曲线与方程(2课时精品)

老师寄语:

学好数学,登上人生的又一高度.

数学是金——析疑解难，无坚不克，所向披靡；数学是美——逻辑之美，形象之美，美不胜收；数学是恨——成也数学，败也数学；数学是爱——我爱数学，数学爱我，数学是我获胜的法宝。让我们一起来享受数学的快乐，探求数学的真谛，感受数学的出神入化。曲线与方程为什么?复习回顾:我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为____________2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为_______________________.x-y=0点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分线含有关系：x-y=0xy0（1）上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上曲线条件方程坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0思考?圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为:思考?(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;

这条曲线叫做方程的曲线.定义:1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系;

方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.f(x,y)=00xy一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:说明:2.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”

,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.（纯粹性）.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（完备性）.由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0例1

:判断下列命题是否正确解:(1)不正确，应为x=3,(2)不正确,

应为y=±1.(3)正确.(4)不正确,

应为x=0(-3≤y≤0).(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1(4)△ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.M第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤

第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？

(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;

(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+=0;

(3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？①-=0|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0所表示的曲线是C

B.坐标满足f(x,y)=0的点都在曲线C上C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或曲线CD.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部DB4．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是 (

) A．两个点 B．四个点

C．两条直线 D．四条直线

答案

B

3.5．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是 (

)

答案

D6．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是 (

) A．a>1 B．0<a<1 C．0<a<1或a>1 D．a∈∅

答案

A

解析∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x

＋a(a>0) 的图象大致如图，要使方程

y＝a|x|和y＝(a>0)所确定的两条曲线 有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右 侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.求曲线的方程要点一直接法求曲线方程例1已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．

解:如图所示，取直线l为x轴，过点F 且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.

设M(x，y)是曲线上任一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M 属于集合

P＝{M||MF|－|MB|＝2}．求曲线（图形）方程的一般步骤(1)建系：建立适当的坐标系；(2)设点:设动点坐标（x,y）；(3)找限制条件:写出适合条件p的点M集合

P={M|p(M)};(4)代入坐标

:将坐标代入p(M),列出方程f(x,y)=0

；(5)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式.建设现代化检验练习1.在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的

中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.设A(x，y)，又D(0，0)，所以化简得:x2+y2=9(y≠0)这所求的轨迹方程.解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系.2.已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1，0)，点B(1，0)，求满足条件的点C的轨迹方程． (x＋1)(x－1)＋y2＝0.

化简得x2＋y2＝1.

∵A、B、C三点要构成三角形，

∴A、B、C不共线，∴y≠0，

∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．要点二定义法求曲线方程例2已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．练习：已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．

解作出图象如图所示，根据直角三角

形的性质可知

所以M的轨迹为以原点O为圆心，以3为半径的圆，

故M点的轨迹方程为x2＋y2＝9.要点三代入法求曲线方程例3已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．

解设P(x，y)，M(x0，y0)，

规律方法代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得所求动点P的轨迹方程．练习1：已知圆C：x2＋(y－3)2＝9.过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．

解

法一(直接法)

如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.

设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，

即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，2.已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.1.直接法:

求轨迹方程最基本的方法,直接通过建立x,y之间的关系,构成F(x,y)=0即可.①直接法②

定义法③代入法④参数法求轨迹方程的常见方法:3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x，y)依赖于P’(x’,y’)，那么可寻求关系式x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程F(x’,y’)=0中，得到动点P的轨迹方程.2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。4.参数法:

选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。例:已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线与y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。yx0CABM归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。１.求曲线方程的步骤：建设现代化，严防伪漏

（建系）

（设点）

（找限制条件）（代入坐标）（化简）

---M(x,y)---P={M|M满足的条件}课堂小结

A．一条直线 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点

答案

B

解析注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉．2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是

(

) A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝4(x>0)

答案

D A．16B．14C．12D．10

答案

B

解析当E、F分别为AB、BC中点时，显然碰撞的结果为4，当E、F分别为AB的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果