解排列组合应用题的21种策略

解排列合用题的策略排列组问题是高考必考题它联系实际动有趣但题型多样思路灵活，易掌握，实证明，握题型和解方法，别模式，熟运用，解决排组合应用题有效途；下面就谈谈排列合应用题的题策略.1.相问题捆法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,B,C,五人并排站成一排，如果A,必须相邻且在A的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析A视为一人B固定在的右边本题相当于4人的全排列，

24种，答案D2.相问题插排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析除甲乙外其余5个排列数为5

种再用甲乙去插6个空位A6

种，不同的排法种数是A

2

3600种，B3.定问题缩法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,C,DE五人并排站成一排，如须站的右边（A,可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在A的右边与B的左边排法数相同，所以题设的排法只是51个元素全排列数的一半，即2

种，.4.标排位问分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排第1页共8页入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成例4.将数字，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析先把1填入方格中符合条件的有种方法第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格又有三种方法第三步填余下的两个数字只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5.有分配问逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需人承担，乙丙各需一人承担，从人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10中选出2承担甲项任务，再从剩下的8人中选人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10

C1187

种，.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口人，则不同的分配方案有（）C4C4AC44种B44C种C4A种D、128种3答案：A.6.员分配问分组法例6.（）4优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析四名学生分成3组

种方法把三组学生分配到三所学校种，故共C

2A34

36种方法说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配（2）5本不同的书，全部分给4学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种第2页共8页答案：B.7.额分配问隔板法例710个三好学生名额分到个班级每个班级至少一个名额有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把个名额看成10个相同的小球分成堆，每堆至少一个，可以在10个小球的个空位中插入6木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案C

84种.8.制条件的配问题类法:例8.某高校从某系的10优秀毕业生中选4分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设其中甲同学不到银川乙不到西宁共有多少种不同派遣方案？解析因为甲乙有限制条件所以按照是否含有甲乙来分类有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法然后安排其余学生有法所以共3③若乙参加而甲不8参加同理也A3种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安8排其余8人到另外两个城市有A种，共72方法.所以共有不同的派遣方法总数为3A2.889.元问题分法：素多取出的情况也多种可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（）由数字0，，2，3，，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种解析按题意个位数字只可能是01234共5种情况分别有5

个，1A3AA1A,13,AA33333

个，合并总计300个,选B.（2）从1，2，„100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析取的两个数中至少有一个能被7整除时的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集视为全集能被7整除的数的集合记做第3页共8页9814个素,不被7做4,个元素；由此可知，从中任取2元素的取法有2

，从任取一个，又从A中任取一个共有C1

1

，两种情形共符合要求的取法C14

114

C86

1295种.（3）从1，2，3„100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将I四个不相交的子集，能被4整除的数集A

；能被除余1数集B

97

，能被除余2数C除余3的数这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；BD各取一个数也符合要求C中任取两个数也符合要求此外其它取法都不符合要求所以符合要求的取法共C1C种.252510.叉问题合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公(B)(A)()(AB).例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取人赛的排列｛甲跑第一棒的排列B=｛乙跑第四棒的排列根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：(I)(((A4A252种11.位问题先法某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例名老师和4名获奖学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析老师在中间三个位置上选一个有种4名同学在其余4个位置上有34种方法；所以共有13

4

72种。.12.多排问单排法:元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例12.（）6个不同的元素排成前后两排，每3个元素，那么不同的排法第4页共8页种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种解析前后两排可看成一排的两段因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共

种，C.（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某个元素在前半段四个位置中选排2个，A2

种，1个元素排在后半段的四个位置中选一个有

种，其余5个元素任排个位置上有A种，故共有5

2A54

种排法13.至少“多”问用间接排除或分类:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共

70种选.C解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法C2C112台,C.414.排问题取后从几类元素中取出符合题意的几个元素安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（）四个不同球放入编号为1，，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C种，再排：在四个盒中每次排3个有A3种，故共CA3种444（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析取男女运动员各2名

25

24

种四名运动员混和双打练习2中排法，故共C2

2

种15.分合条问题除法在选取的总数中有一部分合条件可以从总第5页共8页数中减去不符合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70种B、64种C、58种D、52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构

四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有4.（2四面体的顶点和各棱中点共点在其中取4个不共面的点不同的取法共有（）A、150种B、147种C、144种D、141种解析：10个点中任取4个点共

种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C4

，四个面共有

个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数4C4.1016.排问题排法:不同元素放在圆无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合的排法认为是相同的它与普通排列的区别在于只计顺序而首位末位之分，下列个普通排列：a,,;,,;aa,,a1224

n

在圆排列中只算一种为旋转n!后可以重合，故认为相同个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定n展成单排，其它元素全排列例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列4

种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边2种方式不同的安排方24种不同站法.

1说明：个不同元素中取m个元素作圆形排列共有Am

种不同排法.17.重复的列求法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象素不受位置的约束可逐一安排元素的位置一般不同元素排个不同第6页共8页位置的排列数n种法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析完成此事共分6步第一步将第一名实习生分配到车间有种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共7

种不同方案.18.杂排列合问构造模法:例18.马路上有编号为1，，3„九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏也不能关掉两端的两盏求满足条件的关灯方案有多少种？解析把此问题当作一个排对模型在盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的C种方法,所以满足条件的关灯方案有种.5说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19.素个数少的列组合题可以考虑举法:例19.设有编号为1，，，，的五个球和编号为12，，，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从5个球中取出个与盒子对号C

种，还剩下3个球与个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时号球也只有1种装法以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数C.20.杂的排组合题也可分解与合成:例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？解析先把30030分解成质因