵向收缩，称为轴向压力。FPFPFPFP

在杆的两端各受一集中力FP作用，两个FP力大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线重合两个FP力背离端截面，使杆发生纵向伸长，称为轴向拉力。第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变一、轴向拉（压）杆的内力——轴力

轴向拉（压）杆的内力是一个作用线与杆件轴线重合的力，习惯上把与杆件轴线相重合的内力称为轴力。并用符号FN表示。

轴力的正负规定:

FN与外法线同向,为正轴力(拉力)FN与外法线反向,为负轴力(压力)FNFNFNFN第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变求内力的基本方法——截面法

内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。

截面法的基本步骤：

（1）截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。

（2）代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。

（3）平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力。轴向拉伸和压缩截开：FPFPⅠⅡmmFNFPmmxⅠFNFPmmⅡ由平衡方程

∑Fx=0，FN-FP=0得

FN=FP（１）截（3）代（4）平轴向拉伸和压缩（2）取120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0FN1+20=0FN1=-20kN于1-1截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力为正值。则例1试求等直杆指定截面的轴力。FN120kND第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变20kN20kNFN2DC

于2-2截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力为正值。则120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0-FN2+20-20=0FN2=0第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变FN320kN20kN30kNDCB

于3-3截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力为正值。则120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0-FN3+30+20-20=0FN3=30kN第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变

任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧所有外力的代数和，且当外力的方向使截面受拉时为正，受压时为负。FN=ΣF结论120kN20kN30kNABCD12233FN1=-20kNFN2=0FN1=-20kN第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变二、轴力图

为了形象地表明杆的轴力随横截面位置变化的规律，通常以平行于杆轴线的坐标（即x坐标）表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标（即FN坐标）表示横截面上轴力的数值，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图形，这种表明轴力随横截面位置变化规律的图称为轴力图。第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变意义：（1）反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；（2）确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。求轴力的方法为截面法，一般所求截面上的内力采用“设正法”，即无论受力如何，将内力一律设为拉力。结果正，表明该轴力为拉。轴力图与杆件应注意一一对应的关系，应在其值变化的角点标出数值。截面不能刚好截在外力作用点处，因为在外力作用点处轴力发生突变，其值是不定值。画轴力图注意的问题120kN20kN30kNABCD12233第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变

例

杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。BD段：DE

段：AB段：30kN20kN30kN402010–++FN图（kN）

注：内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变

轴力图要求：练习直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。2FPFP2FP5FPABCED正负号数值阴影线与轴线垂直图名第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变FPFP’变形规律试验：三、拉（压）杆横截面上的应力观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行；所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只是它们之间的相对距离增大了。第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑，可推断：

轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。由此可知：横截面上只有正应力σ。假如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应力σ都相同。

sFNFP第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一种应力——正应力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以拉杆横截面上正应力的计算公式为式中A—拉（压）杆横截面的面积；

FN—轴力。

当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号；当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应力。通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点。对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变

例3-1

图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC

解：1、计算各杆件的轴力。用截面法取节点B为研究对象45°12BF45°第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变BF45°2、计算各杆件的应力。第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变例题2

图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.试求：（1）

Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图（2）

杆的最大正应力maxF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变解：求支座反力FRD=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图F1FN1第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变F2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDFRDFN3第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变（2）

杆的最大正应力maxAB段DC段BC段FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDmax=176.8MPa

发生在AB段.第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变FkkF

四、斜截面上的应力（Stressonaninclinedplane)1.斜截面上的应力（Stressonaninclinedplane）FkkFαpα以pα表示斜截面k-k上的应力，于是有第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变沿截面法线方向的正应力沿截面切线方向的切应力将应力pα分解为两个分量：pαFkkFFkkxnpα第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变（1）α角2.符号的规定(Signconvention)（2）正应力拉伸为正压缩为负（3）切应力对研究对象任一点取矩pαFkkFFkkxnpα顺时针为正逆时针为负逆时针时

为正号顺时针时

为负号自x

转向n第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变（1）当

=0°

时，（2）当

=45°时，

（3）当=-45°

时，（4）当=90°时，讨论xnFkk第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变五

五拉压杆的变形计算

(Calculationofaxialdeformation)FFbh

一、纵向变形(Axialdeformation)b1ll12.纵向应变(Axialstrain)1.纵向变形(Axialdeformation)第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变二、横向变形(Lateraldeformation)三、泊松比

(Poisson’sratio)称为泊松比

(Poisson’sratio)2.横向应变(Lateralstrain)FFbhb1ll11.横向变形(Lateraldeformation)第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变四、胡克定律

(Hooke’slaw)式中E

称为弹性模量(modulusofelasticity)，EA称为抗拉（压）刚度(rigidity).

实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.上式改写为由第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变例题2

图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.试求：（1）

Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图（2）

杆的最大正应力maxF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变（3）

B截面的位移及AD杆的变形FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变（3）

B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD第二节轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变一、强度条件(Strengthcondition)

杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力1.数学表达式(Mathematicalformula)2.强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)（2）设计截面（1）

强度校核（3）确定许可荷载第四节轴向受力构件的强度条件例题1

一横截面为正方形的砖柱分上、下两段,其受力情况,各段长度及横截面面积如图所示.已知F=50kN，试求荷载引起的最大工作应力.FABCFF3000400037024021解：（1）作轴力图第四节轴向受力构件的强度条件FABCFF300040003702402150kN150kN（2）求应力结论：

在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.第四节轴向受力构件的强度条件例题2

简易起重设备中，AC杆由两根80807等边角钢组成，AB杆由两根10号工字钢组成.材料为Q235钢，许用应力[]=170MPa.求许可荷载[F].ABCF1m30。第四节轴向受力构件的强度条件解：（1）取结点A为研究对象，受力分析如图所示.ABCF1m30°FAxyFN1FN230。第四节轴向受力构件的强度条件结点A的平衡方程为由型钢表查得FAxyFN1FN230。得到第四节轴向受力构件的强度条件（2）

许可轴力为（3）各杆的许可荷载（4）

结论：许可荷载[F]=184.6kN第四节轴向受力构件的强度条件例题3

刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力[]=160MPa，试校核CD杆的强度,并求：（1）结构的许可荷载[F];（2）若F=50kN,设计CD杆的直径.2aaFABDC第四节轴向受力构件的强度条件解：（1）求CD杆的内力2aaFABDCFNCDFACBFRAyFRAx（2）结构的许可荷载[F]由第四节轴向受力构件的强度条件[F]=33.5kN2aaFABDCFNCDFACBFRAy得（3）

若F=50kN，设计CD杆的直径由得d=24.4mm取d=25mmFRAx第四节轴向受力构件的强度条件

CD梁段横截面上只有弯矩,而没有剪力，这种平面弯曲称为纯弯曲。

AC和DB梁段横截面上不仅有弯矩还伴有剪力，这种平面弯曲称为横力弯曲。MFPaFQFPFPFPFPaaCDAB第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件一、弯曲正应力

纯弯曲梁横截面上的正应力研究方法是：观察变形应力分布应力计算公式

σ与ε物理关系静力学关系一、纯弯曲时梁横截面上的正应力第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件Oyxzbhoyz观察纯弯曲梁变形现象o1ao2b12121.几何变形方面第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件zyxoMMOyz所有纵向线都弯成曲线，仍与横向线垂直，靠近凸边的纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。横向线仍为直线但转过了一个角度；矩形截面的上部变宽下部变窄。1212MMo1a1o2b1第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件

平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤维之间无挤压。

单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件根据现象，推测梁内部变形中性层MMzy中性轴受压区受拉区

中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维层，称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴，由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时，其横截面绕中性轴旋转某一角度。

第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件1212o1ao2b1212o1ao2b1122MMdx

梁中取出的长为dx的微段变形后其两端相对转了d角a1b1O2O1dr第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件距中性层为y处的纵向纤维ab的变形式中ρ为中性层上的纤维的曲率半径。可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与y成正比。

则纤维的应变为原长：))O1O2a1b1O2O1dr1212o1ao2b变形后长：第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件

2.物理关系方面

由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应力为

梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应力沿截面高度成线性分布。

中性轴上各点处的正应力等于零，距中性轴最远的上、下边缘上各点处正应力最大，其它点的正应力介于零到最大值。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件xyzO坐标系的选取：

y轴：截面的纵向对称轴。

z轴：中性轴。

x轴：沿纵向线。

受力分析：dA上的内力为σdA，于是整个截面上所有内力组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩MZ，所以横截面法向的轴力FN和力偶矩My应为零，即：ΣFx＝0ΣMy=0ΣMz=M(y

z)M3.静力学关系方面第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件故：Sz

=0

即中性轴z必过横截面的形心。代入胡克定律：及：故：Iyz＝0，

y轴为对称轴，z轴又过形心，则轴y，z为横截面的形心主惯性轴。（中性层曲率公式）故：第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件其中1／ρ是梁轴线变形后的曲率。称EIZ为梁的抗弯刚度。得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：代入：

表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩成反比。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件

计算时公式中代入M和y的绝对值。σ的正负可由弯矩的正负和所求点的位置来判断.-++-第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件适用条件是：

(1)梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。

(2)正应力不超过材料的比例极限。

(3)梁产生纯弯曲。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面是不仅有正应力，而且有切应力。纯弯曲理论的推广对于跨度与截面高度之比大于5的横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的精度要求。梁的跨高比越大，误差就越小。梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的假设不再成立。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件

若截面是高为h，宽为b的的矩形，则若截面是直径为d的圆形，则第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件

式中WZ仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴的抗弯截面模量。单位：m3或mm3。

若截面是外径为D、内径为d的空心圆形，则

DdDd=a对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后“附录”型钢表中查出。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件

例

简支梁受均布荷载q作用，试完成：(1)求距左端为１m的C截面上a、b、c三点的正应力。(2)求梁的最大正应力值，并说明最大正应力发生在何处。(3)作出C截面上正应力沿截面高度的分布图。

200q=3.5kN/mAB3m1m第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件解

（1）求指定截面上指定点的应力先求出支座反力,由对称性C截面积的弯矩矩形截面对中性轴z的惯性矩MC=(5.25×1－3.5×1×0.5)kN·m=3.5kN·m200q=3.5kN/mAB3m1m第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件计算C截面上a、b、c三点的正应力：200第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件(2)求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。梁的最大正应力发生在最大弯矩Mmax所在的上、下边缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处；最大压应力发生在跨中截面的边缘处。其最大正应力的值为第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件(3)作C截面上正应力沿截面高度的分布图。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件式中，FQ—需求切应力处横截面上的剪力；

Iz—为横截面对中性轴的惯性矩；

Sz*—为横截面上需求切应力处平行于中性轴的线以上（或以下）部分的面积对中性轴的静矩；

b—为横截面的宽度。bhyzyFQ1.矩形截面梁第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件二、弯曲剪应力

切应力的分布规律：

1)切应力的方向与剪力同向平行。

2)切应力沿截面宽度均匀分布，即同一横截面上，与中性轴等距离的点切应力均相等。

3)切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。距中性轴最远的点处切应力等于零；中性轴上切应力取得该截面上的最大值，其值为第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件将

说明：矩形截面梁任一横截面上的最大切应力发生在中性轴上，其值为该截面上平均切应力FQ/A的1.5倍，切应力沿截面高度的分布规律如图示。

zyFQ第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件2.工字形截面梁结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。

铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力式中，h1—腹板的高度。b1—腹板的宽度。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件

一般情况下，最大正应力发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。令：三、梁的正应力强度计算1.梁的最大正应力习惯上把产生最大应力的截面称为危险截面，产生最大应力的点称为危险点。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件

对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如T型截面的等直梁。yy1y2C同一横截面上σtmax≠σcmax

，这时整个梁的σtmax

或σcmax不一定发生在|Mmax|截面处，需对最大正弯矩和最大负弯矩处的σtmax和σcmax分别计算。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件2.梁的正应力强度计算对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料（如低碳钢），由于，所以只要求：梁横截面上绝对值最大的正应力不超过材料的弯曲许用应力。其正应力强度条件为：对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料（如铸铁），由于，所以要求：梁横截面上的最大拉应力不超过材料的弯曲许用拉应力，同时，梁横截面上的最大压应力不超过材料的弯曲许用压应力。其正应力强度条件为：第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件

一般截面，最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。切应力强度条件zyFQ梁的切应力强度条件表达式为：第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件弯曲剪应力验算范围

在工程中的梁，大多数并非发生纯弯曲，而是横力弯曲。由于其绝大多数为细长梁，并且在一般情况下，细长梁的强度取决于其正应力强度，而无须考虑其切应力强度。但在遇到梁的跨度较小或在支座附近作用有较大载荷；铆接或焊接的组合截面钢梁；木梁等特殊情况，则必须考虑切应力强度。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件3.强度条件应用●

强度校核:●

设计截面:●

确定许用荷载

:第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件

例

图示简支梁选用木材制成，其横截面为矩形b×h=140mm×210mm，梁的跨度l=4m，荷载FP=6kN，q=2kN/m，材料的弯曲许用应力[σ]=11MPa，试校核该梁的正应力强度。FAyFByhbz解：（1）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。求支座反力,由对称性FBy=FAy=7kNqABl=4mFP第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件10kNm

(2)计算截面的几何参数。

再作梁的弯矩图，如图示。hbz从图可知：跨中截面上弯矩最大，其值为Mmax=10kN·m

。FAyFByqABl=4mFP第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件(3)校核梁的正应力强度。该梁满足正应力强度要求。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件y2y1C

例

T形截面外伸梁如图示，已知：材料的弯曲许用应力分别为[σt]=45MPa，[σc]=175MPa，截面对中性轴的惯性矩Iz=5.73×10-6m4，下边缘到中性轴的距离y1=72mm，上边缘到中性轴的距离y2=38mm。试校核该梁的强度。4FP1=40kN0.3m0.3m0.3mFP2=15kNABCD第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件解：(1)求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。

4.5kNm3kNmFP2=15kNDFP1=40kN0.3m0.3mABC0.3m第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件B截面和C截面应力分布规律图y2y1C

C截面

B截面第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件B截面满足正应力强度条件。C截面B截面

C截面不满足正应力强度条件。所以该梁的正应力强度不满足要求。第五节梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件讲解例题3-9、3-11、3-12梁的合理截面选择

一、

根据抗弯截面系数选择合理截面

从抗弯截面系数的计算可以推知：一般情况下，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形状应该是在横截面面积A相等的条件下，比值Wz/A尽量大些。

1)通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面进行理论计算发现：在横截面的面积A相等的情况下，比值Wz/A从大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、圆形；zzzz

2)通过对具有相同截面面积的实心及空心截面进行理论分析发现：不论截面的几何形状是哪种类型，空心截面的Wz/A总是大于实心截面的Wz/A。zzzz

3）对具有相同面积的矩形截面进行理论计算还发现：尽管截面形状和尺寸都没变，只是放置方式不同（中性轴不同），从而使抗弯截面系数不相同。立放的矩形截面Wz/A值比平放的矩形截面Wz/A值大。若h=2b，梁平放时Wz/A=b/6，梁竖放时Wz/A=b/3。zybhhzyb

注意：上面我们只是单从强度观点出发分析了截面的选择规律，事实上，在实际工程中，选择截面时，除了考虑强度条件外，还要同时考虑稳定性、施工方便、使用合理等因素后才正确选择梁的截面形状。这就是大家所看到的在实际工程中仍然大量使用实心矩形截面梁，而不常使用空心截面梁的原因。二、根据材料特性选择截面sGz对于抗拉和抗压相同的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，如圆形、工字形等，使得上、下边缘同时达到材料的许用应力值。对于抗拉和抗压不相同的脆性材料，最好选用关于中性轴不对称的截面，如T形、槽形等。三、采用变截面梁

为了充分利用材料，理想的梁应该是在弯矩大的部位采用大截面，而在弯矩小的部分就采用小截面，使弯矩与截面相对应，这种梁的横截面尺寸在全梁范围内不是一个常数，而是沿着轴线有一定变化的梁称为变截面梁。最理想的变截面梁应该是：梁的每一个横截面上的最大正应力都恰好等于梁所用材料的弯曲许用应力，这种变截面梁称为等强度梁。

从强度的观点来看，等强度梁最经济，能充分发挥材料的潜能，是一种非常理想的梁，但是从实际应用情况分析，这种梁的制作比较复杂，给施工带来好多困难，因此综合考虑强度和施工两种因素，它并不是最经济合理的梁。在建筑工程中，通常是采用形状比较简单又便于加工制作的各种变截面梁，而不采用等强度梁。图示为建筑工程中常见变截面梁的情况。

第八节压杆稳定（BucklingofColumns）

§8-1

压杆稳定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)§8-3

欧拉公式的应用范围§8-2

细长压杆的临界压力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)第八节压杆稳定§8-4压杆稳定的实用计算公式30mm1m两根相同材料（松木）制成的杆，σb=20MPa；A＝10mm×30mm短杆长：l＝30mm；FFFF长杆长：l＝1000mm8-1压杆稳定的概念一、稳定问题的提出若按强度条件计算，两根杆压缩时的极限承载能力均应为：F=σb

A=6kN第八节压杆稳定（1）短杆在压力增加到约为6kN时，因木纹出现裂纹而破坏。（2）长杆在压力增加到约4kN时突然弯向一侧，继续增大压力，弯曲迅速增大，杆随即折断。30mm1mFFFF压杆的破坏实验结果：第八节压杆稳定短压杆的破坏属于强度问题；30mm1mFFFF长压杆的破坏则属于能否保持其原来的直线平衡状态的问题结论：

短压杆与长压杆在压缩时的破坏性质完全不同第八节压杆稳定

压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。第八节压杆稳定构件的承载能力①强度②刚度③稳定性

工程中有些构件具有足够的强度、刚度,却不一定能安全可靠地工作.案例120世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（TheodoreCooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(QuebecBridge)1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.失稳破坏案例

(Buckingexamples)第八节压杆稳定案例21995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.第八节压杆稳定案例32000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.研究压杆稳定性问题尤为重要第八节压杆稳定1、平衡状态的类型稳定平衡：

干扰平衡的外力消失后，物体能自动恢复到原来的平衡位置的平衡不稳定平衡：

即使干扰平衡的外力消失后，物体仍继续向远离原来平衡位置的方向继续运动的平衡。随遇平衡：

干扰平衡的外力消失后，物体可在任意位置继续保持平衡。显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状态，称为临界平衡状态。第八节压杆稳定压杆稳定的基本概念2.弹性压杆的稳定性(StabilityofEquilibriumappliestoelasticcompressivemembers)—稳定平衡状态

—临界平衡状态

—不稳定平衡状态

关键确定压杆的临界力

Fcr稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Fcr过度对应的压力第八节压杆稳定8-2细长压杆的临界力临界力的影响因素

临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关：杆的长度ll越大抵抗变形的能力越小容易失稳Fcr越小抗弯刚度EIEI越大抵抗变形的能力越强不易失稳Fcr越大杆端支承越牢固越不容易发生弯曲变形不易失稳Fcr越大第八节压杆稳定两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表3-3

各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

支承情况临界力的欧拉公式长度因数

=1

=0.7

=0.5

=2欧拉公式的统一形式(GeneralEulerBucklingLoadFormula)（

为压杆的长度因数）第八节压杆稳定讨论（Discussion)为长度因数

l

为相当长度（1）相当长度l

的物理意义压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度l.

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.第八节压杆稳定zyx取Iy

，Iz

中小的一个计算临界力.若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.即分别用

Iy

，Iz

计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.第八节压杆稳定例题1已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，弹性模量E=2.1×10

5MPa.试计算临界力Fcr