信号与线性系统第8讲

信号与线性系统第8讲教材位置:第4章连续时间系统的频域分解

§4.1－§4.4，§4.8内容概要:信号通过线性系统的频域分析方法，理想低通滤波器的响应分析，因果系统的判断准则，信号经过系统不失真的条件开讲前言-前讲回顾傅里叶变换的性质线性性时延性频移性比例性奇偶性对称性微分性质积分性质卷积性质2/3/20232信号与线性系统－第8讲开讲前言－前章回顾连续信号的正交分解周期信号分解为傅里叶级数，得到信号频谱概念非周期信号分解为傅里叶级数，引出傅里叶变换傅里叶变换扩展到周期信号的变换傅里叶变换的运算性质基于上述学习的小结对于信号的分析，经过傅里叶变换的处理，已经更深入掌握了信号的频域特性接下来就要讨论采用频域分析方法，对信号经过线性系统的情况进行分析2/3/20233信号与线性系统－第8讲开讲前言－本讲导入本章学习思路首先了解系统的频域表示方法，频域表示中激励、响应与系统之间的关系如何表达学会频域分析方法学会建立系统函数的频域表达式，掌握给定激励，通过频域分析求解响应的方法通过频域分析对线性系统的几个关键物理概念进行分析系统的频率选择性分析，理想低通滤波器系统符合因果关系的判断准则系统没有频率选择性，无失真传输的条件2/3/20234信号与线性系统－第8讲§4.1引言频域分析同样建立在系统的线性特性基础上齐次性和叠加性时域将信号分解为冲激响应，频域将信号分解为正弦函数。系统对正弦信号的分析已经积累很多方法复数运算与相量运算零状态响应仍然可以通过叠加方式求取频域分析的问题傅里叶积分的正反两次计算比较复杂现实中许多信号不能满足绝对可积这些问题的解决在复频域求解-拉普拉斯变换里介绍频域分析的优势物理概念明确分析方法可被借鉴到后续复频域分析方法中对于无法建模取得系统函数的情况，经过测量也能得到频域的系统函数，系统观察性强2/3/20235信号与线性系统－第8讲§4.2信号通过系统的频域分析方法1、频域分析方法步骤（1）激励信号分解，求信号频谱函数。

e(t)(t)到E(j)（2）找出系统函数H(j)。（3）求响应的频谱函数R(j)=E(j)H(j)。（4）从R(j)求傅氏反变换得到时域中的零状态响应r(t)。例：求图中以uR(t)为输出的H(j)。(a)时域电路(b)频域电路U(j)I(j)jLRUR(j)L+-u(t)i(t)RuR(t)+-解:(1)作频域的等效电路。

(2)稳态分析相量法求H(j)。2/3/20236信号与线性系统－第8讲§4.2信号通过系统的频域分析方法2、例：求图中以i2(t)为输出时的H(j)。i(t)I(j)

LjLRi2(t)I2(j)解：I(j)I2(j)H(j)=讨论：H(j)的物理意义。h(t)H(j)e(t)=(t)r(t)=h(t)E(j)=1

R(j)=H(j)

FT反FT冲激响应h(t)的频谱函数H(j)就是系统函数2/3/20237信号与线性系统－第8讲§4.2信号通过系统的频域分析方法即H(j)=F[h(t)]=或h(t)H(j)系统函数只与系统本身的特性有关而与外加激励无关。例：求图中以UC(t)为输出时的H(j)。++--u(t)U(j)RC1jCuC(t)UC(j)

解法一：用相量法求解。（1）作频域等效电路。（2）用稳态分析相量法求H(j)。

UC(j)U(j)H(j)=2/3/20238信号与线性系统－第8讲§4.2信号通过系统的频域分析方法解法二：由h(t)求H(j)。

(t)作用于RC电路的零状态响应为故H(j)=F[h(t)]=2/3/20239信号与线性系统－第8讲§4.3理想低通滤波器的阶跃响应1、理想低通滤波器定义矩形幅度－截至频率ωc线性相移－延时t02、表达式与频谱图H()t00|H(j)|Hc-c02/3/202310信号与线性系统－第8讲§4.3理想低通滤波器的阶跃响应3、阶跃响应激励形式激励信号频谱响应频谱时域响应2/3/202311信号与线性系统－第8讲§4.3理想低通滤波器的阶跃响应令y=(t-t0),则=d=yt-t0，t-t01dy当=c

时，y=c(t-t0)，=0时y=02/3/202312信号与线性系统－第8讲§4.3理想低通滤波器的阶跃响应式中称为正弦积分2/3/202313信号与线性系统－第8讲§4.3理想低通滤波器的阶跃响应0Si(x)4-/2/22-01Sa(y)yx(a)(b)00U(t)Ettu(t)HE10.5ABtbtAt0(c)(d)可见，响应与激励不同：（1）响应比激励滞后t0。(2)输出电压的前沿是倾斜的。2/3/202314信号与线性系统－第8讲§4.3理想低通滤波器的阶跃响应以0(A点)到1(B点）为计算建立时间的标准，则在A点，有u(tA)=0，可得到：查正弦积分表，有：同理，在B点，有u(tB)=HE可得到：结论：理想低通滤波器阶跃响应上升时间tr

与系统截止频率wc(即网络通频带宽度)成反比。2/3/202315信号与线性系统－第8讲§4.4佩利－维纳准则1、因果性在时域的表现响应必须出现在激励之后。即一个物理可实现网络的冲激响应h(t)在t<0时必须为零。理想低通滤波器不是因果系统,系统响应在t<0不为零2、因果性在频域的表示（佩利－维纳准则）系统转移函数的幅值|H(j)|必须是平方绝对可积，即：且有2/3/202316信号与线性系统－第8讲§4.4佩利－维纳准则3、佩利－维纳准则说明物理可实现系统允许|H(j)|特性在某些不连续点上为零，但不允许在一个有限频带内为零。物理可实现系统的系统频响衰减速度应不大于指数衰减速率。佩利-----维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。上述积分不收敛，所以对于因果系统按指数速率或比指数速率衰减更快的频响是不允许的2/3/202317信号与线性系统－第8讲§4.4佩利－维纳准则4、可实现的典型滤波器－最平坦滤波器=/c

为归一化的频率值；

Bn

为根据通带边界衰减量的要求所确定的常数。一般通带边界处(=1)的衰减量常取为3分贝;此时Bn=1；n为正整数,称为滤波器的阶数。N越大,越理想,系统越复杂.系统是物理可实现的“最平坦”的含义。令Bn=1，则有|H(j)|2=11+Bn2nn=1n=3n=510.501|H(j)|22/3/202318信号与线性系统－第8讲§4.4佩利－维纳准则“最平坦”的含义。令Bn=1，则有运用二项式定理将上式展开为幂级数，则通带内它与|Hi(j)|=1的差即为误差函数容易看出，在=0时，误差函数及其前（2n-1）阶导数均为零，这表示|H(j)|在=0点附近一段范围内“最平直”，也即滤波器在通带内幅频特性能够最好地逼近“理想平坦”。|H(j)|2=11+2n|H(j)|=2/3/202319信号与线性系统－第8讲§4.5信号通过线性系统不产生失真的条件失真包括幅度失真和相位失真；设激励信号为e(t)，响应为r(t)，在时域中无失真传输的条件是r(t)=Ke(t–t0),式中K是一常数，t0为滞后时间。e(t)e(t)r(t)r(t)h(t)tt00频域无失真传输对H(j)的要求：设e(t)对应E(j)，r(t)对应R(j)由延时特性，可得

r(t)=Ke(t–t0)的傅氏变换式为

R(j)=KE(j)e–jt0

由于R(j)=H(j)E(j)比较上面两式，有H(j)=Ke

–jt0

=|H(j)|式中|H(j)|=K，H()=

t0，其幅度相位频谱图如后页图2/3/202320信号与线性系统－第8讲§4.5信号通过线性系统不产生失真的条件关于相位特性的分析设激励信号e(t)由基波与二次谐波组成，表示式为|H(j)|K00H()响应为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间应有H1H2=2=t0=常数因此2/3/202321信号与线性系统－第8讲§4.5信号通过线性系统不产生失真的条件结论：为了使信号传输时不产生相位失真，信号通过系统时谐波的相移必须与其频率成正比，相频特性应该是一条经过原点的直线即H（)=t0t0即为相位特性的斜率，信号通过线性系统不产生波形失真的理想条件：系统的幅频特性在整个频率范围内为一常数。系统的相频特性是经过原点的直线。t0=dH（）d2/3/202322信号与线性系统－第8讲本讲小结信号通过线性系统的频域分析信号变换-建立系统函数-频域响应-时域响应系统函数建立:相量法、冲激响应变换法理想低通滤波器阶跃响应响应建立时间与通频带成反比因果系统的条件系统函数不能在有限频带为0衰减速度限制在指数衰减内线性不失真系统幅频特性：常数相频特性：过原点直线2/3/202323信号与线性系统－第8讲课堂练习已知描述系统的微分方程y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=x’(t)+5x(t)求系统函数H(jω)【解答】直接利用傅立叶变换的微分性质写出结果先求得系统的冲激响应h(t)，然后傅立叶变换得结果h(t)＝(4e-t-3e-2t)u(t)设x(t)=ejωt

(-∞<