流体力学D课件第四章

为什么要学习量纲分析与相似原理？流体力学基本方程理论方法实际问题纯理论、局限性实验方法例：实际流体伯努利方程中的水头损失流体力学实验设计量纲分析相似原理例：选择合适的变量进行考察

例：水闸、水坝的模型实验互相补充4量纲分析与相似原理(4-1)SI制中的基本量纲：4.1量纲与物理方程的量纲齐次性1.物理量的量纲（何为量纲？）导出量纲：用基本量纲的幂次表示。dim

m=

M

,

dim

l=L

,

dim

t=T物理量大小类别导出量纲工程单位制国际单位制英

制单位制量纲基本量纲量纲幂次式4量纲分析与相似原理应变率

角速度，角加速度

其他量粘度，运动粘度压强，应力，弹性模量力，力矩密度，重度体积流量，质量流量

速度，加速度

常用量

4量纲与物理方程的量纲齐次性(4-1)常见的无量纲数：应变，相对体积变化量能量，功，热动量，动量矩惯性矩，惯性积4量纲与物理方程的量纲齐次性(4-1)在研究一个物理过程时，通常把该问题涉及到的物理量有选择的进行组合，有些组合量的量纲为一，也称无量纲数。2.量纲一的量（无量纲数）无量纲数的特点：量纲幂次式中的指数为零；无单位；量值与所采用的单位制无关。

——由以上可初步看出，无量纲数是更反映物理过程内在本质的量。同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。3.量纲齐次性原理如：理想流体的伯努利方程4量纲与物理方程的量纲齐次性(4-1)沿流线欧拉运动微分方程管内不同截面处的速度关系可由连续性方程建立忽略重力的伯努利方程4.物理方程的无量纲化（沿流线）（沿流线）将其进行无量纲化•

在直圆管流动中代入无量纲化的伯努利方程•

以上结果对任何来流速度，任何大小的圆管都适用。4量纲与物理方程的量纲齐次性(4-1)

——理想流体沿变直径的圆管作恒定流动时，任一截面上的压强系数仅由该处的无量纲管径决定。4.2量纲分析与П定理量纲分析的要点：一个方程中各项的量纲必须齐次；

一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以按量纲齐次性原理作分析。

量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。

4量纲分析与П定理(4-2)4.2.0瑞利法示例：课本例题4-1、4-2x1=φ(x

2，x3,……,xn)

П1=f(П2,П3,……,Пn-r

)

提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是布金汉（E.Buckingham,1914):4.2.1П定理Π定理方

法内容n个物理量r个独立基本量n-r个导出量选r个独立基本量组成n-r个独立Π数量纲分析法4量纲分析与П定理(4-2)4.2.2量纲分析法一般步骤：以球体绕流为例第1步、列举所有相关的物理量。第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为 重复量，取3个）。

第3步、将其余的物理量作为导出量，分别与基本量的幂次式 组成П表达式。阻力密度速度直径粘度系数选ρ

、V

、d导出量即

、μ

4量纲分析与П定理(4-2)第4步、用量纲幂次式求解每个П表达式中的指数，组成П数。

解得

a1=-1,b1=-2,c1=-2（CD

称为阻力系数）4量纲分析与П定理(4-2)解得:a2=-1,b2=-1,c2=-1

（Re为雷诺数）第5步、用П数组成新的方程。П1=f(П2)

4量纲分析与П定理(4-2)量纲分析优点FDFDFDVdFD4量纲分析与П定理(4-2)

不可压缩牛顿粘性流体在内壁光滑的直圆管中作定常流动，分析压强降低与相关物理量的关系。

[例4.2.1]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤

解：1．列举物理量。Δp，V，d，ρ，μ，l，共6个2．选择基本量：ρ、V、d

3．列П表达式求解П数①П1=ρa

Vbd

cΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–2)[例4.2.1]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤解得：

a=-1,b=-2,c=0（欧拉数）②

П2

=ρabbccμ

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–1)

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–2)[例4.2.1]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤

解得：a=b=c=-1

(雷诺数)M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–1)

④

П3=ρa

Vbd

cl

(同上)

（几何比数）

[例4.2.1]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤

4．列П数方程即或欧拉数雷诺数几何比数不可压缩流体在重力作用下从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。[例4.2.2]三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较2．选择基本量：ρ、g、h

3．列П表达式求解П数解：1．列举物理量。Q,ρ，g，h

，

共5个①

M0L0T0=(ML–3)a(LT–2)bLc(L3T–1)

[例4.2.2]三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较解得：a=0,b=-1/2,c=-5/24．列П数方程П1=f(П2)

②（弧度，无量纲）[例4.2.2]三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较或讨论：①结果表明Q与ρ无关，与h成5/2次方关系。与第三章中例12所得的解析式一致，解析式为②对一孔口角已确定的三角堰，(c)式已明确地表达了Q与h的理论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。

由实验确定(c)

4.3流动相似与相似准则几何相似同类现象相似现象4.3.1流动相似性流动相似形状相似尺度成比例遵循同一方程物理量成比例尺度成比例时间成比例速度成比例力成比例几何相似时间相似运动相似动力相似4.3流动相似与相似准则4.3.2相似准则矩形相似称为无量纲边长，h为特征长度。的数值代表所有相似矩形的特征（长宽比），称为相似准则数。数相等的矩形相似。4.3流动相似与相似准则流动相似（以机翼绕流为例）当F为粘性力，

为粘性流动动力相似准则数以惯性力为特征力1)几何相似准则数：2)

运动相似准则数：以

为特征速度3)

动力相似准则数：当F为重力，

为重力流动动力相似准则数4.3流动相似与相似准则以b

为特征长度4.3.3相似准则数的确定1.量纲分析法对不可压缩粘性流体的流动：ρ，V，l，μ，g，Δp

雷诺数

优点：适用未知物理方程的流动。缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。4.3流动相似与相似准则欧拉数

几何比数

2.物理法则分析法

根据物理法则或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用这些力的量级比值构成相似准则数。与流体元尺度相应的特征物理量

l与流体元速度相应的特征速度

V与流体元质量相应的特征质量

与流体元粘性相应的粘度

与流体元压强相应的压强差

4.3流动相似与相似准则迁移惯性力粘性力重力4.3流动相似与相似准则迁移惯性力压差力优点：导出的相似准则数物理意义明确；缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。适用于未知物理方程的流动。4.3流动相似与相似准则气体高速运动时的压缩性可用体积弹性模量K表示；在毛细管液面上的表面张力用表面张力σ表示。[例4.3.1]用物理法则确定Ma数和We数(2-1)马赫数Ma定义为试用物理法则法确定（1）马赫数Ma（惯性力与压缩力的量级比值）（2）韦伯数We（惯性力与表面张力的量级比值）压缩力＝解：因

按物理法则法

[例4.3.1]用物理法则确定Ma数和We数(2-2)表面张力=。韦伯数定义为4.3.4常用的相似准则数1.Re

数(雷诺数)

低雷诺数粘性流动平板边界层外流速度距前缘距离钝体绕流

来流速度截面宽度圆管流动

平均流速管直径

V

l区分管内粘性流动层流与湍流态边界层外无粘流边界层内以

为界区分层流与湍流态4.3流动相似与相似准则2.Fr

数(弗劳德数)明渠流

平均流速水深水面船舶

船舶速度船长

V

l

Fr

数是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。4.3流动相似与相似准则3.

Eu

数(欧拉数)p可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压强差；V为特征速度，ρ为流体密度。在描述压强差时，Eu数常称为压强系数当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强

pv

时，Eu

数又称为空泡数或空蚀系数

4.3流动相似与相似准则4．Ma数（马赫数）

Ma=V/c

V

为特征速度，c为当地声速。

Ma

数表示了惯性力与压缩力之量级比，主要用于高速气流，当0.3<Ma<1时气体的速度小于声速（亚声速），Ma=1时气体速度等于声速（跨声速），Ma>1时气体速度大于声速(超声速）。

5．We

数（韦伯数）

σ为液体的表面张力。

4.3流动相似与相似准则6．Ne

数（牛顿数）

F为外力，Ne

数表示外力与流体惯性力之量级比，用于描述运动物体在流体中产生的阻力、升力、力矩和（动力机械的）功率等等影响。当F

为阻力FD时，Ne

数称为阻力系数

We数表示惯性力与表面张力之量级比，研究气液，液液及液固交界面上的表面张力作用。

4.3流动相似与相似准则什么是模型实验？

4.4模型实验与相似原理4.4.1模型实验

模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发生的现象被称为原型现象。模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质。只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。2．为什么要进行模型实验？

直接对原型做实验既不经济又不方便

，在生产设计过程中也需要模型实验

。4.4模型实验与相似原理

并不是所有的流动现象都需要做模型实验。能做理论分析或数值模拟的流动现象都不必做大量的模拟实验。

并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。

4.4.2相似原理

Π定理指出，描述原型流动现象的方程可化为若干个独立的Π数的方程Π1=f(Π2,Π3,……Πn

)也适用于相似的模型现象（下标m）

Π1m=f(Π2m,Π3m,……Πnm

)4.4模型实验与相似原理这就是模型实验的相似原理.(4.4.1)式称为相似条件，(4.4.2)式称为相似结果。

在相似条件中找出支配流动现象的主要条件，该条件中的Π数是由支配流动现象的主要物理法则导出的相似准则数，称为主相似准则数，或简称为主Π数。在几何相似的条件下，保证模型和原型现象中的主Π数相等，就能保证模型和原型现象相似，并使除主Π数外的其他相关Π数也相等。

当

Π2m=Π2，Π3m=Π3，……，Πnm=Πn

(4.4.1)

Π1=Π1m

(4.4.2)得4.4模型实验与相似原理一块长×宽=l×h

的光滑矩形板，迎面在粘度为μ的流体中以速度

V作匀速运动，如图示。用按一定比例缩小的模型作模型实验，并测量其运动阻力

FDm。[例4.4.1]矩形板绕流阻力：相似原理试讨论模型与原型相似的条件和结果。解：设矩形板绕流阻力FD=f(ρ,μ,V,l,h)以ρ，V，h为基本量，Π数方程为式中

为主Π数

.(a)

式既适用于原型也适用于模型，在模型中(a)根据相似原理，为保证模型和原型的流动相似，必须满足相似条件

[例4.4.1]矩形板绕流阻力：相似原理其中(d)式称为几何相似条件，当比例尺确定后，矩形的长和宽按比例缩小。(c)式称为动力相似条件，当选择实验流体的密度和粘度分别为ρm

和μm

后，由(c)式确定速度条件Vm

：

(c)和(d)(e)在模型实验中测得模型的阻力为FDm

，由(f)式计算原型的阻力为[例4.4.1]