高中数学人教A版第三章函数的应用 第28课时

第28课时用二分法求方程的近似解课时目标1.理解二分法求方程近似解的原理．2．能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解．3．知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．识记强化1．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列图象中，不能用二分法求函数零点的是()答案：C解析：能否利用二分法求函数零点近似值的关键是要看包含零点的区间的端点的函数值符号是否相异，选项A，B，D中的图象都有包含零点而端点的函数值符号相异的区间，而选项C中的图象没有，故选C.2．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：xf(x)－－则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为为()A．B．C．D．答案：B解析：因为f·f<0，故根据二分法的思想知函数f(x)的零点在区间,内，但区间,的长度为>，因此需要取,的中点，两个区间,和,中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为<，因此是一个近似解，故选B.3．函数f(x)＝log3x－eq\f(3,2x)在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))答案：C解析：f(1)＝－eq\f(3,2)<0，f(3)＝eq\f(1,2)>0，f(2)＝log32－eq\f(3,4)＝log32－log33＝log3eq\f(2,\r(4,32))＝log3eq\r(4,\f(16,27))<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝log3eq\f(5,2)－eq\f(3,5)＝log3eq\f(5,2)－log33＝log3eq\f(5,2\r(5,27))>log3eq\f(5,2\r(5,32))＝log3eq\f(5,4)>0，因此，函数f(x)的零点在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))内，故选C.4．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为，则结束计算的条件是()A．|a－b|<B．|a－b|<C．|a－b|>D．|a－b|＝答案：B解析：据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．5．若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是不间断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值为()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法判断答案：D解析：如图所示．有如下情况6．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α、β是方程f(x)＝0的两根，则实数a、b、α、β的大小关系可能是()A．α＜a＜b＜βB．a＜α＜β＜bC．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b答案：A解析：f(a)＝－2，f(b)＝－2，f(α)＝f(β)＝0，f(x)的开口向上，所以a、b在α、β之间．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________．答案：(2,3)解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，故下一个含有根的区间为(2,3)．8．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x>0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)<0，则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点个数是________．答案：2解析：由已知可知，存在x0∈(1,2)，使f(x0)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x′0∈(－2，－1)，使f(x′0)＝0且x′0＝－x0.故函数的图象与x轴有2个交点．9．某方程有一无理根在区间D(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到.答案：5解析：由eq\f(3－1,2n)<得2n－1>10，即n－1≥4.∴n≥5三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？解：设闸门和指挥部所在处为A，B，首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段的中点D去查，发现BD段正常中，断定故障在CD段，再到CD段的中点E去查，这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小到50～100m左右，即一两根电线杆附近．11．(13分)用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1,内的一个零点(精确度为．解：利用二分法，f(1)＝－1<0，f＝eq\f(27,8)－eq\f(3,2)－1＝eq\f(7,8)>0，f＝eq\f(125,64)－eq\f(5,4)－1<2－eq\f(5,4)－1＝－eq\f(1,4)<0，故零点在,内，此时>；f>0，所以零点在区间,内，此时>；又f<0，所以零点在区间,内，此时<，故f(x)＝x3－x－1在区间(1,内的一个零点是x＝.能力提升12．(5分)设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内()A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根答案：C解析：∵f(x)在[－1,1]上是增函数且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，∴f(x)＝0在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上有唯一实根．∴f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实根．13．(15分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(t＋1)x＋(t－1)(a≠0)．(1)当a＝1，t＝2时，求f(x)的不动点；(2)若对任意t∈R，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1，t＝2时，由f(x)＝x得x2＋3x＋1＝x，解得x＝－1.∴f(x)的不动点为－1.(2)∵f(x)恒有两个相异