实数指数幂及其运算设计

实数指数幂及其运算教学设计【教学目标】主要让学生理解1、n次方根及n次根式的概念；掌握n次根式的性质，并能运用它进行化简，求值。2、分数指数幂的概念；掌握指数幂的运算性质；掌握根式与分数指数幂的互化；新课中通过对有理数指数幂的运算性质进行类比，归纳实数指数幂的运算性质.培养学生观察、类比的能力，渗透“转化”的数学思想，培养学生的应用意识。【教学重点】1、通过对有理指数幂、实数指数幂（a>0,且，a≠1，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。【教学难点】1、指数幂的含义及根式的互化。【教学过程】国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为%，%，%。你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？为了解决类似情境中的问题，我们需要对指数运算有更多的了解.有理指数幂初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=2×2×2×2×2=32，30=一般地，an中的a称为底数，n称为指数①。整数指数幂运算的运算法则有aman=am+n，(am)n=amn，(ab)m=ambm.另外，初中我们还学习了平方根和立方根：（1）如果x2=a，则称x为a的平方根（或二次方根）：当a>0时，a有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根记为，负的平方根记为-；当a=0时，a只有一个平方根，记为；当a＜0时，a在实数范围内没有平方根。例如，=二次根式的运算法则有（2）如果x3=a，则x称为a的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数a有且只有一个立方根，记作。例如，=【尝试与发现】类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义。类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义。一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn=a，则x称为a的n次方根。①本章中，所有字母的取值范围均默认为使式子有意义的取值范围。例如，因为方程x4=81的实数解为3与-3，因此3与-3都是81的4次方根：因为25=32，而且x5=32只有一个实数解，所以32的5次方根为2根据方程xn=a解的情况不难看出：（1）0的任意正整数次方根均为0，记为.（2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为-；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义。（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为。而且正数的奇数数次方根是一个正数，负数的奇数数次方根是一个负数.当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.注意，虽然我们不知道等的精确小数形式（计算器和计算机上给出的值都是近似值），但是按照定义，我们知道的一些性质，比如等.一般地，根式具有以下性质：（1）（2）当n为奇数时，当n为偶数时，例如，【尝试与发现】你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使成为(am)n=amn的特例，成为ambm=(ab)m的特例吗？现在来将整数指数幂运算推广到分数指数幂运算，也就是给出等的定义.同以前一样，我们希望推广后，有关的运算性质仍然能保持，比如(am)n=amn在m，n都是分数时仍然成立，因此，应该满足这表示应该是5的平方跟，但是5的平方根有两个，即和-，为了方便起见，我们规定=.这样一来，尝试与发现中的问题也就解决了.一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定当没有意义时，称没有意义.例如，，，而没有意义，因为没有意义.这样一来，可以看成，也可以看成，即==对于一般的正分数，也可作类似规定，即但值得注意的是，这个式子在不是既约分数（即m，n有大于1的公约数）时可能会有歧义.例如，是有意义的，而是没有意义的。因此，以后如果没有特别说明，一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数。负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a-s=现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂）.一般情况下，当s与都是有理数时，有运算法则：aasat=as+t(as)t=ast(ab)s=asbs【典型例题】例1求证：如果a>b>0，n是大于1的自然数，那么证明假设，即或根据不等式的性质与根式的性质，得a<b或a=b.这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而利用例1的结论，可以证明（留作练习）：（1）如果a>s>0，s是正有理数，那么as>bs；（2）如果a>1，s是正有理数，那么as>1，a-s<1；（3）如果a>1，s>t>0，且s与t均为有理数，那么as>at二、实数指数幂有理数指数幂还可以推广到无理数指数幂，下面我们通过一个例子来描述其中的思想。应该怎样理解2π这个数呢【尝试与发现】根据前面的知识，猜测2根据前面的知识，猜测2π与23的相对大小，以及2π与24的相对大小不难猜出，23＜2π＜24.就像在计算圆的面积时，我们常常取π为一样，在精度要求不高的前提下，我们可以认为2π≈=因为π=...是一个无理数（即无限不循环小数），我们写不出他的精确的小数形式，但是因为＜π＜，所以＜2π＜，同样＜π＜也就是说，两个序列，，，，，...；.，，，，，...中的数，随着小数点后位数的增加，都越来越接近，从而两个序列，，，，，...；，，，，，...；中的数，随着指数的变化，也都会越来越接近一个实数，这个实数就是2π一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，我们可以用与上述类似的方法找出它的任意精度的近似值。因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义.可以证明，对任意实数s和t，类似前述有理指数释的运算法则仍然成立。【典型例题】例2计算下列各式的值：（2）例3化简下列各式：（1）（2）三、用信息技术求实数指数幂实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得.在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“⋀”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值.如下图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在