数据包络分析DEA

DEA方法及其应用

武汉理工大学管理学院

目录：

一、DEA方法简介

二、DEA基本原理和模型

三、DEA应用案例

四、DEA软件介绍

五、DEA主要应用领域

六、DEA最新研究进展

七、DEA主要参考文献

假设有5个生产任务相同的工厂,如5家水泥厂或5家纺织厂等,每个工厂都有两种投入和一种产出,其具体数据见表1．工厂(DMU)ABCDE投入1105131投入2171122产出1202062410表1各厂情况如何对5个工厂生产情况的“好坏”进行评价呢？为了便于比较,现把5个工厂的各项投入和产出按比例变化,使其产出相同，见表2，这样就可以只比较其投入了。工厂ABCDE投入11030201512投入2176201024产出120120120120120表2各厂调整后的情况现以两项投入为坐标建立投入平面，如图1所示，5个工厂分别对应于平面上5个等产出点。显然,靠近左下方的工厂应该是“好”的，而远离左下方的工厂则“不好”。将位于左下方的A,D,B依次连接起来,再由A向上做纵轴的平行线,由B向右做横轴的平行线,可以得到一个“凸包”,这是使所有5个工厂均位于其右上方的“最小凸包”,A,D,B位于投入1投入2ABCDEHIO图5-2凸包的边界上,C,E位于其内部.将C,E与原点相连,分别交凸包边界于H,I点.H由A和D组合而成,可以看作是一个虚构的对象.经过简单的计算可知,H是由A的5/12和D的7/12组合而成的,其投入和产出分别为投入1：投入2：产出：由于H是A和D的组合,因而在实际生产中是可以实现的,其两项投入均是C两项投入的显然C不是相对有效的.同样,I也可以看作是一个虚构的工厂,其投入分别为10和20,产出为120，其投入是E的83.3%,因而E也不是相对有效的.很显然,越偏向右上方,有效性越差.相对而言,位于凸包边界上的A，D，B是有效的．在上面的例子中,DEA方法评价的对象是同类型的工厂,事实上,DEA方法评价的对象并不局限于这种真正的生产活动,它们可以是广义的“生产”活动.比如：多所大学、多家医院、多个空军基地、多家银行等都可以作为DMU,其基本的特点就是有相同种类的投入和产出,这些投入产出数据就是评价相对有效性的依据.判断某个对象是否为相对有效的,就是看是否有一个虚构的对象(它是实际观察到的对象的某种组合)比它更“好”(相同产出条件下投入更少或相同投入情况下产出更多).若有这样的对象,则原对象不是相对有效的,否则,是相对有效的,这就是DEA方法评价的基本思路.一、DEA方法简介

数据包络分析方法（DEA，DataEnvelopmentAnalysis）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出，该方法的原理主要是通过保持决策单元（DMU,DecisionMakingUnits）的输入或者输入不变，借助于数学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面，将各个决策单元投影到DEA的生产前沿面上，并通过比较决策单元偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。

DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。DEA方法的特点：适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当然也可以）无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显示表达式DEA方法的特点：定义：

123…j…nv11x11x12x13…x1j…x1nv22x21x22x23…x2j…x2n......….vi.....Xij….......….vmmxm1xm2xm3…xmj…xmn

y11y12y13…y1j…y1n1u1

y21y22y23…y2j…y2n2u2.....…......yrj…..ur.....…..ys1ys2ys3…ysj…ysnsusm种输入n个决策单元（DMU）s种输出二、DEA基本原理和模型权系数权系数各字母定义如下：xij--------第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij〉0yrj--------第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj〉0vi--------对第i种类型输入的一种度量，权系数ur--------对第r种类型输出的一种度量，权系数i----------1,2,…,mr----------1,2,…,sj----------1,2,…,n对于每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数：

我们总可以适当的取权系数v和u，使得hj≤1,j=1,…，n

对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能的变化权重时，hj0的最大值究竟是多少。如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：上述规划模型是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变化，令：可变成如下的线性规划模型P：（P）

利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对其他所有决策单元而言的。对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一个重要的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论和经济意义上作深入分析规划P的对偶规划为规划D/：（D/）为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s＋和剩余变量s－，将上面的不等式约束变为等式约束，可变成：（D）将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划几个定理和定义：定理1

线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行解，所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj0*与θ*，则有hj0*＝θ*

定义1若线性规划（P）的最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为弱DEA有效定义2若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ*

＞0，并且最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为DEA有效的定理2

DMUj0

为弱DEA有效的充要条件是线性规划（D）的最优值θ*＝1；DMUj0为DEA有效的充要条件是线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*，都有s*＋＝0，s*-＝0DEA有效性的定义：我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效：（1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。则决策单元j0为DEA有效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效（2）θ*＝1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策单元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为技术效率最佳和规模最佳（3）θ*＜1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是技术效率最佳，也不是规模最佳DEA有效性的定义：还可以用CCR模型中的λj判断DMU的规模收益情况：（1）如果存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，则DMU为规模收益不变（2）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＜1，则DMU为规模收益递增（3）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＞1，则DMU为规模收益递减1952年，Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量ε，成功的解决了计算和技术上的困难，建立了具有非阿基米德无穷小量ε的

CCR模型：CCR模型的计算：最优解为，，，λj使各个有效点连接起来,形成有效前沿面;非零的s+、s-使有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包络面。在实际运用中,对松弛变量的研究是有意义的,因为它是一种纯的过剩量(s-)或不足量(s+)，θ则表示DMU离有效前沿面或包络面的一种径向优化量或“距离”设其中,,是决策单元j0对应的线性规划（D）的最优解,则(,)为DMUj0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的投影,它是DEA有效的CCR模型中变量的经济含义:定理3三、DEA应用案例1.对生产水平的相对有效性分析

--梁敏.边馥萍.生产水平的相对有效性分析.

数量经济技术经济研究[J]2003.9：91-94利用含有非阿基米德无穷小ε的CCR模型，对北京地区建立如下模型：同样建立其他三个直辖市的模型，求得的解如下：

由定理3可知，对于非DEA有效的DMU，可将其投影到DEA有效面，即把非DEA有效的DMU变成有效的DMU以天津为例，为得到同样的总产值和财政收入，输入可减少到：三、DEA应用案例2.对经济效益的评价

--侯风华，张在旭，徐青.DEA方法在石油企业经济效益评价中的应用.

系统工程理论方法应用[J]2000.3：252-257

设研究对象为11个油田,将这11个油田简记为DMUj(j=1,2,…,11)

输入指标的选取：投资总额；职工总数；销售成本；固定资产原值输出指标的选取：原油产量(含天然气)；利税总额；新增探明储量(含天然气)CCR模型的解CCR模型的解根据上述的DEA有效性的判别定理,可知:(1)达到DEA有效的DMU分别为：

DMU1,DMU2,DMU4,DMU7,DMU9,DMU11(2)非DEA有效的DMU分别为：

DMU3,DMU5,DMU6,DMU8,DMU10(3)非DEA有效的DMU按定理3进行投影计算结果如后投影分析结果:用DEA方法评价决策单元的相对效率时,最后的结果很可能出现多个单元同时为相对有效，而不能做进一步的评价与比较。故采用一种改进的DEA模型(简称MDEA)来对DEA

有效单元做进一步评价,从而对所有地区按效率值进行充分排名.MDEA模型：在MDEA模型中,将某个DMU能增加其投入而仍保持相对有效性的最大比例值,称为该DMU

的“MDEA

效率”,显然该效率值有可能大于1。由于MDEA模型是对有效单元进行再评价,故被评价单元是技术有效的且其规模收益不变.因此,MDEA模型能做到对所有被评价单元的充分评价与排序,为决策提供了更加完备的信息.四、DEA软件介绍1.DEAP-Versionhttp://.au/econometrics/cepa.htm2.FRONTIERhttp://.au/econometrics/cepa.htm3.EfficiencyMeasurementSystem

http://www.wiso-uni-dortmund.de/lstg/or/scheel/ems/4.LINDO软件五、DEA主要应用领域1.经济体效率评价：

企业效率，银行效率,铁路运营