高考圆锥曲线难题集粹

22高考数学圆锥线训练22

可编辑修改已知

的顶点

在椭圆

x

2y

上，

在直线

l：yx

上，且

ABl

．（Ⅰ）当

AB

边通过坐标原点

O

时，求

AB

的长及

ABC

的面积；（Ⅱ）当

ABC90

，且斜边

的长最大时，求

AB

所在直线的方程．解Ⅰ）因为

ABl

，且

AB

边通过点

，以AB

所在直线的方程为

．设两坐标分别为

x，y)，112

y．由yx

2

，得

x

．所以

AB

22

．又因为

AB

边上的高

等于原点到直线

l

的距离．所以

h

2

，

S

△ABC

12

．（Ⅱ）设AB所直线的方程为

y

，y2，由得yx

4

2

mxm

2

．因为A椭圆上，所以

m

2

．设

B

两点坐标分别为

x，y)，112

，则

1

32

，

4

，所以

x12

2

．又因为

的长等于点

，m

到直线

l

的距离，即

．所以

ABBC

22

．所以当

m，AC边长时

）此时所在直的方程为

y

．如图椭圆

：

a0)a

的一个焦点为（1，0过点

．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若

AB

为垂直于

轴的动弦，直线

l

：

x4

与

轴交

y

A

l于点

，直线

AF

与

交于点

M

．

O

F

N

x（ⅰ）求证：点M在椭圆上；

B

M-1-

-1-

000122可编辑修改000122（ⅱ）求面积的最大．（Ⅰ）由题设

，

c

，从而

222

．所以椭圆

C

的方程为

24

．（Ⅱⅰ）由题意得

F，(4设

(，，则B(m

，

m2n24

．……①AF与的方程分别为：

n(xmy，n(4)m

．设

M(，y0

xm，②，则有n(xm，③00由②，③得x0由于

53，y．2mmxy23n00m(2m

2

yO

A

F

N

224(2mm

2

B

M

(5m4(2

2

24(2

2

．所以点

M

恒在椭圆

C

上．（ⅱ）设

的方程为

xty

，代入

24

得

t24)ty

．设

Ax，y)

，

M(x，y)

，则有：

y1

，yt2t

2

．(y)1

y2

4t3t2

．

y

A令

t

2

4)

，则

O

F

N

xy1

4

2

14

，

B

M因为4，

1

11≤，所以当，即，t时41

有最大值

，此时

过点

F

．-2-

-2-

12122271可编辑修改12122271的面积

△AMN

1y2

9有最大值．2设椭中心在坐标原点、B(0,1)它的两个顶点，直线y=kx(>0)AB相于点，与椭圆相交于E、F两点.(Ⅰ)若DF，求的；Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大。22Ⅰ）解：依题设得椭圆的程为

x

y

，直线

AB，

的方程分别为

xy

，

yk0)

．···········2分如图，设xx且

D(，x，F(kx011(12满足方程，

，其中

x

，

yB

F故

x1

21k

．①

O

D

A

xE由

DF知x，得x000

1510(6x)77

2

；由D在上知，0

．所以

21011k

，化简得

24

k

，解得

3或k．···························6（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到的距离分别为h

5

2(112)k2)

，kxh25

2(1k2)

)

．·················9又

AB

2

5

，所以四边形AEBF的面积

12

AB(h)1

12

5

k)5(1k2)

2(1)1

k2kk2

≤

-3-

-3-

1A2可编辑修改1A2当

k，即当

12

时，上式取等号．所以S的最大值为．········12分解法二：由题设，

，

．设

ykx，ykx1

，由①得

x，

，故四边形的面积

△BEF

△

x

·······················9(x)22

2

x2

22

x2

2

≤

2(x2

22

)当

x2y2

2

时，上式取等号．所以

的最大值为2．············12分已知线

C：a

b

0)

2所围成的封闭图形的面积为5线C的内切圆径为为3以曲线C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程）设是椭圆中心的任意弦，l是线段垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．（1）若

MOOA

（

O

为坐标原点当点

在椭圆

C

上运动时，求点

M

的轨迹方程；（2）若M是l与圆的交，求面积的最小值．22．解Ⅰ）由题意得

ab5，25．又

，解得

a2，2

．因此所求椭圆的标准方程为

25

．（Ⅱ）假设AB所在的线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y．AA

yk0)

，2解方程组

20得x24k

2

，

A

204k

，所以

2A

2020k2)424kk2

．-4-

-4-

221yAy2MM22222可编辑修改221yAy2MM22222设

(，y)

，由题意知

MOOA(

，所以

MO

OA，

20(14

)

，因为

l

是

AB

的垂直平分线，所以直线

l

的方程为

，即

，因此

x22

x20(x2y)x2y2

，又

x

2y

0

，所以

52y20

，故

245

．又当

k

或不存在时，上式仍然成立．综上所述，

M

的轨迹方程为

24

(

．（2）当k存在且k时，由（1）得

x

2A

204k

2

20，2，42y5420k20由解得，，155yk所以

2

y

2

20(142

)

，

ABOA

80(1242

)

，

20(125k

)

．解法一：由于

S

2△AMB

14

OM180(1)2)4k25k2

22(4k2)(5k-5-

-5-

9≥△AMB△AMBM可编辑修改9≥△AMB△AMBM≥

400(1222

2

)222

2

，当且仅当

2

时等号成立，即

k

时等号成立，此时面的最小值是

△

409

．当k，

△AMB

12

5

409

．当

k

不存在时，

△AMB

152

．综上所述，

AMB

的面积的最小值为

409

．解法二：因为

1OA

2

1

2

1

2

1)

2

)

22)

，4k

2

5k

2又

1OA

2

1OM

2

≥

2OAOM

40，，9当且仅当

42k

2

时等号成立，即

k

时等号成立，此时

面积的最小值是

△

409

．当

k

，

14052

．当不在时，

152

．综上所述，

AMB

40的面积的最小值为．95.已知抛物线

：

yx

2

，直线

ykx

交

于

两点，

M

是线段

AB

的中点过

M

作

轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数使NA

，若存在，求的值；若不存在，说明理由．解法一Ⅰ）如图，设

x11

2

)，B(2

2

2

)，把代入y2x

2

得

2

2

，由韦达定理得

1

，

x

，

y

M

Axk1，N2

k2点的坐标为，．

2B1设抛物线在点N处的切线l的程为

y

k2

x4

，

O

N1

x-6-

-6-

M2121M22M，1122212121212可编辑修改M2121M22M，1122212121212将

yx

2

代入上式得

2x

2

k48

，直线

l

与抛物线

C

相切，

2

k24

2

2

2

，．即l∥AB（Ⅱ）假设存在实数

k

，使

NB

，则

NANB

，又

是

AB

的中点，MN

11．由（Ⅰ知()(kx2)[(x)22又

2．242kx轴，y4|11()2x1

．

2

2

12

k

．28

2

2

，解得

k

．即存在

k

，使

NB

．解法二Ⅰ）如图，设

(2)，(1

)

，把

ykx

代入

yx

2

得22

．由韦达定理得

kx，x1212

．xk12

，N

点的坐标为

k2

．

y2x

2

，

，

抛物线在点

处的切线

l

的斜率为

，lAB

．（Ⅱ）假设存在实数，使NANB

．由（Ⅰ）知

kkx4848

，则kkNBxx22x44

k8

kxx2

k2x1616

-7-

-7-

x12121214122242x121212141222420k

kx4kxx416

k1()kk24216

kk1kk2164

，

16

3，24

，解得

k

．即存在

k

，使

．抛线

y

和三个点

(,、P、N(y)(y2000

，过点

M

的一条直线交抛物线于

A

、

B

两点，

、

的延长线分别交曲线

C

于

E

．

（1）证明

E、、

三点共线；

（2）如果

、

、

M

、

四点共线，问：是否存在

y

，使以线段

AB

为直径的圆与抛物线有异于

、

的交点如果存在，求

F

出的取值范围，并求出该交到直线的距离；若不存在

请说明理由．

22）证明：设

A,)、(,)12

，

x)、(,yEEFFx2则直线的方程：1x1yxxx即：112

x11因

x)在上，所以yxx000212

①x又直线方程：yxx1-8-

-8-

0xx01FF0x202可编辑修改0xx01FF0x202由

x2y1xy12

得：

xx21yx1所以

x2yyy2x10xyxxx11同理，yyx0,0xx22所以直线的方程：y

x1yxx1

y0xx1令

x得y0)]2012将①代入上式得

yy

，即

N

点在直线

EF

上所以

,N

三点共线（2）解：由已知

A、、、N

共线，所以

Ayy,(y,y)000以

AB

为直径的圆的方程：

x

2

0

y

0由

0

得

0所以

yy

（舍去

yy要使圆与抛物线有异于AB的点，则y所以存在

y使以为直径的圆与抛线有异于B的点TyTT

则

yT

，所以交点

到

AB

的距离为

T0如图矩形ABCD的条对角线相交于点

(2，边所在直线的方

程为

xy点T(AD边所在直线上．

C（I）求边在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；

N

DO

M

（III）若动圆P过N(且与矩形外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

-9-

-9-

可编辑修改解）因为

AB

边所在直线的方程为

xy

，且

AD

与

AB

垂直，所以直线

AD

的斜率为

．又因为点

线

AD

上，所以边所在直线的方程为

yx．3xy

．，（II）由解得点y=0

的坐标为

，因为矩形

ABCD

两条对角线的交点为

(2．所以

M

为矩形

外接圆的圆心．又

AM

(22(0

．从而矩形

外接圆的方程为

2y2

．（III）因为动圆P过，所以PN是该圆的半径，又因为动与圆M外切，所以

PM

，即

PM

．故点的轨迹是以M为焦点，实轴为2的曲线的左支．因为实半轴长

a

2，半焦距．所以虚半轴长

b

2

．从而动圆圆心的轨迹方程为

≤2)2

．如图，已知

F，线

lx

，

为平面上的动点，过点

作

l

的垂线，垂足为点

，且FPFQ

．l

y（Ⅰ）求动点

的轨迹

的方程；（Ⅱ过点F直线交轨迹于A，两直线l于点M．

F（1）已知

MA

，

求

的值；

O

1

x（2）求MA的小值．解法一Ⅰ）设点

(，y

，则

Q)

，由

FPFQ

得：-10-

-10

112可编辑修改112(x)()

，化简得

C:y

2

4x

．（Ⅱ）设直线

AB

的方程为：

xmym0)

．设

Ax，y)，x，y，又M

2

，联立方程组，消去xmy

得：

ymy

，

)2

，

y

yym，1yy12

Q

B

PMAAF，MBBF由2221ymm

得：，整理得：22

M

O

A

F

x

2my

，

2my

，12

2myy12

2y2y224mm

．解法二Ⅰ）由

QF

得：

FQ(PQ)

，(PQPF)()，，PQPQ．所以点P的轨迹C是抛物线，由题，轨迹的程为：

．（Ⅱ）由已知

MAAF，BF得212

．则：

MAMB

AF1BF2

．…………①过点

分别作准线

l

的垂线，垂足分别为

A

，

B

，-11-

-11

12m可编辑修改12m则有：

MAMB

AA1BB1

．…………②由①②得：1，即．BFBF2（Ⅱ）解：由解法一，MAMB

yy

M

y

M(1)y(y)y12

2M

2

2)mm4(1)4m

2

1m2

)≥2

．当且仅当

2

1m

，即

m

时等号成立，所以MAMB小值为．已知圆:

2a2b

6=1(a＞0)的离心率为,短一个端点到右焦点的距离为3.3(Ⅰ)求椭圆C方程;(Ⅱ)设直线l椭圆C交于A两点，坐标原O到直线l的距离为

32

，eq\o\ac(△,求)面积的最大.，解Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3b，求椭圆方程为，Ax，)x，（Ⅱ）设，．⊥xAB3（1）当轴时，．

x

y

．（2）当与x轴不垂直时，设直AB的方程为kx

．-12-

-12

2可编辑修改2由已知

m1

2

32

，得

m

2

34

．把

ym

代入椭圆方程，整理得

(6kmx3

，x1

6kmx23k21

，

x2

1)3k21

．

2

k2x(1k2)21

36k222

1)2

2

2

m

2

2

k

2

2

23

242

3

2

121k2

6

≤3

1226

4

．当且仅当

2

1k

，即

k

33

时等号成立．当

k

时，

3

，综上

max

．当最，△AOB面大值

S

13AB2max2

．天（本小题满分14分设椭圆

2yab

ab0)

的左、右焦点分别为

F1

是椭圆上的一点，

AF

2

F原点到直线12AF

1

的距离为

13

OF

1

．（Ⅰ）证明

a

2b

求

t，b)

使得下述命题成立：设圆

x2y

上任意点

M0

处的切线交椭圆于

Q

1

，

Q

2

两点，则

OQ

1

OQ

2

．（Ⅰ）证法一：由题设

AF

2

FFF121

，不妨设点

，其中y0

，由于点

A

在椭圆上，有

2ya2by21，abab

1

，解得

y

ba

，从而得到

b2Aa

，直线

AF

2

的方程为

y

b2

整理得-13-

-13

，222220120可编辑修改，222220120b

2

xacy

2

c

．由题设，原点

O到直线AF的距离

OF1

，即

cc4a2

2

，将

c

222代原式并化简得2

，即

b

．b2证法二：同证法一，得到点的坐标为，过点O作AF，足为，易△BC∽△F1BOOFFA1

，故

F

HO

F

由椭圆定义得

AF

，又

BO

13

，所以132aF1

，解得

F2

，而

F

a，得，即2b

．（Ⅱ）解法一：圆

xy2

上的任意点

M(，y0

处的切线方程为

xxy

．当

t，

时

x

222

上的任意点都在椭圆内此圆点A处的切线交椭圆于两个不同的点和

，因此点

y1

，

(xy222

的坐标是方程组0

①②

的解．当

y

时，由①式得

y

t0y0代入②式，得

x

2

y0

2

2

，即(2x2y2)xt2xtby20

，于是

x1

4t2t4b20，xx2000yy1

t

2

xx012yy01t2(2x21220-14-

-14

00xy可编辑修改00xy1tty20

2

t02y20

0

24b2y220

2

t

4202y20

．若

OQ，则xy121212

2202y0

t

42x202y20

3t

4

2x0

(x20y0

)

．所以，

t

bx2

y

)

．由

x0

y

20

2

，得

t

4

2t

2

．在区间，)

内此方程的解为

t

63

b

．当

y

时，必有

x0

，同理求得在区间

(0，b

内的解为

t

63

b

．另一方面，当

t

63

b

时，可推出

xyy0，从而121212

．综上所述，

t

63

b，

使得所述命题成立．、F分别是椭圆2

x

y

的左、右焦点．（Ⅰ）若第一象限内该椭圆上的一点，且

12

54

，求点的作标；（Ⅱ）设过定点

(0,2)

的直线

l

与椭圆交于同的两点

、

，且

为锐角（其中

O

为作标原点求直线l的斜率的取值范围．（Ⅰ）

a2

，

b

，

c

．∴

F(1

，

F(3,0)2

．设

(x)(x0,

．则3,,x2212

5x，又44

y

，7x4联立，解得32

，

3)2

．（Ⅱ）显然

x

不满足题设条件．可设

l

的方程为

ykx

，设

,

，

B(,y2

．联立

2(12)kx

∴

xx12

121k

2

，

x12

16k1k

2-15-

-15

2可编辑修改2由

(16k)

2

23(12)

，

k2

，得

k2

34

．①又

为锐角

cos

，∴

OAx1又∴

yy2)(kxx(121xyy2kx)11121)

12kk)1k21k

12(12)24(4)12k12

∴

14

2

．②综①②可知

2

，∴的取值范围是

33()(,22

．平面直角坐标

xOy

中，过定点

C(0，)

作直线与抛物线

x2py

（

p

）相交于

两点．（I）若点N是点C关坐标原点O的对称点，求ANB面的最小值；（II）是否存在垂直于

轴的直线

l

，使得

l

被以

为直径的圆截得的弦长恒为定值存在，求出

l

的方程；若不存在，说明理由．yC

BAON

x解法1Ⅰ）依题意，点

N

的坐标为

N

，可设

A，y，B，)12

，直线AB的方程为

ykxp，x

py

，联立得消去得y．

2

pkxp

2

．由韦达定理得

x，xxp12

2

．

y于是

S

△AMN

△

△

1px12

．

Bpx(x)12

xx2

A

Cpp2kpk2

，

O

xN-16-

-16

1112221121111可编辑修改1112221121111∴当k，(

)eq\o\ac(△,)ABNmin

p

．（Ⅱ）假设满足条件的直线

l

存在，其方程为

，设的点为与为直径的圆相交于点P，，的中点为，则

O

，

Q

点的坐标为

x，122

．

y∵

111x2)y2p22

2

，

Bp1O1ap22

，

l

O

C11OO(2)p)44pa()，

2

ON

x∴PQ(2)

2

a()

．令

a

p，得a2

，此时

p

为定值，故满足条件的直线

l

存在，其方程为

y

p2

，解法2Ⅰ）