线段的垂直平分线典型例题

典型例题例1.如图，已知：在€ABC中，ZC，90。,ZA，30。,BD平分ZABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上,只需证明BD，DA即可.证明：JZC，90。,ZA，30。（已知）,・•・ZABC，60。（Rt€的两个锐角互余）又・・・BD平分ZABC（已知）•:ZDBA，1ZABC，30o，ZA.・•・BD，AD（等角对等边）・・・D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2•如图，已知：在€ABC中，AB，AC，ZBAC，120。，AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F。求证：CF，2BF。分析：由于ZBAC，120。，AB，AC，可得ZB，ZC，30。，又因为EF垂直平分AB，连结AF，可得AF，BF.要证CF，2BF，只需证CF，2AF，即证,FAC二90。就可以了.证明：连结AF,・.・EF垂直平分AB（已知）・•・FA二FB（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）・•・,FAB=,B（等边对等角）.AB二AC（已知），・•・,B=ZC（等边对等角）又.,BAC二120。（已知）,・•・,B二,C二30。（三角形内角和定理）・•・,BAF二30。・•・,FAC=90。・•・FC二2FA（直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半）・•FC二2FB说明：线段的垂直平分线的定理及逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理及逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.例3.如图，已知：AD平分,BAC,EF垂直平分AD,交BC延长线于F,连结AF。分析：€B及€CAF不在同一个三角形中，又€B,€CAF所在的两个三角形不全等，所以欲证€B=€CAF,不能利用等腰三角形或全等三角形的性质.那么注意到EF垂直平分AD，可得FA=FD，因此€FAD=€ADF，又因为€CAF=€FAD—ZCAD，€B=€ADF，€BAD，而€CAD=€BAD，所以可证明€CAF=€B.证明：TEF垂直平分AD（已知），・•・FA=FD（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）.・•・€FAD=€ADF（等边对等角）J€B=€ADF，€BAD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），€CAF二€FAD—€CAD，又€BAD=ZCAD（角平分线定义），・•・€B=€CAF说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题中，EF垂直平分AD,可以直接有结论FA二FD，不必再去证明两个三角形全等.例4.如图，已知直线l和点A,点B，在直线l上求作一点P,使PA二PB.分析：假设P点已经作出，则由PA=PB，那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，点P在线段AB的垂直平分线上.而点P又在直线l上，则点P应是AB的垂直平分线及垂线1的交点。作法：1.连结AB.2.作线段AB的垂直平分线，交直线1于点P.则P即为所求的点.说明：在求作一个点时，要考虑该点