弹性力学平面问题有限元法

张洪伟第3章弹性力学平面问题的有限元方法平面问题的定义平面问题的有限元法12内容提要3相关问题的探讨平面问题弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。平面应力问题很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。平面应变问题很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。连续体弹性问题的有限元法一个简单的平面问题：p材料：低碳钢体力：重力（密度）面力：p=1N/mm2厚度：t等腰直角三角形腰长:l=20mm求：顶点处的位移？平面问题的有限元求解过程几何离散：三角形单元或四边形单元三角形单元——平面问题中最简单的单元单元特征分析构造位移函数单元应变能单元外力功（单元等效节点力）单元集成：系统的总势能变分处理：系统的平衡方程（组）应用位移边界条件求出节点位移由节点位移求出单元的应变、应力Step1.几何离散——采用3节点三角形单元整体节点位移列阵p体力：重力（密度）厚度：t表面力单位体积力整体等效节点力列阵Step2.单元分析——构造单元位移函数位移函数（模式）是指单元内位移分布状态，事先并不知道，合理选择一种函数来逼近这种分布是有限元分析计算过程中关键性的一环。在实际应用中普遍采用的是多项式函数，这是因为多项式函数的数学运算（微分和积分）比较方便，而且所有光滑函数的局部都可以用多项式来逼近。关于多项式的项数和阶次，要根据单元的节点自由度数和有关解的收敛性要求来确定。对于平面问题，位移函数如下：构造位移函数：对u利用节点条件：ijm编号对应关系：

(局部整体)先采用局部编号，最后换成整体A:三角形面积同理可得：因此：N—单元形状函数矩阵

qe—单元节点位移矩阵应变矩阵Step2.单元分析——应变常应变平面应力：Step2.单元分析——应力应力矩阵平面应变：用平面应变弹性矩阵代入得到类似结果。常应力单元单元应变能：Step3.单元分析——单元势能单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元等效节点力列阵单元外力功：扩充叠加扩充叠加Step4.单元集成——系统势能构建的泛函总位能为关于单元刚度矩阵的扩充叠加mijmij单元编号

m<i<j关于单元等效节点载荷列阵的扩充叠加mij单元编号

m<i<jStep5.变分处理Step6:处理位移边界条件并求解Step7:计算每个单元的应变及应力关于三角形单元3节点三角形单元是常应变（常应力）单元。在应变梯度较大的部位（亦即应力梯度较大的部位），单元划分应适当密集，否则不能反映真实的应变变化而导致较大的误差。提高计算精度的其它措施采用高精度三角形单元（2次单元、3次单元…）采用四边形单元（1次单元、2次单元…）作业1：板宽孔边应力集中问题通过数值方法研究不同板宽下孔边集中问题，与弹性力学解析解进行比较。定义一个描述板宽与孔径的相对尺度的系数，如变化板宽度，相应变化相对系数，进行数值求解基于ANSYS进行参数化处理定义应力集中系数研究相对系数与应力集中系数的关系，给出图表对比不同网格密度下结果已知平面矩形结构，边长为1，E=2，t=1，NU=0.3,约束及外载形式如图所示。假定划分为两个单元。作业2：利用matlab编制三角形单元程序，计算下图中的单元及整体刚度矩阵，位移等理论解：3000粗糙网格：2721细密网格：29824节点四边形单元构造位移函数：对u,v分别利用节点条件：对于一般四边形，逆矩阵的表达式比较复杂。N—单元形状函数矩阵

qe—单元节点位移矩阵特例：4节点矩形单元矩形单元的重心坐标假定采用无量纲坐标单元4个节点的几何位置则单元的形函数可写为：单元的应变场表达为：应变矩阵为：单元应力场矩阵为：单元势能为：单元刚度矩阵为：其中t为平面的厚度其中分块矩阵为单刚为单元节点载荷矩阵为具体表达式为由单元的位移表达式可知，4节点矩形单元的位移在x，y方向呈线性变化，所以称为双线性位移模式，正因为在单元的边界x=±a和y=±b上，位移是按线性变化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元的位移模式是完备(completeness)和协调(compatibility)的，它的应变和应力为一次线性变化，因而比3节点常应变单元精度。对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对于矩形单元，相应的计算要简单的多。矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合使用。更为一般的方法是通过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（包括高次曲边四边形单元）。考虑一细长悬臂梁，研究三种单元（梁、平面三角形、平面四边形单元）的性能。北京石油化工学院不同单元类型的对比，比较关键点的挠度不同网格密度的对比，比较关键点的挠度如果改变梁长度，使其长高比小于10编程作业：分别编制3节点三角形单元和4节点矩形单元的MATLAB计算。单元刚度矩阵的特点对称：1D:2D:3D:弹性矩阵D的对称性决定奇异：经行变换出现零行或列变换出现零列主元恒正：位移和作