流体力学课件-

C.H.5粘性流体动力学

5.1应力分析

1.应力与理想流体一样，考虑粘性后，流体所承受的力也可归结为两类：即质量力与表面力。我们称单位面积上的表面力为应力，用表示，为该面的外法线方向。一般说来，可分解为法向应力与切向应力，即：对于理想流体因无摩擦存在，切应力为零，只存在法应力，且总是指向内法线方向，即。而考虑粘性后，不再为零。在直角坐标系中，来研究分别作用于垂直于x,y,z轴各平面上的应力。

设为作用于正方向上的表面力(yz平面，左边流体作用于x面上的力)，在x,y,z方向的投影为：同理可作出y,z面上的表面力在x,y,z方向的投影：法向应力：切向应力：二阶应力张量：yzxo

2.应力的性质

1)切应力之间具有对称性，即：

2)某点的应力不仅与该点的位置、作用的时间有关，而且与作用面的方向有关。即同一点取不同的面，是不同的。但可以证明，任意三个相互垂直的表面力的法向应力之和相等，即三个主应力值之和与作用面的方向无关，因此，仅是作用点的坐标和时间函数。把主应力的算术平均值定义为粘性流体的压力，即：

上式的负号是由于规定法向应力以拉力为正，压力为负.

3)应力张量与变形速度的关系

考虑粘性后，引入6个未知项，为使方程组封闭，在一定的假设下建立应力张量与变形速度间的关系：若流体不可压：，上式可简化为：对于理想流体，

4)关于粘性系数当时，理想流体;关于的项是由于考虑了粘性而引起的，称为粘性系数。在水平方向（x方向）以力F拉面积为A的板，板的速度为U，在速度不大和板矩h都很小的情况下，试验证明下式成立：取极限时有：

称作牛顿切应力公式或牛顿定律，满足上式牛顿流体；不满足上式非牛顿流体。粘性系数是反应流体粘性大小的一种度量，它的大小与流体的种类有关，而且随温度与压强而变。的量纲可据牛顿切应力公式导出

N·s/m2=牛顿·秒/平方米,动力学粘性系数

;m2/s=平方米/秒,运动学粘性系数当温度T=15时，水和空气的年性系数分别为：

5)粘性流体压力与理想流体压力之间区别对于理想流体，不存在切向应力。两个特性:①理想流体压力P的大小与它的作用面无关，即：②理想流体的压力就是作用在物体表面上沿内法线方向上的单位面积上的表面应力，即：对于粘性流体，存在切应力，特性:

①作用于物体表面沿法线方向的表面压力是法向应力，而不是粘性流体压力P。②不仅与点的位置、时间有关，而且与作用面的方向有关

③定义粘性流体的压力P为三个主应力的算术平均值，即：

5.2Naiver-Stokes方程

1.粘性流体的运动方程BACEDFHGzyxdxdzdyD’1)表面力：作用于六面体上的表面力在x,y,z方向的分量为：2)质量力：单位质量流体所受质量力：据牛顿第二定律，便可写出粘性流体的运动方程如下：

把应力和变形速度之间的关系代入粘性流体的运动方程中，得到Ｎ－Ｓ方程Naiver-Stokes运动方程

若流体不可压，则上式可简化成：未知数共有五个，方程只有四个,方程组不封闭，但对于均质不可压流体或正压流体,方程组封闭不可压流体在直角坐标系中的运动方程及应力关系总结为：

5.3N-S方程的几个解析解

均质不可压或正压流体，N-S方程与连续方程构成了一完整方程组。给出定解条件便可进行求解。但由于该方程组是一个二阶非线性偏微分方程组，求解困难。

理想均质不可压或正压流体的欧拉方程中也存在非线性项，但部分实际问题可以看作是无旋，于是问题归结为求解势函数满足的拉氏方程。

粘性流体，运动有旋，必须去解原始的二阶偏微分方程组。数学家们还没有提供求解非线性偏微分方程的普遍有效方法，就是对于粘性不可压均质流体方程组解的存在性与唯一性问题迄今还没有全面解决，这是对于某些简单情形才得到证明。所以为求出N-S方程的解。我们不得不据力学考虑，作一些近似或假定，对方程组进行简化，以便找出一定准确度的解。一是找准确解:对于简单问题，忽略非线性项，方程组简化，求方程的解析解。二是求近似解：据问题的特点，抓大放小，得到近似方程，然后求解，具体处理上还可分两种情况:（1）小Re情形：（2）大Re情形：

(3)中等Re情形：惯性力与粘性力同样重要，数值解。忽略惯性力，方程线性化；忽略粘性力，理想流体处理；

1定常单一方向的层流运动(a)两平板内的流动(TheplaneCouette-Poiseuilleflow)问题：均质不可压流体在两足够长、宽的平行平板之间作定常层流流动，两平板相距为h，假定：上板与均匀U沿x方向运动，下板静止，求板内流体速度分布。xyzoUh1)分析：（1）平板沿z方向足够宽，沿x方向足够长，以致平面两侧及两端边界的影响可忽略;(2)定常层流，故有：(3)均质不可压，(4)流体是由于上板带动而引起的单一方向层流，

2)基本方程与边界条件边界条件：y=0,u=0,y=h,u=U

3)求解：

4)讨论：(1)若，即压强在x方向无变化，这时速度分布为该运动可看作是由于上平板运动由于粘性而引起的，显然，若U=0，则u=0，即流体静止。这种流动就叫作PlaneCouetteFlow.(2)若上下两平板都不同，而，流动由方向压强差而引起，流速分布为：这种流动就叫作PlanePoiseuilleFlow.(3)上板运动及在x方向有压强差，这种流动叫作ThePlaneCouette-PossuilleFlow.

(b)椭圆截面管中的定常层流取椭圆柱轴为x轴，均质不可压流体沿x方向作定常层流运动，椭圆管的流线方程为：xoczyb1)分析(1)设管子足够长，以致管两端的影响可以忽略不计，据题意知管内流体只沿管轴方向做定常层流的直线运动;(2)流体均质不可压，(3)质量力为重力，2)基本方程与边界条件边界条件：3)求解

4)讨论（1）在椭圆管中心处，y=0，z=0，流速最大，即：（2）求椭圆截面上的平均流速：（3）单位时间的体积流量：（4）若b=c=R即把问题化为圆截面管子的流动问题（5）若,简化为两平行平板相隔2c内的层流（6）若取，取椭圆管与圆管具有相同的截面积，现来研究一下在单位时间内通过这两种管子截面的体积流量。

即尽管椭圆管与圆管截面面积相同，但其流量要小于同样截面积的圆管。2.柱、球坐标中的N-S方程及应力形式在一些工程问题中，例讨论园管中的流动，球的运动，往往采用柱坐标及球坐标会更加方便，下面我们不加推导的给出不可压流体在柱坐标、球坐标中的N-S方程及应力表达式。

1)柱坐标(),()球坐标（），（）

应力表示：

3.圆管的定常层流设有一很长的圆管，其半径为R，内有均质不可压缩粘性流体沿管道作定常层流运动，讨论这种流动的特征：分析：

1)由于设管子很长，则管两端的影响可以不予考虑，另外据题意可知管内流体只沿管轴方向做定常直线运动。

2)取柱坐标，则由于管子边界对于管轴对称，故管内流动为轴对称流动。以数学上描述这两个特征，便是：3)因为质量力即重力只是在方向，在z方向无分量，即：4)管子截面均匀，则连续方程为：

N-S方程可简写成：

求解：因为当r=R,;所以讨论：显然,①当r=0，即在管轴速度最大，即：②平均流速（通过截面）③在单位时间通过管中任一截面的体积流量为：④切应力4.两同轴旋转圆柱间的定常流动问题：在一半径为的空心圆柱面内有一半径为的同轴圆柱，两柱面间充满均质不可压缩粘性流体，内外圆柱分别以沿逆时针方向旋转，试求流体的速度分布以及内柱面上的摩擦力。分析：该流场具有下列特征：（1）因圆柱足够长，故可忽略两端影响，可看作是平面流动;（2）边界条件对柱轴对称，故可化为流场对称与柱轴，且流体只是绕柱轴流动。据以上分析的流动特性，取柱坐标系最方便，柱轴为z轴，在此坐标系中，有：(3)因运动定常，且不考虑重力，则有：N-S方程及边界条件可写成：

求解利用边界条件，可确定出：求得，便可用N-S方程中的第一式确定压强分布。讨论边界条件①若，即内外两圆柱以同一角速度旋转，则待运动稳定后，便有：②若，即外圆柱静止，这时便有:③若，即内圆柱静止，这时便有④若且,,即相当于圆柱在无界空间中的旋转，这时：⑤内圆柱面单位面积上的摩擦力作用于单位时间长度柱面上的摩擦力5.4小雷诺流动的近似解

求N-S方程的近似解，其基本思路：根据问题的物理特点，抓住主要而忽略某些次要因素，从而对方程组进行简化，可得到N-S方程的近似方程，在某些情况下，可求出该近似方程的解析解。这种方法叫作求N-S方程的近似方程。这方法在解决实际问题时被大量采用且证明是行之有效的。在具体处理是，常分为两种情况：一是小雷诺数情形，雷诺数为惯性力与粘性力之比，即：当Re很小时，即惯性力比粘性力要小得多;可以全部或部分忽略惯性力得到简化了的线性方程，从而求其解。

二是大雷诺数，即Re>>1此时粘性力比惯性力要小得多，于是，我们可在区域的绝大部分（除靠近边界的一薄层流体之外）忽略粘性，作为理想流体处理，从而使问题简化。对于中等Re问题，惯性力与粘性力都得保留，此时常常采用数值计算方法求N-S方程的数值解。1.方程组的简化在不可压缩流体的N-S方程中（若忽略质量力）有三种力，即惯性力，压强梯度力与粘性力，Re小则意味着惯性力与粘性力相比是个小量，也即在具体问题中粘性力对流动起主导作用，而惯性力是次要因素，作为零级近似，可以将惯性力全部略去，即N-S方程可简化为：这是一个线性方程，它是小雷诺数时作为零级近似的N-S方程，下面以圆球在无界空间中的极慢运动为例来说明对于小Re问题该如何具体求解。2.圆球绕流问题:有一个半径为a的圆球，在静止的无界粘性均质不可压缩流体中以低速度U作等速直线运动，求由于球的运动而引起的流体的速度分布，压力分布以及圆球所受阻力。分析：据相对性原理，上述问题等价于在无穷远处速度为U的粘性均质不可压流体绕固定圆球的定常流动（无分离绕流）因为假定U极小，球的半径也小，而流体的粘性较大，从而雷诺数Re相对小，故可忽略N-S方程中的惯性力，另外假定不考虑质量力。若取球坐标系（），坐标原点取在球心。显然，流场对称于轴，且已知运动定常，用数学语言描述就是：基本方程与边界条件在圆球上r=0上

在无穷远处：

求解：用试解法求解N-S方程，据边界条件，可令试解为：边界条件可变为：

其中最后可得小球极慢运动的解为：

讨论：求圆球所受阻力:作用在圆球上的应力为，它的三个分量为：因为整个流动对称于Z轴，所以在Z轴垂直方向的合力必为零，作用在圆球上的力全部沿Z轴，此合力为阻力可按下式算出量值：

Stokes阻力公式

5.5柯氏力场中的粘性流体运动前几节讨论都是在绝对固定坐标系下的运动，即在惯性坐标系中的运动。但实际问题，随地球一起运动的非惯性坐标系。把在绝对坐标系(惯性坐标系)中的N-S方程推广到非惯性坐标系中，然后举例来说明如何应用及求解费惯性坐标系中的N-S方程。惯性坐标系：o-xyz；z:地轴，0:地心；x、y轴落在赤道平面;

非惯性坐标系：o’-x’y’z’；o’:平均海平面；x’:沿纬圈，向东为正；y’:沿经圈，向北为正；z’:自地心经o’铅直向上为正。地球自转角速度经一系列演算，可得非惯性坐标系中不可压缩流体的N-S方程：柯氏参数；一般说来海洋中水平尺度远大于垂向尺度：可证明相对于方程中其它项至少是高一阶小量，可略去。y0xX′’z′