本科经济计量学(第版)

第5章

回归模型的函数形式5.1如何度量弹性：双对数模型5.2线性模型与双对数模型的比较5.3多元对数线性回归模型5.4如何测度增长率：半对数模型5.5线性对数模型：解释变量是对数形式5.6倒数模型5.7多项式回归模型5.8过原点的回归5.9关于度量比例和单位的说明5.11不同函数形式模型小结5.12总结

在第2章我们已经讨论了线性回归中“线性”的含义，在本书中我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量Y与X一定是线性的。本章将特别讨论下面几种形式的回归模型：（1）双对数模型（不变弹性模型）（2）半对数模型（3）倒数模型（4）多项式回归模型（5）零截矩模型这些模型有一个重要特征：它们都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。5.1

如何度量弹性：双对数模型考虑如下形式的支出函数：称其为双对数（double-log)模型或双对数线性(log-linear)模型。两边同取对数，得到：若设B1＝lnA，再在模型中引入随机误差项，得到如下随机模型：双对数模型是参数线性的，通过简单变换，可将其化为如下模型，即：式（5-5）可变换为：若（5-6）式满足古典线性回归模型的基本假定，则用OLS估计方法得到的估计量是BLUE。

双对数模型有一个非常重要的特性：回归系数B2度量了Y对X的弹性，即X变动1％所引起Y变动的百分比。定义弹性E如下：

双对数模型又称为不变弹性模型。对数线性模型的假设检验与一般线性模型相同。需求函数及其对数变形后的图形见图5-1a和图5-2b.图5-1不变弹性模型例5-1

数学S.A.T分数一例

在前面的例子中，我们给出了数学S.A.T一例的模型，观察数据散点图，可以看出，数学分数和家庭年收入之间只是近似线性关系的。

下面，我们看一下，如果用对数线性模型拟合这个例子中的数据，情况又会怎样？OLS回归结果如下(见Eviews操作)：从回归结果看，支出弹性约为0.13，表明家庭年收入每提高1个百分点，平均而言，数学S.A.T分数将增加0.13个百分点。根据定义，如果弹性的绝对值小于1，则称缺乏弹性。因此，在该例中，数学S.A.T分数是缺乏弹性的。另外，r2＝0.9，表明logX解释了变量logY的90％的变动。双对数模型的假设检验就假设检验而言，线性模型和双对数模型并没有什么不同。在古典线性回归模型的基本假定下，每一个估计的回归系数均服从正态分布。如果σ2用其无偏估计量来代替，则每一个估计的回归系数服从自由度为(n-k)的t分布，其中k为包括截距在内的参数的个数。我们可以考察上例中的回归结果。选择模型的规律：（1）根据数据作图，判断模型形式（只适用于双变量情况）。（2）不能简单根据选择模型。要比较两个模型的R2，应变量的形式必须是相同的。（3）可以考虑变量间的相关性、预期的解释变量系数的符号、统计显著性及弹性系数等因素。线性模型的弹性系数随着需求曲线上的点的不同而变化，而对数线性模型在需求曲线上任何一点的弹性系数都相同。5.2线性模型与对数线性模型的比较三变量对数模型：其中，B2、B3又称为偏弹性系数。B2是Y对X2的弹性（X3保持不变）。B3是Y对X3的弹性（X2保持不变）。在多元对数线性模型中，每一个偏回归系数度量了在其他变量保持不变的条件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。5.3多元对数线性回归模型例5-2柯布-道格拉斯生产函数在模型（5-10）中，令Y表示产出，X2表示劳动投入，X3表示资本投入。这样，式（5-10）就是一个生产函数----反映产出与劳动力和资本投入之间的关系的函数，即柯布-道格拉斯函数（C-D函数）。表5-2给出了1955-1974年间墨西哥的产出Y，（GDP度量，以1960年不变价，单位为百万比索）、劳动投入X2（用总就业人数度量，单位为千人），资本投入X3（用固定资本度量，以1960年不变价，单位为百万比索）的数据。表5-2实际GDP，就业人数，实际固定资本——墨西哥年份GDP就业人数固定资产1955114043831018211319561204108529193749195712918787382051921958134705895221513019591399609171225021196015051195692370261961157897952724889719621652869662260661196317849110334275466196419945710981295378196521232311746315715196622697711521337642196724119411540363599196826088112066391847196927749812297422382197029653012955455049197130671213338484677197232903013738520553197335405715924561531197437497714154609825根据表5-2提供的数据，得到如下回归结果(见Excel文件具体操作)：（5-11）VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-1.6524190.606198-2.7258730.0144LOG(X)0.3397320.1856921.8295480.0849LOG(Z)0.8459970.0933529.0624880.0000R-squared0.995080

Meandependentvar12.22605AdjustedR-squared0.994501

S.D.dependentvar0.381497S.E.ofregression0.028289

Akaikeinfocriterion-4.155221Sumsquaredresid0.013604

Schwarzcriterion-4.005861Loglikelihood44.55221

F-statistic1719.231Durbin-Watsonstat0.425667

Prob(F-statistic)0.000000Eviews软件回归结果ls

log(y)clog(x)log(z)如下：将（5-11）式中两个弹性系数相加，得到一个重要的经济参数-----规模报酬参数。它反映了产出对投入的比例变动。两个弹性系数和为1-----规模报酬不变。两个弹性系数和大于1-----规模报酬递增。两个弹性系数和小于1-----规模报酬递减。例5-3对能源的需求表5-3给出了1960-1982年间7个OECD国家的总最终能源需求指数（Y）、实际GDP（X2

）、实际能源价格（X3）的数据。所有指数均以1973年为基准（1973=100）。

经济合作与发展组织(OrganizationforEconomicCooperationandDevelopment--OECD)

是西方主要资本主义国家协调经济和社会政策的国际组织。简称“经合组织”。表5-3OECD国家对能源的需求年份最终需求实际的GDP实际的能源价格196054.154.1111.9196155.456.4112.4196258.559.4111.1196361.762.1110.2196463.665.9109196566.869.5108.3196670.373.2105.3197191.889.8100.3197297.294.398.61973100100100197497.3101.4120.1197593.5100.5131197699.11053129.61977100.9109.9137.71978103.9114.4133.71979106.9118.3144.51980101.2119.6179198198.1121.1189.4198295.6120.6190.9根据表5-3提供的数据，得到如下对数线性需求函数：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C1.5495040.09011317.195080.0000LOG(G)0.9969230.01911052.166340.0000LOG(P)-0.3313640.024310-13.630860.0000R-squared0.994130

Meandependentvar4.412077AdjustedR-squared0.993543

S.D.dependentvar0.224107S.E.ofregression0.018008

Akaikeinfocriterion-5.074916Sumsquaredresid0.006486

Schwarzcriterion-4.926808Loglikelihood61.36153

F-statistic1693.652Durbin-Watsonstat0.807846

Prob(F-statistic)0.000000Eviews软件回归结果：分析：系数的符号是否与经济理论相符、对模型的解释、拟合优度分析、参数显著性、模型显著性等。5.4如何测度增长率：半对数模型

半对数模型又称为增长模型，通常我们用这类模型来测度许多变量的增长率。例5-41970～1999年美国人口增长率年份时间美国人口数年份时间美国人口数19701205.052198516238.46619712207.661198617240.65119723209.896198718242.80419734211.909198819245.02119745213.854198920247.34219756215.973199021249.94819767218.035199122252.63919778220.239199223255.37419789222.585199324258.083197910225.055199425260.599198011227.726199526263.044198112229.966199627265.463198213232.188199728268.008198314234.307199829270.561198415236.348199930273.131表9-41970～1999年美国人口（百万）

我们现在要求在此期间的美国人口增长率。复利计算公式：其中，Y0----Y的初始值，Yt----第t期的Y值

r----Y的增长率（复利率）将（5-13）式变形，对等式两边取对数，得：B1B2形如（5-18）的回归模型称为半对数模型。得到：若引入随机误差项，得到：

在半对数模型中，斜率度量了给定解释变量的绝对变化所引起的Y的比例变动或相对变动。

即：斜率度量了Y的增长率。所以，半对数模型又称为增长模型。注意，在满足OLS基本假定的条件下，能够用OLS方法来估计模型（5-18）。根据表5-4提供的数据，得到如下回归结果：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C5.3170350.0006088739.3990.0000T0.0098013.43E-05285.98260.0000R-squared0.999658

Meandependentvar5.468946AdjustedR-squared0.999646

S.D.dependentvar0.086294S.E.ofregression0.001625

Akaikeinfocriterion-9.94267Sumsquaredresid7.39E-05

Schwarzcriterion-9.84926Loglikelihood151.1401

F-statistic81786.04Durbin-Watsonstat0.32374

Prob(F-statistic)0.000000斜率0.0098表示，平均而言，Y的年增长率为0.98％。估计的回归直线见Eviews文件。5.4.1

瞬时增长率与复合增长率由(5-14)式，有b2=B2的估计值=ln(1+r)因此：antilog(b2)=(1+r)于是：r=antilog(b2)-1(5-21)(r是复利增长率)在上例中得到：

r=antilog(0.0098)-1=1.009848-1=0.009848即在样本区内，美国人口的年复合增长率为0.9848％。这与前面求得的Y的增长率为0.98％有什么不同？0.98％是瞬时增长率，0.9848％是复利增长率。

ln(1+r)r5.4.2

线性趋势模型

线性趋势模型：

Yt=B1+B2t+ut(5-22)即Y对时间t的回归，其中t按时间先后顺序计算。这类模型称为线性趋势模型，时间t称为趋势变量。根据表5-4提供的数据，拟合的回归方程如下：

Se=(0.2717)(0.01536)t=(743.27)(152.12)r2=0.9988P值=(0.0000)(0.0000)

回归结果表明，在样本区间内，美国人口每年以2.3285（百万）的绝对速度增长。因此，在此期间，美国人口表现出一个向上的趋势。见Eviews输出结果。DependentVariable:YMethod:LeastSquaresSample:19701999Includedobservations:30VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C201.97270.271735743.27180.0000T2.3284850.015306152.12430.0000R-squared0.998792

Meandependentvar238.0643AdjustedR-squared0.998748

S.D.dependentvar20.51101S.E.ofregression0.725646

Akaikeinfocriterion2.260832Sumsquaredresid14.74374

Schwarzcriterion2.354245Loglikelihood-31.91247

F-statistic23141.80Durbin-Watsonstat0.107636

Prob(F-statistic)0.000000比较用线性趋势模型和半对数模型对数据拟合的结果，发现两个模型的拟合效果都不错，且都通过了t检验。如何选择？线性趋势模型可以度量经济变量的绝对变化，增长模型(半对数模型)可以度量经济变量的相对变化（相对增长、增长率），通常人们更关注相对变化量。需要注意的是，比较这两个模型不能通过r2来判断，两个模型的残差平方和等也没有可比性，因为两个模型的应变量不相同。5.5

线性对数模型：解释变量是对数形式在上一节，我们讨论的半对数模型是：应变量是对数形式而解释变量是线性形式的增长模型，这类模型也称为对数－线性模型(log-linmodel)。本节将讨论另一种半对数模型：应变量是线性形式而解释变量是对数形式的模型。称为线性－对数模型(lin-logmodel)。因为对模型：有：所以线性对数模型常用于研究解释变量每变动1%，相应应变量的绝对变化量的情形。在有多个对数形式的解释变量的模型中，偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，某一给定变量X每变动1％所引起的应变量的绝对改变量。例5.5个人总消费支出与服务支出的关系

（1993-1～1998-3，1992年美元价，10亿美元表9-51993-1～1998-3个人总消费支出与各类支出季度数据（10亿美元）观察值Y1服务支出Y2耐用品支出Y3非耐用品支出X总消费支出1993-12445.35041337.54286.81993-22455.9519.31347.84322.81993-32480529.91356.84366.61993-42494.4542.11361.843981994-12510.9550.71378.44439.41994-22531.4558.81385.54472.21994-32543.8561.71393.24498.21994-42555.9576.61402.54534.11995-12570.4575.21410.44555.31995-22594.8583.51415.94593.61995-32610.3595.31418.54623.41995-42622.9602.41425.646501996-12648.56111433.54692.11996-22668.4629.51450.44746.61996-32688.1626.51454.74768.31996-42701.7637.51465.14802.61997-12722.1656.31477.94853.41997-22743.6653.81477.14872.71997-32775.4679.61495.749471997-42804.8648.81494.349811998-12829.3710.31521.25055.11998-22866.8729.41540.95130.21998-32904.8733.71549.15181.8假定要求个人总消费支出的变动对服务支出的影响，考虑下面模型：其中，Y1=服务支出，X=个人总消费支出。模型（5-24）的回归结果如下：t=(-78.33)(89.89)r2=0.997Eviews回归结果如下：DependentVariable:Y1Method:LeastSquaresSample:1993Q11998Q3Includedobservations:23VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-17907.55228.6108-78.332050.0000LOG(X)2431.68627.0514089.891320.0000R-squared0.997408

Meandependentvar2642.152AdjustedR-squared0.997284

S.D.dependentvar134.6207S.E.ofregression7.015229

Akaikeinfocriterion6.816985Sumsquaredresid1033.482

Schwarzcriterion6.915724Loglikelihood-76.39533

F-statistic8080.449Durbin-Watsonstat1.042303

Prob(F-statistic)0.000000lsy1clog(x)模型（5-24）中的斜率度量了：式（5-26）也可写为：式（5-27）表明，Y的绝对变化量等于B2乘以X的相对变化量。因而，若每变化0.01个单位（或1%），则Y的绝对改变量为0.01(B2)。本例中，估计得到的斜率系数是2431.686，表示个人总消费支出每增加一个百分点，平均而言，服务支出将增加24.31（10亿美元）。5.6

倒数模型该模型的显著特征：随着X的无限增大，Y将逐渐接近于B1

，B1称为渐进值(asymptoticvalue)或极限值。倒数模型(reciprocalmodel)：下面给出了双曲函数模型的一些可能的形状。B10XYB1>0B2>00XYB1>0B2<00XYB1<0B2>0-B2/B1B1B1(a)(b)(c)图5-4倒数模型在图5-4a中，若Y表示生产的平均固定成本(AFC)，也即总固定成本除以产出，X代表产出，则根据经济理论，随着产出的不断增加，AFC将逐渐降低，最终接近其渐进线Y=B1。图5-4b描绘了恩格尔消费曲线（Engelexpenditurecurve)：消费者对某一商品的支出与其总收入或总消费支出的关系。设Y表示消费者在某一种商品上的消费支出，X表示消费者总收入，则该商品有以下特征（1）收入有一个临界值（2）消费有一个满足水平。双曲函数是描述这类商品最适合的模型。图5-4c的一个重要用途是宏观经济学中著名的菲利普斯曲线(Philipscurve)。菲利普斯根据英国货币工资变化的百分比Y与失业率X的数据，得到了形如图5-4c的一条曲线。从图中可以看出，工资的变化对失业水平的反映是不对称的。例5-61958-1969年美国的菲利普斯曲线t=(-0.2572)(4.3996)r2=0.6594表9-6给出了美国1958～1969年间小时收入指数Y和城市失业率X的数据，模型（5-28）拟合了表5-6给出的数据，回归结果如下：图5-4a给出了该回归线。表5-6美国小时收入指数年变化的百分比Y与失业率X年份YX19584.26.819593.55.519603.45.519613.06.719623.45.519632.85.719642.85.219653.64.519664.33.819675.03.819686.13.619696.73.5Eviews输出结果：lsyc1/xDependentVariable:YMethod:LeastSquaresSample:19581969Includedobservations:12VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-0.2594371.008640-0.2572140.80221/X20.587884.6794824.3996070.0013R-squared0.659360

Meandependentvar4.066667AdjustedR-squared0.625296

S.D.dependentvar1.271601S.E.ofregression0.778386

Akaikeinfocriterion2.487823Sumsquaredresid6.058842

Schwarzcriterion2.568640Loglikelihood-12.92694

F-statistic19.35654Durbin-Watsonstat0.639368

Prob(F-statistic)0.001336从回归结果中可以看出，最低工资率为-0.26％，它显著为0。因此，无论失业率有多高，工资的增长率至少为0。9-5作为比较，我们给出根据相同数据得到的线性回归结果：

t=(6.4625)(-3.2605)r2=0.5153

线性模型表明，失业率每上升1％，平均而言，收入的变化率为一常数，约为-0.79。在双曲函数模型中，收入的变化率不是常数，它依赖于X(失业率)的水平，后一种模型看似更符合经济理论。由于在两个模型中的应变量相同，我们还可以比较r2值。比较这两个模型可以看出，双曲函数模型比线性模型更好地拟合了样本数据。5.7

多项式回归模型图5-8描绘了总成本函数（是产出的函数）曲线和边际成本（MC）及平均成本（AC）曲线。Y表示总成本（TC），X表示产出，总成本函数可以表示为：形如式（5-32）的函数又称为立方函数（三次多项式函数）。可以把它看作多元回归方程(引入随机误差项)，用OLS方法来估计参数。图5-8例5-8

总成本函数：

为了说明多项式模型，考虑表5-8给出的成本—产出数据se=(6.3753)(4.7786)(0.9857)(0.0591)R2=0.9983

根据这些数据，用OLS方法得到的回归结果如下：Y（$)193226240244257260274297350420总成本X12345678910产出表5-8成本—产出数据DependentVariable:YMethod:LeastSquaresSample:110