中考数学频考点突破-二次函数

中考数学频考点突破--二次函数一、综合题1．已知：二次函数y＝12x2+2x+m（1）求m的取值范围；（2）如图所示，若二次函数y＝12x2+2x+m图象的顶点B在x轴上，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B（3）在（2）中，若点P关于y轴的对称点为M，求以点M为圆心，BP长为半径的圆是否与直线AB相切？并说明理由．2．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，4），且经过点（4，-5）．（1）求该二次函数表达式；（2）直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围；（3）若二次函数的图象平移后经过原点，请直接写出两种不同的平移方案．3．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；长．（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．4．如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为52cm？（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？5．函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求：（1）a和b的值；（2）求抛物线y＝ax2的顶点和对称轴；（3）x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大；6．已知二次函数y=﹣2x2，y=﹣2（x﹣2）2，y=﹣2（x﹣2）2+2，请回答下列问题：（1）写出抛物线y=﹣2（x﹣2）2的顶点坐标，开口方向和对称轴；（2）分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=﹣2x2得到抛物线y=﹣2（x﹣2）2和y=﹣2（x﹣2）2+2？（3）如果要得到抛物线y=﹣2（x﹣2017）2﹣2018，应将y=﹣2x2怎样平移？7．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC=4，AC=5，求⊙O的直径的AE．8．已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=10，EF=3·（1）求AO的长；（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求OD的长·9．如图，已知二次函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3m，0），交y轴于点C（0，3m）（m＞0）.（1）当m＝2时，求抛物线的表达式及对称轴.（2）过OB中点M作x轴垂线交抛物线于点D过点D作DF∥x轴.交抛物线于点E，交直线BC于点F，当EFED10．已知AB=BC，∠ABC=90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．（1）如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE+DE=AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；（2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．11．如图，已知D是⊙O上一点，AB是直径，∠BAD的平分线交⊙O于点E，⊙O的切线BC交OE的延长线于点C，连接OD，CD.（1）求证：CD⊥OD.（2）若AB＝2，填空：①当CE＝▲时，四边形BCDO是正方形.②作△AEO关于直线OE对称的△FEO，连接BF，BE，当四边形BEOF是菱形时，求CE的长.12．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E.点F为DC的延长线上一点，满足∠FBC=∠BDC.（1）求证：BF与⊙O相切；（2）若BD=6，BC=22，求△ABC14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=10，AD=310，则tan∠DAF的值为

答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意得：△＝22﹣4×12解得m≤2；（2）解：∵y=12而函数的对称轴为x＝﹣2，故顶点为B（﹣2，0），设直线AB的表达式为y＝kx+b，则0=−2k+bb=2解得k=1b=2∴直线AB：y＝x+2，则OA＝OB，故∠AOB＝45°，∵以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，即PB⊥AB，而∠AOB＝45°，故直线PB与x轴负半轴的夹角为45°，则设直线PB的表达式为y＝﹣x+t，将点B的坐标代入上式并解得t＝﹣2，∴直线PB的解析式为y＝﹣x﹣2②，联立①②得：−x−2=1解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝﹣4，∴P（﹣4，2）（3）解：由点B、P的坐标知，BP＝(−4+2)2+2关于y轴对称的点M（4，2），如图，连接PM，过点M作MH⊥AB于点H，则AM＝4，∵∠ABO＝∠BAO＝45°，则∠PAB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣45°＝45°＝∠HMA，则HM＝AM•sin∠HMA＝4×22＝2即M到直线AB的距离为22∴BP长为半径的圆与直线AB相切．【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）根据二次函数与x轴有公共点，即二次方程有根，根据根的判别式即可得到m的取值范围；

（2）根据题意，计算得到直线AB的解析式，将二次函数的解析式与直线PB的解析式，联立即可得到点P的坐标；

（3）由勾股定理计算得到BP的长度，根据锐角三角函数即可得到HM的长度，即可得到答案。2．【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为（1，4），

∴设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4

∵二次函数图象经过点（4，-5）

∴a(4-1）2+4=-5

解之：a=-1

∴此函数解析式为：y=-（x-1）2+4（2）解：由（1）可知二次函数的对称轴为直线x=1

∵a=-1＜0

∴抛物线的开口向下，再对称轴的右侧，y随x的增大而减小

∴当x≥1时y随x的增大而减小（3）解：∵二次函数y=-（x-1）2+4平移后经过原点

∴y=-（x-1+1）2+4-4，即y=x2

∴向左平移1个单位，再向下平移4个单位；

∵y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3

若平移后的函数解析式为：y=-x2+2x=-（x-1）2+1时，图像过原点

∴y=-（x-1）2+4-3=-（x-1）2+1

∴向下平移3个单位

∵y=-（x-1-1）2+4=x2+4x

∴向右平移1个单位

∵y=-（x-1+3）2+4=x2-4x

∴向左平移3个单位

∴二次函数的图象平移后经过原点，平移方案有：①向左平移1个单位，再向下平移4个单位；②向下平移3个单位；③向右平移1个单位；④向左平移3个单位等等。【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【分析】（1）已知二次函数的顶点坐标，因此设二次函数解析式为顶点式，再将点（4，-5）代入，即可求解。

（2）利用（1）中的函数解析式，可得出对称轴，再利用二次函数的增减性，就可得出答案。

（3）利用二次函数图象平移的规律：上加下减，左加右减，要使平移后的图像经过原点，因此平移后的c的值一定为0，写出平移方案即可。3．【答案】（1）解：AB=AC．理由是：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，又∵DC=BD，∴AB=AC；（2）解：连接OD、过D作DH⊥AB．∵AB=8，∠BAC=45°，∴∠BOD=45°，OB=OD=4，∴DH=22∴△OBD的面积=1扇形OBD的面积=45⋅π⋅42【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）由圆周角定理可知AD⊥BC，由已知条件可知D为BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证.

（2）在Rt△ODH中，根据正弦的定义可求得DH长，由三角形面积公式可得△OBD的面积，再由扇形的面积公式可求得扇形OBD的面积，从而可求得阴影部分的面积.4．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，∴AB=25cm，设经过ts后，P、Q两点的距离为52cm，ts后，PC=7-2tcm，CQ=5tcm，根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，代入数据（7-2t）2+（5t）2=（52）2；解得t=1或t=-129（2）解：设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2ts后，PC=7-2tcm，CQ=5tcm，S△PCQ=12=1解得t1=2，t2=1.5，经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2（3）解：设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，ts后，PC=7-2tcm，CQ=5tcm，S△PCQ=12×PC×CQ=12×（7-2t）×5t=52×（-2t2+7t）当t=-b2a时，即t=72×2=1.75s时，△PCQ的面积最大，即S△PCQ=12×PC×CQ=12∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大=12×7×24-24516=109916当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为：109916cm【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）根据勾股定理算出AB的长，根据题意得出PC=7-2tcm，CQ=5tcm，根据勾股定理建立方程，求出t的值，再检验即可；

（2）根据题意：PC=7-2tcm，CQ=5tcm，根据三角形的面积公式列出方程，求解即可得出答案；

（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，由题意知：PC=7-2tcm，CQ=5tcm，根据三角形的面积公式建立函数解析式，根据所得函数的性质即可得出三角形的面积的最大值，根据四边形BPQA的面积最小值为=S△ABC-S△PCQ最大即可算出答案。5．【答案】（1）解：将x=1，y=

b代入y=2x－3，得b=－1.

所以A(1，－1).

将x=1，y=－1代入y=

ax2（2）解：由(1)可得二次函数解析式为y=－x2其顶点坐标为(0，0)，对称轴为x=0（3）解：因为a=－1＜0，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大.即当x＜0时，y随x的增大而增大.【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的性质【解析】【分析】（1）将点A(1，b)代入直线y＝2x－3求出b的值从而得出点A的坐标，再将点A的坐标代入函数y＝ax2即可求出a的值，从而求出抛物线的解析式；

（2）根据抛物线的顶点式的性质即可求出抛物线y＝ax2的顶点坐标和对称轴直线的解析式；

（3）由于抛物线的二次项系数a=－1＜0，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，即当x＜0时，y随x的增大而增大。

6．【答案】（1）解：抛物线y=﹣2（x﹣2）2的顶点坐标（2，0），开口方向向下，对称轴为直线x=2（2）解：y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣2（x﹣2）2的顶点坐标为（2，0），y=﹣2（x﹣2）2+2的顶点坐标为（2，2），所以，抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位得到抛物线y=﹣2（x﹣2）2，抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线y=﹣2（x﹣2）2+2（3）解：∵抛物线y=﹣2（x﹣2017）2﹣2018的顶点坐标为（2017，﹣2018），∴应将y=﹣2x2向右平移2017个单位，向下平移2018个单位得到．【知识点】二次函数图象的几何变换【解析】【分析】（1）根据函数解析式，直接写出抛物线的顶点坐标，开口方向和对称轴。

（2）根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，即可得出答案。

（3）根据两函数解析式，由顶点坐标的变化情况，即可答案。7．【答案】（1）证明：连接OC．∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA．∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC．∵CD⊥PA，∴∠ADC=∠OCD=90°，即CD⊥OC，点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，∴四边形DMOC是矩形，∴OC=DM，OM=CD=4．∵DC=4，AC=5，∴AD=3，设圆的半径为x，则AM=x-AD=x-3，∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO2=AM2+OM2．∴x2=（x-3）2+42，∴x=25∴⊙O的半径是256∴⊙O的直径的AE=2×256=25【知识点】勾股定理；切线的判定【解析】【分析】（1）连接OC，根据OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根据角平分线得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC//AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；

（2）过O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，证出四边形DMOC是矩形，可得OM=CD，OC=AM+AD，求出AM的长，利用勾股定理求出AD的长，设圆的半径为x，则AM=x-AD，再根据勾股定理列方程，求出x的值即可求出圆的半径，从而求出圆的直径AE。8．【答案】（1）解：∵O是圆心，且点F为AC的中点，∴OF⊥AC，∵AC＝10，∴AE＝5，∵EF=3设圆的半径为r，即OA＝OF＝r，则OE＝OF−EF＝r−3，由OA2＝AE2＋OE2得r2＝52＋（r−3）2，解得：r＝173，即AO＝17（2）解：∵∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC＝90°，∴∠AOE＝∠ACD，则sin∠ACD＝sin∠AOE＝AE∴AD=AC⋅sin∴OD=AD−AO=【知识点】勾股定理；垂径定理；解直角三角形【解析】【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理即可得出OA的值；

（2）根据题意和相似三角形的判定方法可得出∠AOE＝∠ACD，则sin∠ACD＝sin∠AOE＝AEAO9．【答案】（1）解：当m＝2时，得到A（﹣1，0），B（6，0），C（0，6），设抛物线表达式为y＝a（x﹣6）（x+1），将点C（0，6）代入得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+5x+6，∴对称轴为x＝52（2）解：如图，作抛物线的对称轴交FD于G，交x轴于H，

设抛物线表达式为y＝a（x﹣3m）（x+1），将点C（0，3m）代入表达式，得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3m）（x+1），∴对称轴为x＝3m+12∵M为OB的中点，∴OM＝3m2∴HM＝DG＝12∴ED＝1，∵EFED∴EF＝54∴FD＝DN＝94∴DM＝94∴D（3m2，9【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）当m=2的时候，首先得出A,B,C三点的坐标，进而设出抛物线的交点式，将点C的坐标代入即可算出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式，根据抛物线的对称轴直线公式即可算出该抛物线的对称轴直线；

（2）设出抛物线的交点式，将点C的坐标代入即可算出二次项的系数a的值从而求出抛物线的解析式，根据抛物线的对称轴直线公式即可算出该抛物线的对称轴直线；根据线段中点的定义表示出OM，故得出点M与D到对称轴直线的距离应该是1210．【答案】（1）解：①证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．∵CE⊥l，∴∠CEB=90°．∴∠CBD+∠C=90°．∴∠ABD=∠C．∵AD⊥l，∴∠ADB=90°=∠CEB．∵AB=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE．∵BD+DE=BE，∴CE+DE=AD．②补全图形如图：线段DF，BE，DE的数量关系为BE证明如下：∵AF∥BC，∴∠BAF+∠ABC=180°．∵∠ABC=90°，∴∠BAF=90°．∴∠BAD+∠DAF=90°．∵AD⊥l，∴∠ADB=90°．∴∠BAD+∠ABD=90°．∴∠ABD=∠DAF．∵DF⊥AE于H，∴∠DHE=90°．∴∠HDE+∠HED=90°．∵∠ADE=∠ADF+∠HDE=90°，∴∠HED=∠ADF．∵由（1）中全等，有AD=BE，∴△ADF≌△BEA．∴DF=AE．∵在Rt△ADE中，AD∴BE（2）解：AB为3【知识点】三角形全等的判定；二次函数的实际应用-几何问题【解析】解：(2)当直线l在∠ABC外部时，由（1）知△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE，∴DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，∴A=x=2∴当x=32时，AB2有最小值184，即AB=故当DE取最大值3时，AB为3

【分析】（1）①先证明△ABD≌△BCE，可得AD=BE，BD=CE，由BD+DE=BE可得CE+DE=AD；

②补全图形，先证明△ADF≌△BEA，得出DF=AE，再由勾股定理可得AD2+DE2=AE2，再利用等量代换可得11．【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，∴BC⊥OB，∴∠OBC＝90°，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠OEA，∴∠DAE＝∠OEA，∴AD//OC，∴∠BOC＝∠BAD，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝2∠BAD，∴∠BOC＝∠BAD＝∠DOC，在△ODC和△OBC中，OD=OB∠DOC=∠BOC∴△ODC≌△OBC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴CD⊥OD；（2）2﹣1；解：如图所示：∵△AEO与△FEO关于直线OE对称，∴OF＝OA，∴F在⊙O上，∵四边形BEOF是菱形，∴BE＝OE＝1，∴∠EOB＝∠EBO，∵∠EOB+∠BCE＝90°，∠EBO+∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠CBE，∴CE＝BE＝1.【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质；圆周角定理；切线的性质【解析】【解答】（2）解：①当CE＝2﹣1时，四边形BCDO是正方形；理由如下：∵AB＝2，∴OB＝OE＝OD＝1，∴OC＝OE+CE＝2，由（1）得：∠OBC＝90°，△ODC≌△OBC，∴DC＝BC＝OC2−O∴OB＝BC＝DC＝OD，∴四边形BCDO是菱形，∵∠OBC＝90°，∴四边形BCDO是正方形；故答案为：2﹣1；【分析】（1）证出∠DAE＝∠OEA，得出AD//OC，由圆周角定理证出∠BOC＝∠BAD＝∠DOC，证明△ODC≌△OBC（SAS），得出∠ODC＝∠OBC＝90°，即可得出结论；（2）①求出OC=OE+CE=2，由（1）得∠OBC＝90°，△ODC≌△OBC，由勾股定理得出DC=BC=OC12．【答案】（1）解：由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得a=1，则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3（2）解：过点P作x轴的垂线，交AC于点N．设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得−3k+m=0m=−3，解得k=−1∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，∴S=12=12×3（﹣x2=﹣32（x+32）2+∴当x=﹣32时，S有最大值278，此时点P的坐标为（﹣32（3）解：在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：①当A为直角顶点时，如图3①，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=32所以点M的坐标为（0，32②当D为直角顶点时，如图3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，解得t=﹣72所以点M的坐标为（0，﹣72③当M为直角顶点时，如图3③，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=﹣1或﹣3，所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，32）或（0，﹣7【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-百分率问题【解析】【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标