计算机控制系统的数学模型

第5章计算机控制系统的数学模型

概述5.1计算机控制系统数学模型的建立5.2计算机控制系统的时域模型5.3计算机控制系统的频域模型5.4计算机控制系统的状态空间模型概述所谓系统的“模型”，是指对具体系统的特征及其运动规律的一种表示或抽象，是对经过合理简化后的系统的描述。在连续系统中，表示输入信号和输出信号关系的数学模型用微分方程和传递函数来描述；在离散系统中，则用差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式来描述。在计算机控制系统中常用的数学模型主要有：以微分方程或差分方程形式表达的时域模型、以传递函数形式表达的频域模型、系统方框图以及现代控制理论中常用的状态空间模型。从本质上讲，计算机控制系统属于离散控制系统。

系统的模型有物理模型和数学模型之分。物理模型是指由物理性能已知的器件组合起来的一种具有与系统实体相似性质的模型。所谓数学模型就是对于现实世界的一个特定问题，为了某种目的，根据其内在规律，通过必要的抽象简化，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。通俗地说，数学模型就是描述实际问题某方面规律的数学公式、图形或算法。5.1计算机控制系统数学模型的建立数学建模通常有两种不同的方法：分析法和实验法。分析法是系统地应用现有的科学理论与定律，对系统各部分的运动机理进行分析，并进一步按照系统中各组成部分之间的相互关系来获得数学模型的方法。实验法则是在一组假想或假设的模型中，需要人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，以求得与系统实测数据吻合最好的模型的建模方法，因此也称为系统辨识。分析法建立系统数学模型的一般步骤：建立物理模型；列写原始方程，利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等；选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。实验法——基于系统辨识的建模方法步骤：已知知识和辨识目的；实验设计：选择实验条件；模型阶次选择：选择适合于应用的适当的阶次；参数估计：常采用最小二乘法进行参数估计；模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。定义5.2.1线性常系数微分方程5.2.2线性常系数差分方程5.2计算机控制系统的时域模型

计算机控制系统的时域模型主要以微（差）分方程的形式表达，建立在传递函数基础之上，也称输入输出描述法。其中，微分方程是连续时间系统数学模型的最基本表达形式，N阶线性常系数微分方程的基本形式为：（5-1）定义：相应地，差分方程是离散时间系统数学模型的最基本的达形式，N阶线性常系数差分方程的基本形式为：（5-2）列写如图5-1所示系统的微分方程式：

图5-1系统数学模型（a）机械系统

（b）电气系统

5.2.1线性常系数微分方程

对图（a）机械系统，输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式：（5-3）整理，得：

（5-4）对图（b）电气系统，假设电路串联电流为i，可列出如下微分方程式：（5-5）（5-6）(5-7)(5-8)

由（5-6）、（5-7）、（5-8）解出i代入（5-5），并将（5-5）两边微分，得（5-9）比较微分方程式（5-4）和（5-9）可见机械系统(a)和电气系统(b)具有相同的数学模型，因此从数学角度看，两系统的动态特性是一致的。故这些物理系统为相似系统，即电气系统为机械系统的等效系统。5.2.2线性常系数差分方程

如果系统的输入/输出特性是线性的，则该系统为线性系统。其基本特性是满足叠加原理：

有下面的关系表达式：如果

且：a、b为任意常数，则如果y(n)是系统对x(n)的响应，当输入序列为x(n-k)时，系统的响应为：如果n代表不同的采样时刻nT，也将其称为“时不变系统”。简单的说，时不变系统的输出与输入之间的关系是不随时间改变的，所以又称“定常系统”。一个单输入——单输出线性时不变离散系统，显然，在某一采样时刻的输出值y(n)与这一时刻的输入值x(n)有关，而且与过去时刻的输入值x(n-1),x(n-2),…有关，还与该时刻以前的输出值y(n-1),y(n-2),…有关。这种关系可以描述如下：（5-10）或表示为：（5-11）与线性定常连续时间系统类似，对于线性定常离散时间系统的数学表达，线性常系数差分方程式（5-11）同样需要加上初始松弛条件。对应的其次方程为：(5-12)通解：

(5-13)式中系数Ai由边界条件（初始条件）决定。差分方程的解法一般有迭代法和Z变换法两种。【例5-1】已知采样系统的差分方程是

其中

初始条件：

解：……于是可得

5.3计算机控制系统的频域模型

5.3.1Z变换理论5.3.2连续时间系统的传递函数5.3.3离散时间系统的传递函数5.3.1Z变换理论1.Z变换定义

对于采样信号可以描述为：

它的拉氏变换为：

其中为超越函数，T为采样周期。引入新的变量

则

称为序列

的双边Z变换

但一般工程上总是单边的，即当n<0时，f(n)=0，则有单边Z变换：

Z变换方法一般有级数求和法、部分分式法等方法。在MATLAB符号数学工具箱中的命令ztrans可以用于求符号表达式的Z变换。Z变换经常用于求解差分方程。Z变换调用如下：（1）F=ztrans(f)：符号表达式f的Z变换，缺省的自变量为n，缺省返回关于Z的函数。如果f=f（z），则ztrans（f）返回关于w的函数。（2）F=ztrans（f，w）：返回关于符号变量w的函数F，而不是关于符号变量z的。（3）F=ztrans（f，k，w）：对关于k的符号变量作Z变换，返回关于符号变量w的函数F。2.Z变换的性质则

（5-14）2）平移定理平移是指把整个采样序列x(n)在时间轴上左、右移动若干个采样周期。允许超前，也允许延迟。若：则1）线性性质（5-15）若,

3）微分定理

若则

（5-16）4）积分定理若

则

（5-17）5）初值定理或者

（5-18）6）终值定理（5-19）7）复数位移定理（5-20）8)卷积定理若

则（5-21）9）比例尺变换若

则

（5-22）10）乘以指数序列a为整数

（5-23）3.Z反变换

已知变换式X(z),求出相应的离散序列x(n)或x(nT)的过程称作Z反变换。一般有三种方法：部分分式展开法，幂级数展开法和反演积分法，也可以使用MATLAB的函数来计算。作反变换时，仍假定信号序列是单边的，即n<0,x(n)=0.在MATLAB中，逆Z变换的调用如下：

(1)f=iztrans(F)：关于符号表达式对象F的逆Z变换，缺省的自变量为z。缺省返回是关于n的函数。如果F=F(n),iztrans返回关于k的函数。

(2)f=iztrans(F,k):返回关于k的函数，而不是关于n的函数。在此k为符号表达式对象。

(3)f=iztrans(F,w,k):F是关于w的函数，而不是隐含的findsym(F)确定的，返回关于k的函数。4.Z变换法解差分方程用Z变换求解差分方程，主要用到了Z变换的实数位移定理。Z变换法求解差分方程的一般方法可以归结如下：

1）对差分方程两端同时取Z变换；

2）利用初始条件化简Z变换式；

3）将Z变换式改写成如下形式:4）求解X(z)的Z反变换，即可得到差分方程的解【例5-2】用Z变换法解差分方程：

解：取方程两端的Z变换，得

代入初始值，有

所以

查Z反变换表，得

n=0，1，2，…5.Z变换与拉普拉斯变换1）拉氏变换与Z变换的应用系统不同

Z变换是对连续信号的采样序列进行变换，因此Z变换与其原函数并非一一对应，而只是与采样序列对应。所以，不同的原函数可能会有相同的Z变换式。2）Z变换的收敛区间拉氏变换的存在条件是下式的绝对积分收敛：

通常情况下，Z变换的定义称为双边Z变换

而

称为单边Z变换。如果将Z写成则双边Z变换式就可写成

3）巴什瓦定理满足了收敛条件，则Z变换对存在。不难证明，对于Z变换也存在离散的巴什瓦(Parsval)定理：（5-24）

定理的物理意义是：在时域计算x(n)的总能量与在Z域计算序列X（z）的总能量相等。

4）S域与Z域的关系如图5-2所示图5-2s平面与z平面的映射关系

拉氏变换是以s为自变量，而Z变换是以z为自变量。由便建立了Z域与S域的关系：显然：当有

当有

当有s平面的虚轴表示实部

和虚部ω从-∞变到+∞，映射

映射到z平面上，表示

，即单位圆上，和也从-∞变到+∞，即z在单位圆上逆时针旋转无限多圈。简单地说，就是s平面的虚轴在z平面的映射为一单位圆如图5-2所示。同理，S域的左半平面，映射到z平面上，对应单位圆内部；S域的右半平面，映射到z平面上，对应单位圆外部。主频区：（z平面单位圆）。

设闭环离散系统的特征方程式的根为z1,z2…,zn（即是闭环脉冲传递函数的极点）那么，线性离散控制系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根的模,即闭

环脉冲传递函数的极点均位于z平面的单位圆内。5.3.2连续时间系统的传递函数傅里叶变化对：（5-25）拉普拉斯变换对：

（5-26）

如下图5-3所示，经过拉普拉斯变换可以将连续时间系统从时域转移到频域进行分析。连续时间系统的三种数学模型之间的关系如图5-4所示，比如同一个系统可以在时域和频域分别用式5-27、5-28、5-29来分析。（5-27）（5-28）（5-29）图5-3时域到频域的变换图5-4三种数学模型的关系

【例5-3】某玩具火车只有一节火车头和一节车厢，火车仅沿单方向运动，希望通过控制，使火车启动/停止平稳且运行速度稳定。已知火车头质量：M1；车厢质量：M2；M1与M2通过弹簧连接，弹簧刚度系数为k；火车引擎拉力：F；滚动摩擦系数为。试建立系统的频域模型。解：假设火车头和车厢的位移分别为x1和x2，建立物理模型如图5-5所示：图5-5玩具火车物理模型根据牛顿定律可得微分方程：定义火车引擎拉力F为系统输入变量，火车头速度为输出变量。对上面微分方程两边分别求拉普拉斯变换得：整理可得：则系统传递函数为：

若给出玩具火车参数：M1=1kg；M2=0.5kg；

k=1N/sec；F=1N；

=0.002sec/m；g=9.8m/s^2。通过如下MATLAB程序：num=[M2M2*u*gk];den=[M1*M22*M1*M2*u*gM1*k+M1*M2*u*u*g*g+M2*kM1*k*u*g+M2*k*u*g];step(num,den)仿真结果如下图所示：5.3.3离散时间系统的传递函数另外一种分析离散系统的主要方法就是传递函数。

1.离散时间系统传递函数的基本概念对于离散系统，一般用差分方程来描述，其形式为：

定义该离散系统的传递函数为：初始条件为零时，系统输出输入序列的Z变换的比值：（5-30）

通常将离散系统的传递函数称为Z传递函数，又叫脉冲传递函数。系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应g（t）,经过采样后离散信号g*（t）的Z变换，可表示为还可表示为

2.离散时间系统的开环脉冲传递函数在图5-7a所示的开环系统中，两个串联环节之间有采样开关存在，这时图5-7两种开环串联结构（5-31）在图5-7b所示的系统中，两个串联环节之间没有采样开关隔离。这时系统的开环脉冲传递函数为：（5-32）式（5-31）和（5-32）中的

3.离散时间系统的闭环脉冲传递函数

图5-8闭环采样控制系统由图5-8所示的闭环系统可得：闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数为：（5-33）与线性连续系统类似，闭环脉冲传递函数的分母即为闭环采样控制系统的特征多项式。

图5-9具有数字控制器的采样系统在计算机控制系统中，往往有数字控制器环节如图5-9所示，该具有数字控制器的采样系统的闭环传递函数为：（5-34）4.离散时间系统的稳定性分析

令闭环采样控制系统的特征多项式

得系统的特征根

闭环采样系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内，或者所有根的模均小于1，即

若闭环脉冲传递函数有位于单位圆外的极点，则闭环系统是不稳定的。，可解即为闭环传递函数的极点。【例5-4】判断图5-10所示系统在采样周期

和时的稳定性。解：开环脉冲传递函数为图5-10采样系统闭环传递函数为；闭环系统的特征方程为

当T=1s时，系统的特征方程为

因为方程是二阶，故直接解得极点为当T=4s时，系统的特征方程为闭环传递函数为解得极点为有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定。

即

采样周期会影响离散系统稳定性，根据控制理论，越大则系统的稳定性越差（参见例5-4），从定性分析，采样周期越短，离散控制系统越接近连续系统；从定量分析，控制系统中引入采样开关和保持器，相当于引入了纯时滞，因此，系统的稳定性必然变差。纯时滞的大小等于采样周期的一半，采样周期小，引入的纯时滞小，对稳定性的影响也小。5.传递函数的模型离散系统的动态特性可用差分方程或脉冲传递函数表示。脉冲传递函数是输出信号与输入信号的z变换之比。建立传递函数模型，函数调用格式如下用分子num和分母den多项式系数建立脉冲传递函数表示的离散系统模型，采样时间为Ts用于模型转换时，函数调用格式为：

即只能从离散的其他类型模型转换到脉冲传递函数的系统模型。【例5-5】已知控制系统的传递函数为：

采样周期为

，求离散系统的传递函数。解：离散系统的传递函数，程序代码如下：>>运行结果：

：26.计算机控制系统方框图和信号流图系统的方框图和信号流图是系统的两种图解描述方式，它们包含了系统各个组成部分的传递函数、系统的结构、信号流向等信息，表示了系统的输入和输出变量之间的因果关系以及系统内部变量所进行的运算。5.4计算机控制系统的状态空间模型另外一种时域表达方式——状态空间模型：假设系统可用阶微分方程或差分方程表示，通过引入一组变量——状态变量，可将系统方程变换为一组一阶微分方程或差分方程。将这组方程采用矩阵的形式表达，即得到系统的状态空间模型。

5.4.1基本概念状态空间模型有关的基本概念主要有状态、状态变量、状态向量、状态空间等。1.状态与状态变量系统的状态是指，在已知未来输入情况下，对确定系统的未来行为所必要且充分的变量集合。如图所示的简单力学系统，假设x、v分别表示质量块m的位移和运动速度，可得系统的运动微分方程：系统在t=0时刻的状态（初始状态）为：

系统在t0时刻的状态（运动状况）为：在任意时刻t，系统的响应完全可以由该瞬时的系统状态和该瞬时的系统输入确定。构成控制系统状态的变量，即能完全描述系统行为的最小变量组中的每一个变量，称为状态变量。如果完全描述控制系统的最小变量组为n个变量X1(t),X2(t),X3(t),…….Xn(t),则该系统就有n个状态变量…………状态变量特点：

1，状态变量并非唯一；

2，选用的状态变量不一定在物理上能观能控；,3，在最优控制中，通常选用物理上能观能控的状态变量。图5-11所示的简单力学系统的状态变量为:由系统的运动微分方程可得用状态变量表达的系统:2.状态向量设系统状态变量为X1(t),X2(t),X3(t),…….Xn(t),那么这n个状态变量所组成的n维向量X(t)，就叫做状态向量。（5-35）3.状态空间以状态变量X1(t),X2(t),X3(t),…….Xn(t),为坐标轴构成的n维空间，称为状态空间。如果给定了初始时刻t0的状态X(t0)和t>=0时的输入函数，随着时间的推移。X(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。5.4.2状态空间表达式1.状态方程假设系统的r个输入变量为u1(t),u1(t)……un(t);m个输出变量为y1(t),y2(t)……ym(t)；系统的状态变量为

X1(t),X2(t)…….Xn(t);把系统的状态变量与输入变量之间的关系用一组一阶微分方程来描述，即为系统的状态方程:（5-36）用一组一阶微分方程来描述，即为系统的状态方程：（5-36）上式状态方程也可以写成矩阵形式：（5-37）（5-38）观察上面3个方程可见，状态方程里面没有输出变量，这是状态方程的一大特点。2.输出方程系统的输出变量y(t)与状态变量x(t),输入变量u(t)之间的数学表达式称为系统的输出方程。如：

（5-39）3.状态空间表达式状态方程和输出方程总合起来，构成对系统动态行为的完整描述，称为系统的状态空间表达式。状态空间表达式：（5-40）其中向量x(t),u(t)和y(t)分别表示n维状态向量、r维输入向量和p维输出向量：

（5-41）系数矩阵A,B,C,D表示如下：

（5-42）【例5-6】针对【例5-3】的玩具火车系统，求其状态空间模型。解：根据图5-5所示物理模型及例题5-3所求微分方程，系统的状态变量为:X1,V1,X2,V2;输入变量为：F。可列系统状态空间表达式：

状态方程：（5-43）输出方程：

（5-44）系统的状态空间表达式也可以用矩阵表示：（5-45）（5-46）图5-12例5-6仿真图Matlab程序：A=[0100;-k/M1-u*gk/M10;0001;k/M20-k/M2-u*g];B=[0;1/M1;0;0];C=[0100];D=[0];t=0:0.1:300;step(A,B,C,D,1,t)仿真结果如图5-12所示。用状态变量描述一个系统时把输入输出间的关系分为两段加以描述：系统输入量引起系统内部的变化—状态方程；系统内部的变化引起系统输出量的变化—输出方程。该方法可深入到