海文考研高数上第一讲函数极限与连续

1.本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的性质，又要能正确的求出各种极限。一、重要内容第一讲函数、极限与连续极限性质：唯一性求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有：（1）利用极限四则运算法则及函数的连续性极限四则运算法则函数的连续性一切初等函数在其定义区间内连续。（2）利用两个重要极限，两个重要极限即（3）利用洛比达法则及泰勒公式求未定式的极限；罗比达法则：七种未定式极限罗比达法则：具有皮亚诺余项的马克劳林公式：设f(x)在U(0)内有n阶导数，则常用二阶马克劳林公式：牢记几个函数展开式：（4）利用等价无穷小代换（常会使运算简化）无穷小比较：～等价无穷小性质牢记几组公式：～～～～～～～～～～～～～～～要灵活地记，要记本质！等价无穷小替换定理注1：在求极限过程中，当一个无穷小量与整个函数相乘（除）时，这个无穷小量一定可以用其等价无穷小替换。注2：在求极限过程中，当一个无穷小量与局部函数相乘（除）时，或这个无穷小与函数相加（减）时，这个无穷小量不能用其等价无穷小替换。（5）夹逼定理：注1夹逼定理的条件1中的“<”可以换成“<=”.注2夹逼定理的条件2中的两个极限，任意一个可以是常数函数的极限。注3夹逼定理的特殊情况是数列极限形式。（6）先证明数列极限存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”准则）,再利用关系式求出极限.（7）利用定积分求某些和式极限（8）利用导数定义（9）利用级数的收敛性证明数列的极限为零.（数一、数三）这里需要指出的是题型与方法并不具有确定关系，一种题型可以有几种方法计算法，一种方法也可以用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。

2.由于函数连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数间断点类型等问题本质上仍然是求极限，因此这部分也是重点。

3.在函数这一部分内，重点是复合函数分段函数以及函数记号运算。通过历年试卷归类分析，本章常见典型题型有：（1）直接计算函数的极限值，或给定函数的极限值，求函数表达式中的常数；（2）讨论函数的连续性、判断间断点的类型；（3）无穷小比较；（4）讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；（5）求分段函数的复合函数.最后，讲一讲这一章重要的四个定理以及推论。（I）有界性定理（II）零点定理：推论：（III）最值定理：成立。（IV）介值定理：题型一、函数及相关性质二、常见的典型例题题型二、求极限例1.9(A)存在等于0;(B)存在但不一定等于0;(C)一定不存在;(D)不一定存在。例1.10例1.11例1.12求极限例1.13求极限例1.14设例1.15求例1.16(A)无穷小量;(B)无穷大量;(C)有界量非无穷小量;(D)无界但非无穷大量。例1.17设(A)(B)(C)(D)例1.18(A)1;(B)2;(C)3;(D)4例1.19～～例1.20例1.21下列各式中正确的是（）(A)(B)(C)(D)例1.22题型三函数的连续性问题(A)充分条件，但不是必要条件;(B)必要条件，但不是充分条件；(C)充分必要条件;(D)既不是充分条件，也不是必要条件。例1.23在点连续是在点连续的（）(A)0;(B)1；(C);(D)。例1.24函数上的第一类间断点是x=()在(A)不存在间断点;(B)存在间断间；(C)存在间断点;(D)存在间断点。例1.25设函数讨论函数的间断点，其结论为（）例1.26设函数则函数的间断点为例1.27设函数在处连续，则例1.28设函数在内有定义，且则（）(A)必是的第一类间断点;(B)必是的第二类间断点;(C)必是的连续点;(D)在的连续性与a的取值有关。例1.29设函数在内