计量经济学 异方差性

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多元回归分析

y=b0+b1x1+b2x2+...bkxk+u6. 异方差(Heteroskedasticity，HSK)2本章提要OLS中异方差的影响OLS估计后“对异方差稳健”的统计推断检验异方差加权最小二乘估计3本课提要什么是异方差异方差的影响OLS估计后的“对异方差稳健”统计推断HSK－异方差稳健标准差HSK－异方差稳健t,F,LM统计量4什么是异方差同方差假定意味着条件于解释变量，不可观测误差的方差为常数如果u的方差随x变化，那么误差是异方差的。例子：估计教育回报并且能力不可观测，认为能力的方差随教育水平变化。5.Educationlevelprimarysecondaryf(y|x)异方差图示college..E(y|x)=b0+b1xwage6

当存在异方差时…OLS无偏且一致R平方和调整后的R平方仍可以很好地度量拟合优度。它们是对总体R平方1

–[Var(u)/Var(y)]的估计，其中的方差是总体中的“非条件”方差。无论Var(u|x)

=Var(y|x)是否依赖于x，它们都可以一致地估计总体R平方。7

为何关心异方差？如果存在异方差，那么估计值的标准差是有偏的。如果标准差有偏，我们就不能应用通常的t统计量或F统计量来进行统计推断。8

怎么办？计量经济学家已经知道如何调整标准差，t，F，LM量，使得它们当未知形式的异方差存在时仍然有效。White（1980）指出，在存在异方差时，方差也是可以估计的。9

异方差存在时的方差10

异方差存在时的方差11

异方差存在时的方差

开平方被称为对异方差稳健的标准差，或White标准差，或Huber标准差，或Eicker标准差12

稳健标准差稳健标准差可以用来进行推断。有时可以将估计的方差乘以n/(n–k–1)来修正自由度当n→∞时，没有区别。13例子：稳健标准差与常规标准差1LogWageEquationwithHeteroskedasticity-RobustStandarderrors142Heteroskedasticity-RobustFStatistic15

例子：稳健标准差与常规标准差我们学到了什么？稳健标准差可能比常规标准差大，也可能小。但是实证中常常发现稳健标准差要大些。如果这两种标准差的差异很大，那么统计推断的结论可能有很大差异。16

为何要考虑常规标准差？如果稳健标准差无论异方差存在与否都是适用的，为什么我们还需要常规标准差？我们应当注意到，稳健标准差的适用性依赖于大样本。17

稳健标准差如果是小样本同方差情形，那么常规的t统计量精确地服从t

分布，但是这并不适用于稳健标准差，因此，在这种情况下使用稳健标准差就可能导致推断错误。

在大样本情形下，特别是应用截面数据的时候，我们推荐报告稳健标准差（或同时报告常规的标准差）。18OLS估计后的HSK-稳健推断记rse为对异方差稳健的标准差

trse=(估计值-假设值)/(异方差稳健的标准差)对异方差稳健F统计量在异方差下，常规F统计量不再服从F分布。HSK－稳健F统计量也称为Wald统计量19

稳健的LM统计量在有限制模型下进行OLS，保存残差ŭ将每一个排除变量对全部未排除变量进行回归（q个回归）并将每一组残差ř1,ř2,…,řq保存将1向量对ř1ŭ,ř2ŭ,…,řqŭ进行无截矩回归。LM定义为n

–SSR1其中SSR1

为最后一次回归的残差平方和。20本章提要OLS中异方差的影响OLS估计后“异方差－稳健”的统计推断检验异方差加权最小二乘估计21本课提要检验异方差B-P检验White检验加权最小二乘法当在比例意义上已知异方差时的加权最小二乘法当异方差具有未知形式时的加权最小二乘法：可行GLS22

检验异方差虽然我们有办法计算HSK－稳健的t、F和LM统计量，我们仍然有理由去寻找可以识别异方差的简单检验。理由1：除非有证据显示异方差存在，我们仍会偏好于常规OLS的标准差及检验统计量。理由2：如果异方差存在，OLS不再是BLUE，那么就有可能得到比OLS更好的估计量。23

用B-P检验检验异方差本质上，我们想检验H0:Var(u|x1,x2,…,xk)=s2这等价于检验H0:E(u2|x1,x2,…,xk)=E(u2)=s2

如果我们假设u2

和xj之间具有线性关系，则可以通过一组线性约束来完成检验。所以,对于u2=d0+d1x1+…+dkxk+v

这意味着检验H0:d1=d2=…=dk=024

用B-P检验检验异方差在零假设下，通常可以假定误差v与x1,…,xk独立那么，如果将u2视为被解释变量，检验全部解释变量显著性的F或LM统计量就可以用来检验异方差。由于u2在样本中不是正态分布，这些统计量只在渐近的意义下适用。不可观测的误差可以通过OLS残差进行估计。将残差平方对所有的x回归之后，可以通过R2构造F或LM检验。25

用B-P检验检验异方差26

用B-P检验检验异方差27用B-P检验检验异方差如果我们怀疑HSK仅依赖于某些特定的解释变量，我们可以做一些调整：将第一步的残差只对那些解释变量回归，并进行适当的F或LM检验。28Example:HeteroskedasticityinHousingPriceEquationsR2=0.1601，n=88,k=3，F≈5.34,p=0.002LM=88×0.1601≈14.09,p=0.0028R2=0.0480，F=1.41,p=0.245，LM=4.22,p=0.23929

用White检验检验异方差B-P检验可以识别任意线性形式的异方差White检验通过加入x平方项和交叉项引入了一定的非线性。仍然是用F和LM检验来检验xj,xj2,xjxh是否联合显著30

用White检验检验异方差这个办法很快就会显出其笨重之处。例如，如果我们有三个解释变量x1,x2,x3那么White检验有9个约束，三个对线性项，三个对平方项，三个对交叉项。在小样本情形，自由度将会随着解释变量数目增加而迅速减少。31

White检验的变形考虑到OLS的预测值ŷ是所有x的函数。因此，ŷ2是平方项和交叉项的函数。ŷ

和ŷ2可以用来替代所有的xj,xj2,xjxh将残差平方对ŷ

和ŷ2回归，用R2来构建F或LM统计量现在只需要检验两个约束32

对HSK检验的最后评价即便真实的情况并无异方差，HSK检验可能由于重要变量的遗漏而错误的拒绝零假设。HSK可能意味着模型设定错误，因此，如果可能的话，应当在HSK检验之前进行模型设定检验。33

加权最小二乘法对OLS估计稳健标准差总是可能办到的，但是，如果我们知道一些关于异方差结构的信息，我们可以将原模型转化为具有同方差的新模型，这称为加权最小二乘法。在这些情况中，加权最小二乘法比OLS更为有效。对应的t和F统计量具有t和F分布。34

异方差结构在比例意义上已知的情况假设异方差可以由模型Var(ui|xi)=s2i=s2

hi刻画，其中hi=h(x)只依赖于可观测特征x在这种情况下，定义ui*=ui/√hi并考虑转化后的模型是否服从Gauss-Markov假设。35

异方差结构在比例意义上已知的情况36

异方差结构在比例意义上已知的情况37

异方差结构在比例意义上已知的情况38

广义最小二乘法通过OLS估计变换后的方程可以作为广义最小二乘法（GLS）的一个例子GLS在这种情形下为BLUEGLS是加权最小二乘法（WLS）在权重为Var(ui|xi)倒数时的特例。39

加权最小二乘法尽管对变换后的模型做OLS是直观的，但是变换本身可能很繁琐。加权最小二乘法可以完成相同的目的，但是不需要进行变换。想法是最小化加权平方和（权重为1/hi）40

加权最小二乘法41MoreonWLS如果我们知道Var(ui|xi)的形式，WLS很棒但在大多数情况下，我们并不清楚异方差的形式此时，你需要估计h(xi)我们可以从一个非常灵活的方程形式入手 Var(u|x)=s2exp(d0+d1x1+…+dkxk)由于d未知，我们必须对它进行估计。42

可行GLS我们的假定意味着 u2=s2exp(d0+d1x1+…+dkxk)v,

其中E(v|x)=1.ln(u2)=a0

+d1x1+…+dkxk+e其中E(e)=1且e

独立于x现在，我们知道û

是u的一个估计，所以我们可以通过OLS对其进行估计。43

可行GLS对h的估计可以通过ĥ=exp(ĝ)得到，其倒数为我们的权重那么，我们做了什么呢？对原方程做OLS回归，保存残差û，平方之，并取自