第七章网络定理

第七章网络定理本章概述线性网络的分析方法概括来说分为两大类。一类是前面我们已经讨论过的建立网络方程的方法，它是网络分析的基本方法，通常称为网络方程法。另一类是根据线性网络性质总结出来的一些网络定理求解网络的方法，称为网络定理法。本章将要介绍的网络定理主要有叠加定理、替代定理、戴维南定理、诺顿定理、互易定理、对偶定理和特勒根定理等。§7－1叠加定理叠加定理所表达的是线性网络的一种基本性质，这种基本性质表现为线性网络的激励与响应之间存在线性关系。以下图（a）所示的电路为例来导出叠加定理。如图（a）所示电路中有两个已知的独立源uS和iS（激励），现在要求解电路中R2所在支路电流i2（响应）和R1所在支路电压u1（响应）。根据KCL和KVL列方程即可求得由上述式子可以看出，i2和u1分别都是uS和iS的线性组合。设显然，i2

(1)是电压源uS单独作用时在R2支路产生的电流，如图(b)所示。

i2(2)是电流源iS单独作用时在R2支路产生的电流，如图(c)所示。同样，u1(1)和u1(2)分别是电压源us与电流源iS单独作用时在R1支路产生的电压，其中u1(2)表达式右边的负号表明u1(2)与u1的参考方向相反。由上述分析可见对于含有多个独立源的线性网络，根据KCL和KVL同样可以证明出上述结论，即叠加定理，其表述为：

在任何一个具有唯一解的含若干个独立源的线性网络中，任一支路的电流或者电压等于网络中各个独立源单独作用时，在该支路产生的电流或电压的代数和。当网络中含有受控源时，叠加定理依然适用。受控源的作用反映在回路电流或节点电压方程中的自阻与互阻或自导与互导中，因为受控源不是激励，且具有电阻性。所以含受控源网络中任一处的电流和电压仍旧可以按照各独立源单独作用在该处产生的电流或电压的叠加计算，但应把受控源保留在原电路之中。应用叠加定理时应注意以下几点：(1)叠加定理只适用于线性网络；(2)某个独立源单独作用时，其它独立源取零值。即其他独立电压源两端短路，独立电流源两端开路；(3)受控源不能单独作用，当令其他独立源单独作用时，受控源应保留在电路中；(4)叠加定理只适用于计算电压、电流，求电阻上的功率不能叠加，必须用合成电流、合成电压计算；(5)叠加计算时，应注意电流、电压的参考方向。例7－1在本题图(a)所示电路中，各电阻和各独立源均为已知，试用叠加原理求电阻为4Ω支路的电压U。解(1)当5V电压源单独作用时，这时电流源应开路，见图(b)，此时求出的4Ω上的电压用U'表示。应用(b)图中1Ω与4Ω的分压关系可求得(2)当6A电流源单独作用时，此时电压源应短路。见图(c)，这时4Ω上的电压U"可利用1Ω与4Ω的分流关系求得，即(3)当5V电压源与6A电流源共同作用时，则U＝U´+U"＝4+4.8＝8.8V例7－2在本例图(a)所示的电路中，各电阻和各独立源以及受控源均为已知，试用叠加原理求20V电压源所在支路的电流I。解这是一个含受控源的电路。应用叠加原理分析某一独立源单独作用时受控源仍应保留在电路中，且受控源不能单独作用。所以(1)当20V电压源单独激励时，3A电流源应该开路，受控源仍保留，见图(b)。因控制量是I（即待求支路电流）改用I'表示，所以受控源的电压相应地用2I'表示。由KVL即得（1＋2）I'+2

I'＝20

I'＝4A(2)当3A电流源单独激励时，20V电压源短路，受控源仍保留，见图(c)。图中受控源的电压为2I

"，因为控制量现为I

"。用节点法求解，选B为参考点，令联立上述方程解得

I"＝－0.6A

负号表示与I"的实际方向相反。

式中负号表示UA的参考方向与此时受控源支路电流的参考方向相反。(3)当两独立源同时激励时，则所求支路电流I为

I＝

I′+

I"＝4－0.6＝3.4A

由于线性电阻元件的伏安关系为一条通过u－i平面上坐标原点的直线，因此在线性电路中，当所有激励（独立电压源与独立电流源）都同时增加或缩小K(K为实常数)倍时，其响应（电压和电流）也将同样增大或缩小K倍。此结论称为线性电路的齐性（或齐次）定理。显然，当电路中只有一个激励时，其产生的响应与该激励成正比。应用齐性定理求解T形电路很方便。例7－3在本例图所示T形电路中，电压源uＳ＝120V，各电阻均为已知，求此T形电路中各支路电流。解各支路电流编号及参考方向如图所示。现设R5电阻支路电流i5′＝1A，则现给定uS＝120V

相当于将激励uS′增大为3.63倍，即K＝3.63。由齐性定理，各支路电流应同时增大为3.63倍，即§7－2替代定理替代定理具有广泛的应用性，无论是线性网络还是非线性网络都适用。其内容可表述如下：一个具有唯一解的任意网络（电路），若某支路的电压和电流分别为uk和ik，则无论该支路由什么元件组成，只要此支路与其它支路无耦合关系，则此支路可以用一个端电压等于uk的电压源（极性与原支路的电压极性相同）或者用一个电流等于ik的电流源（极性与原支路的电流方向相同）替代，而不影响原电路的工作状态（即替代后电路中所有的电压和电流均保持原值）。替代定理可以用如下实例证明。图（a）是一个具有唯一解的网络。可求得各支路的电流分别为i1=2A，i2=1A，i3=1A，u3=8V。现将该网络中通有电流i3的支路3分别用uS＝u3＝8V的电压源或iS＝i3＝1A的电流源替代，替代后的电路如图（b）或（c）所示。对于图（b）、（c）所示电路，很容易求得原电路中未被替代部分的电压和电流均保持不变，仍然有i1＝2A，i2＝1A，说明原电路的工作状态没有改变。例7－4求本例图（a）所示电路中电阻R的值。解由电流的分流关系和KCL可求得将IS＝12A的电流源与4Ω电阻的并联组合用相应的48V电压源与4Ω电阻的串联组合替代。电流IR＝4A的支路用电流为4A的理想电流源替代。8Ω与12Ω电阻的并联等效电阻为4.8Ω，则得替代后的电路如图（b）所示。由此电路，根据KVL和VCR即可求得

UR＝48－(4＋4.8)×4＝12.8V§7－3戴维南定理和诺顿定理一、戴维南定理

戴维南定理指出：任何一个线性有源二端电阻性网络，对外部电路而言，它可以用一个独立电压源Uoc和一个电阻Req的串联组合来等效代替[见图(a)、(b)]。这种等效电压源串联电阻支路称为戴维南等效电路。这两个定理是网络计算的有力工具，其应用很广。下面分别予以介绍。UocReq其中，等效电压源的电压等于原网络的开路电压U0[见图(c)]，串联等效电阻等于将原网络内所有独立源置零后相应无源二端网络的输入电阻R0[见图(d)]。这里所说的“独立源置零”是指独立电压源短路，独立电流源开路(此定理可应用替代定理和叠加定理证明)。Uoc=U0Req=R0显然，求得有源二端网络的戴维南等效电路以后，要计算负载中的电流就非常方便了。如图(b)可知，负载电阻RL的电流为

式中Uoc为等效电压源的电压，Req为戴维南等效电阻，RL为有源二端网络外部的负载电阻。ReqUoc二、诺顿定理诺顿定理可表述如下：任何一个线性有源二端电阻性网络，对外部电路而言，其可以用一个独立电流源Isc和电导Geq的并联组合来等效替代[见图(a)、(b)]，这种等效电流源并联电导的电路称为诺顿等效电路。IscGeq其中，等效电流源的电流ISC等于原网络的短路电流I0，即原网络的负载为短路时流过两个端点的电流[见图(c)]。等效电导Geq等于原网络内所有独立源置零后相应无源二端网络从端口看进去的等效电导[见图(d)]。Isc=I0Geq=G0IscGeq显然，求得一个有源二端网络的诺顿等效电路以后，要计算其负载中的电流就非常容易了。如图(b)可知，负载电阻RL中的电流通常将戴维南等效电路和诺顿等效电路统称为一端口网络的等效发电机，这两个定理也称为等效发电机原理。应用戴维南定理和诺顿定理时，应注意以下几点：(1)戴维南定理和诺顿定理只适用于线性有源二端网络（包括含受控源的线性网络）；(2)计算网络N中某一支路电压（或电流）时，应断开(或短路)该待求支路，画出相应的电路，并标示出开路电压UO的极性或短路电流IO的方向，见图(a)、(b)；U0I0(3)计算网络N的输入端电阻R0时，应画出相应的无源网络，如图(c)。输入端电阻R0的求法有多种方法，如串并联法、端口加电源法和短路电流法等。所谓短路电流法就是用图(a)求得开路电压UO以后，再由

(b)求得短路电流IO，则网络a、b端的输入电阻；U0I0例7－5在本例图所示的电路中，电流源IS1＝1A，电压源US2＝10V，R1＝R2＝2Ω，负载电阻RL＝20Ω。试用戴维南定理求负载电流IL。解为便于求解，可以将负载RL分离后的有源二端网络改画成图(b)，图(a)和(b)是完全一样的电路。由戴维南定理，可得图(c)。接着用图(d)可求得二端网络的等效电压源为Uoc＝Uo＝US2+IS1R2＝10+1×2＝12VReqUocUoc由图(e)可求得等效电压源的串联电阻为

Req＝R0＝R2＝2Ω由图(c)可求得负载电流为UocUocReq例7－6试用诺顿定理求图(a)所示电路的负载电流IL。解为便于求解，依然将负载RL分离后的有源二端网络改画成右图(a)。由诺顿定理可得等效电路图(b)。接着由图(c)可求得等效电流源的ISC为注意：ISC是电流，其方向指向节点a。ISCGeq接着由图(d)可求得等效电导为由图(b)可求得ISCGeq例7－7求本例图所示一端口网络的等效发电机。解此题由诺顿定理求解非常容易。将图(a)中的1－1′短路，则得等效电流源的电流为负号表示iSC

的实际方向与参考方向相反。将此一端口线性网络内部所有独立源置零后，可求得诺顿等效电路的电导Geq,它等于网络内三个电导之和，即则相应的等效电阻为于是可得诺顿等效电路如例7－7图(b)所示。例7－8在本例图所示的含源一端口网络内部，有一电流控制电流源ic＝0.75i1,试求该一端口网络的戴维南等效电路和诺顿等效电路。对网孔1列KVL方程，得5×103×i1＋20×103×i2＝40解（1）先求开路电压uoc。当端口1－1′开路时见图(a)，由KCL有代入i2=1.75

i1，可求得

i1＝1.0mAi2＝1.75mA则开路电压uoc＝20×103×i2＝35V(2)求短路电流当端口1－1′短路时见图(b)。此时由KCL，且注意到20KΩ电阻支路两端亦为短路，可求得短路电流为

isc＝i1+ic＝1.75i1＝1.75×8＝14mA则戴维南等效电路电阻为于是得戴维南等效电路和诺顿等效电路分别如图(c)和(d)所示。§7－4互易定理互易定理概括地说，是指线性无任何电源（独立源和受控源）的网络，当只有一个激励源对其作用时，该激励与其在另一支路中引起的响应可以等值地相互易换位置。此结论称之为互易定理，也称为互易性。它说明了线性无源网络传输信号的双向性或可逆性，即从甲方向乙方传输的效果，与从乙方向甲方传输的效果完全相同。互易定理有三种基本形式。互易定理1在图(a)所示的线性无任何电源的电阻性网络N的输入端之间接入电压源uS(t)，并测出输出端之间短路导线中产生的电流响应i2(t)。然后把相同的电压源uS(t)易换位置接入输出端口之间，用表示，并测出其在之间短路导线中产生的电流响应，见图(b)。可以证明，不管该网络的内部结构和元件参数如何，总有如下关系成立，即 ，因11′11′22′22′2′2′则互易定理2在图(a)所示的线性无任何电源的电阻性网络N的输入端之间接入电流源iS(t)，并测出输出端之间开路电压响应u2(t)。然后把相同的电流源iS(t)易换位置接入输出端口之间，用表示，并测出其在之间产生的开路电压响应，见图(b)。可以证明，不管该网络的内部结构和元件参数如何，总有如下关系成立，即，因，则11′11′22′22′2′2′互易定理3在图(a)所示的线性无任何电源的电阻性网络N的输入端之间接入电流源iS（t），并测出输出端短路导线中的电流响i2（t）。应然后在之间接入电压源uS（t），并测出之间的开路电压响应，见图(b)。可以证明，不管该网络的内部结构和元件参数如何，总有成立。如果和在数值上相等，即则在数值上也必然相等，即11′22′11′22′2′2′

互易定理的应用是有条件的，即要求网络的回路电流方程组（或节点电压方程组）中的系数行列式为对称行列式。此条件决定于电路的结构和参数，称为互易条件，满足互易定理的网络称为互易网络（或双向网络）。应用互易定理求解电路时，首先应分析电路是否满足互易条件。直接应用互易定理求解电路的方法，仅限于只有一个独立源激励的情况。并且要注意网络的激励与响应位置互换时，两者的方向关系。例7－9在本例图(a)所示的电路中，试求标定的支路电流I。解此题电路为互易网络，由互易定理1，可将36V的激励电压源移至待求电流I的支路中，即把电流I支路的导线剪断形成一个端口接入36V的激励电压源，它在其原支路两端产生的短路电流为I',如图(b)。由互易定理1可知I＝I'。现在对图(b)求短路电流I’。应用电阻串并联关系和电流分流原理可求得由KCL可知

I'＝I2－I3＝1A

I＝I'＝1A§7－5对偶原理如图(a)为n个电阻的串联电路，图(b)为n个电导的并联电路。对图(a)有对图(b)有在上述两组关系式中，若将对应的参数、变量和相应的电路结构进行互换，即R与G互换，u与i互换，串联与并联互换，则上述两组关系式可以彼此互换。即在两组关系式中，其数学表达式的形式完全相同，所不同的仅仅是式中的文字和符号，并且两组关系中的各元素都属于电路系统。这样两个通过对应元素互换能够彼此转换的关系式称为对偶关系式。关系式中能互换的对应元素称为对偶元素。符合对偶关系式的两个电路相互称为对偶电路。由此可归纳出电路的对偶原理，其表述为：

如果将一个网络N的关系式中各元素用它的对偶元素对应地置换后，所得到的新关系式一定满足与该网络相对偶的网络,或者说，若两个电路对偶且对偶元件参数的数值相等，则两者对偶变量的关系式（方程）及对偶变量的值（响应）一定完全相同。如图(a)和(b)所示的两个平面电路N和。根据元件和电路的结构特点可以看出，两电路为对偶电路。对网路N，标定各网孔电流为顺时针方向，则其网孔电流方程为若将上述方程中的各元素变成与其对偶的相应元素后，即得下面一组方程式显然，此方程组恰好是对偶网络的节点电压方程式。这说明对偶原理的正确性。对偶原理的内容十分丰富。其应用价值在于，若已知原网络的电路方程及其解答，则可根据对偶关系直接写出其对偶网络的电路方程及其解