高中数学选修2-3第二章课后习题解答

程标准数修3课后习题答第章随变及其布2．1离型机变及分布练（））能用离散型随机变量表可的值为2，3，4，5，，7，，9，11，12.（）能用离散型机变量表示可能的值为0，1，2，3，4，（）不能用离散随机变量表示说明本的目的是检验学生是否解离散型随机量的含.（3中实际值与规定值之可能的取值是在0附的实数，既不是限个值，也不是可数个.、可以举的例子很多这里给出几个例子：例某公共汽车一分钟内等车的人数；例某城市一年下雨的天数；例一位跳水运员在比赛时所得的分数例某人的手机天内接收到电话的数说明：本题希学生能观察生活中的机现象，知道哪些量是机变量，哪些机变量又是离型随机变量练（）、设该运动员一次罚得分为，是一个离散型随机变量，其分布列为XP说明：这是一两点分布的例子，投看作试验成功，没投中作试验失败通过这样的例子以使学生理解两点分是一个很常用的概率模实中大量存在虽然离散型随变量的分布列可以用析式的形式表示，但当布列中的各个率是以数值的形给出时，通常用列表方式表示分布列更为方.、抛掷一枚质地均匀硬币两次，其全部可能的结果{正正反，反正，反反}正向上次数是个离散型随机变量，1(X)反}54(XP

}

24

(X2P正

1}4

5因此X的分布

XP

10.25

列为说明：这个离型随机变量虽然简单但却是帮助学生理解随变量含义的一很好的例子.试验的全部可能的结果为{正，正反，反正，反反}随机量X的值范围为{，1，2}，对应系为正正→2正反→反→1反反→在这个例子中对应于的试验结有两个，即“正反”和反正此用随机变量不能表示随机事件{反}这明对于一个具体的随机量而言，有时不能表示所有随机事.

可以通过让学们分析下面的推理过存在的问题步固古典概型知如果把所有取值看是全体基本事件，即.根据古典概型算概率的公式有(X({1})

13

这与解答的结相矛盾原是这里的概率模型不是古概，因此上面式中的最后一个等号成立.详细解释下：虽然中含个基本事件，是出现这3个基本事件不等可能的，因此不能古典概型计算概率的公来计算事件发的概率、设抽出的5张牌中包含A牌张为X，服超几何分布，其分布为P(X)

Ci448C552

，i，，，，因此抽出的5张牌中至少3张A的率为(((X0.002说明：从52张任意取出5张，这5张牌中包含A的数X是个离散型随机变量把52张牌看成是件品，把牌A看次品，则X就为含有四件次品的件品中任意抽取件的品数，因此X服从超几何分布本题的目的是学生熟悉超几何分布型会超几何分布在不同题背景下的表现形式.当本题也可以用古典概型去决但不如直接用超几何分简单.另外，在解题中布列是用解析式表达，优点是书写简单，一了、两点分布的例子：一枚质地均匀的硬币出现正面的次数X服两点分布射击一次命中标的次数服从两点分超几何分布的子：假设某鱼池中仅鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其鲤鱼条，鲑鱼条从鱼池中任意取出条，这5条鱼包含鲑的条数服从超几何分布说明：通过让生举例子的方式，帮学生理解这两个概率模习2.1A组（））能用离散型随机变表.设能遇到的红个数为，可能的取值为0，1，，3，4，事件{＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯；事件{X＝表5个口其中有1个路口遇到灯，其他4个路口都不是红灯；事件{＝2}表示5个路口其中有2个路口遇到灯，其他3个路口都不是红灯；事件{＝3}表示5个路口其中有3个路口遇到灯，剩下2个路口都不是红灯；事件{＝4}表示5个路口其中有4个路口遇到灯，另外1个路口都不是红灯；事件{＝5}表示5个路口全部都遇到红（）能用离散型机变量表示绩不及格定义

2，绩及格X绩中4，绩良绩优

则是个离散型机变量，可能的取值，，，4，事件{X＝1}表示该同取得的成绩为不及格；件{X＝2}表该同学取得的成绩为及格事{＝3}表该同学得的成绩为中；事{＝4}表该同学取得的成绩为；事件{X＝5}表示该同学取得的成绩为优说明本是考查学生是否理解离型随机变量的义（中需要学生建立一个对应关，因为随机变量的取一定是实数，但这个对关系不是唯一，只要是从五个级到实数的意义映射可某同学跑1km所时间X不是一离散型随机变量如果我们只关心该同学是否能够取得秀成绩，可以定义如的随机变量：1km用的4min的时4min它是离散型随变量，且仅取两个值：或事件{Y表示该同学跑所时间小于等于能够取得优秀成绩事件{0}表该同学跑1km所时间大于min，不够取得优秀成绩说明：考查学在一个随机现象中能根据关心的问题不同定不同的随机变量，以简化问的解答.可与教科书电灯泡的寿命的例子比，基本思想是一致的、般不能.比如掷一质地均匀的硬币两次，用机量X表出现正面的次数能用随机量X表示随机事件{1次现正面且第2次出现面}和{次现反面且第2次出现正面}因{X＝1}＝{次现正面且第2次出现反面}{1次出现反面第2次现正面}这两事件不能分别随机变量表示说明：一个随变量是与一个事件域对应的，一个事件域一是由部分事件成，但要满足定的条件对散型随机变量，如它取某个值是由几个机变量组成，则这几随机事件就不能用随变量表示，比如从一批品中依次取出个产品用表示取出的产品中次品的个数时我们不能用X表示随机事件{i取出次品，其均为合格品}

次、不正确，因为取所值的概率和不等于1.说明：考查学对分布列的两个条件理解，每个概率不小于0，其等于，即（）p，i1,2,in（）ii

,n；、射击成绩优秀可以事{≥8}表，因此射击优秀的概率P{X≥8}(X

8)((X10)0.28说明：本题知点是用随机变量表示机事件，并通过分布列算随机事件的率.、用X表示该班被选中的人数，则服从超几何布，其分布列为

P(X)

Ci10426C1030

，i1，，，4.该班恰有2名学被选到的概率为(

C2426C1030

4!2!2!8!30!20!

190609说明：本题与页练习的题似，希望生在不同背景下能看超几何分布模型习2.1B（）随机抽出的3篇课文中该学

X2能背诵的篇数为X，X是一个离散型随机变，它可能的取值为0，，，，且X服从超几何分布，分布列为即X01211P30106

P

C0CC2C06466C3C3C3C31010（）该同学能及表示他能背出或篇故他能及的概率为1(X2)(X(.2说明：本题是了让学生熟悉超几何布模型，并能用该模型决实际问、用X表示所购买彩票与选出的个本号码相同的号的个数，则服从超几何分布，分布列为P(X至少中三等奖概率为

CiC729C736

，i，，，3，4，5，6，7.P(X5)

C521C77297290.001C7C7C73636说明：与上题似同样是用超几何分解决实际问题，从此题结算结果可以出至少中三等的概率近似为1／2．2二分及其用练（）、设第次抽到A的事件为B，第次抽到A的事件为C，第1次第次都抽到A的事件.解法：在第1次到A的条件下，扑克牌中仅剩51张，其中有张A，所以在第次到A的条件下第次抽到A的概率为

5210052100P()

351

解法：在第次到A的条件下2次抽到A的率()

n()3.n()451解法：在第次到A的条件下2次抽到A的率4()(C).()45152说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概，即分析在第次抽到A的件下第2次取一张牌的随机试验的所可结果，利用古典概型计算率的公式直接到结果解法2实际上是在原的本事件范围内通过事件的数来计算条件概率.第种法是利用条件概率的定义计.这里可以让生体会从不同角度求条件概率的特点、设第1次出次品的时为，第次出正品的事件为C，则第1次出次品且第次出正品的事件为BC解法在次抽出次品的条件剩下的99件品中有件次品所以在第次出次品的条件下第2次出正品概率为P(B

9599

解法：在第次出次品条件下第次出正品的概率为()

n()95n()599解法：在第次出次品条件下第次出正品的概率为5(BC)95C)()99100

说明：与上题似，可以用不同方法算条件概率例1箱中张券中只有1张能中奖现分别由3人无放回地任意抽取在已知第一个人到奖券的条件下，第个人抽到奖券的概率或三个人抽到奖的概率，均为条概率，它们都是例某班有45名同学，其20名生，名女生依次从全班同学中任选两名同学代班级参加知识竞赛，第名同学是女生的条件，第名同学也是女生的概说明：这样的子很多，学生举例的程可以帮助学生理解条概率的含练习（）、利用古典概型计算公式，可以求得()0.5，()0.5，)0.5，(AB)，()，(AC，

可以验证(AB)(A()，P()(B)P()，P(AC)()C).所以根据事件互独立的定义，有事与B相独立，事件与C相独立，事件与相独立.说明本题中事与相独立比较显然因为抛掷的两枚硬币之间是互不影响的但事件与C相互独立件与相互独立不显然要利用义验证从该习题可以看，事件之间是否独立时根据实际含义就可做判断，但有时根据实际含义是能判断，需要用独立的定义判断）先摸出个白球不放回条下，口袋中剩下3个，其中仅有1个球，所以在先出个球不放的条件下，再摸出个球的概率／3.（）先摸出个球后放回的件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先出个球后放的条件下，再摸出个球的概率／2.说明：此题的的是希望学生体会有回摸球与无放回摸球的别有放回摸球中第2次到白球的概率不第次摸球结果的影响，而在无放回摸球中第2次摸到白球的概受第1次摸球果的影响、设在元旦期间甲地雨的事件为A，乙地降雨的事件B.（）甲、乙两地降雨的事件为，以甲、乙两地都降雨的率为(AB)()()0.3（）甲、乙两地不降雨的事件为，以甲、乙地都不降雨的概率为P)(A)()（）其中至少一地方降雨的事件为(AB)())

，由于事件，和两互斥，据概率加法公式和相互立件的定义，其中至少个地方降雨的概率为ABAB)0.06.说明：与例3类，利用事件独立性和概率的性质计算事的率，需要学生复习《数学（必修学过的概率性质、因为AB)(AB)

，而事件AB与事件AB互斥，利用概率的性得到A))AB所以P)(A)(

又因为事件A与B相独立故P()()(B)()(1B(AP(B)由两个事件相独立的定义知与相互独立.

类似可证明A与，与B也是相互独立的说明：证明此要求学生掌握概率的质此题的结论是十分有用的，也是比较好理解的，比事件与B发没有关系，当然与不生也应该没有关系、例1同时掷甲乙两枚骰子，事件A表示甲骰子出现的是点，事件B表示乙骰子出现是点则事件A与事件相独立例从装有5个球个白球的袋子中有放回地依次任意摸出两个球表示第1次到红球事件B表第2次摸到白球则事件A与件相独.说明：要求学不但能判断两个事件否相互独立，而且能举说明什么样的个事件是相互立的，特别掌握在有回抽样中，两次抽样的果是相互独立，这是二项分布基础.练习（）、A表抽到的这件产品的为合品表这件产品第ii

道工序中质量合格，i2，3，4，5.则1

A2

A3

A4

A，5(A)0.96，A)0.99，PA)，，)0.96，1235且,A,,A,相互独立所以14()(AP()P()P()(A)0.980.8671说明：本题主考查学生应用教科书页的公式（1）解决际问题的能力这里的难点是如把这件产品合格用各工序的合格表达出来.实上，各道工序都合格等价于产合格，因此事件“各工序合格之交”就是产合、将一枚硬币连续抛5次，正面向上的数X服从二分布，其分布列为(X)k5

1()2

5

，k，，2，，4，用表格的形式示如下：XP

251101025252说明：本题是基本的二项分布的例子在分列时，如果是用第一种式表示，一定要标的值范围、用事件表示仅第次未击中目标，事表示该射手第i次击击中目标，ii，，，，，则BA，因为4次射击以看成次独立重复试验，4所以可以用56页公式（）算发生的概率()(A)(A(A)P()0.0729.234说明：本题的键是把次射击看4次立重复验，然后利用页公式（1）计算概.该还可以修成求次击都没有命目标的概率，或者4次击至少击中一目标的概率

、例1某同学投篮命中率为，在次篮中命中次数是一个随机变量，X～.例

在一次考试中10道单选题某同学一道题不随机选择答案，这道选题中答对的个数是个随机变量，～B(10,0.25).说明：希望学不但能判断一个随机量是否服从二项分布，且能举出二项布的例子，以深对二项分布的理解.习2.2A组（）、因为个泡是并联，各灯泡是否能常明是彼此独立的，不受其灯的影响，所以以看成次独立重复试设段间内能正常照明的灯泡数为X，服二项分布.这段时内吊灯能照明表示个灯泡至少有个灯泡能正常照明，即X，则吊灯能照明的概率为X0)0)(10.7)

说明：可以让生思考：如果这个泡串联，那么这时间内吊灯能照明的概率是多少？以比较两种连接方法的靠）子中共有4个球，其中有白球个设事件B表摸到的n个都是白球，利古典概型计算概率的式得到P(B)

Cn2nCn4n

（）事件表摸到的个都是黑球，事表摸到的个颜色相同，则CAB，(A)

Cn2nCn4n

又A与互，所以P(C)()()

Cn22Cn4

在已知个的颜色同的情况下，设颜色是色的概率为P(BC)P(B)P(BC)P(C)Cnn22说明）的计算同样可以利用典概型计算概率公式P(C)到，但是这里计数是基于原始的基事件全体来计数、设有3个子家庭中女孩的个数为X～至少有2个女孩等价于事件{≥2}，因此至少有2个孩的概率为

n()nC)

得

12121212(X2)PX2)P(3)23

1())322说明：关键是问题转化为二项分布模当该问题也可以利用古典概计算概率的公式到得到、利用条件概率公式(BCA

)A)(BACA)()(A)

，因为和C互斥，所以BA和CA也互斥，利用概率的加法公式有(BA)()(CA因此(BCA)

(BA()P(BA)P)(B))()(AP(A

习2.2B（）、每局比赛只有两个果，甲获胜或乙获胜，每局比赛可以看成是相互独立的，所以甲获胜的数X是随机变，X服二项分布.（）在采用3局胜中，X～B，事{}示甲获胜所以甲获胜的概率P(X(2)(

0.6

0.648（）在采用局胜中，X～B，事件{}示甲获胜所以甲获胜的概率(((XP(X

0.683可以看出采用5局3胜制对甲更利，由此可以猜测“比的总局数越多获胜的概率越大此以看出为了使比赛公，比赛的局数不能太在这个实际问题背景中，比局数越少，对乙队越利；比赛局数越多，对队越有利说明于一个实问题终的是解决问题不是计算随机事件的概率本题背景中，应根据计算出的概率结对赛制提出提议、设事件A表从甲箱子里摸出白，事件表示从乙箱子里摸出白，因为12从甲箱子里摸的结果不会影响从乙子里摸球的结果，所以A和A是相互独立12的.P(奖

323(A)()(A)0.3.5410尽管两个箱子装的白球比黑球多奖的概率小于0.5.原是除了两个全为白球外，还可能两个球全为黑球两个球中一个为白球另个为黑球，两球

2!2!221全为黑球的概为0.2，两个球中一个为白球另一个为黑球概率为5410.30.20.5.由个箱子里装的白球比球多，只能推出摸出的个球全为白球的概率大于出的两个球全为黑球概率由于这两个事件并不等于必然事件，因此不能出获奖的概率大于说明：问题的键在于把几个事件的系搞清楚，必然事件两个球全为白球}{个全为黑球}{个为白球另一个为黑球}）有放回的方式抽取中，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率为0.02.可把次取看成是次独立重复试验，这样抽到的次品数X～(3,0.02)，好抽到1件品的概率为P

0.020.98

在无放回的方抽取中到的次品数X是随机变量，X服超何分布的分布与产品的数n有，所以需要分3种情况分别计算：①n时产品的总数为500件，其中次品的件数为500×2％＝10，合格品的件数为从件品抽出件其中恰好抽件次品的概率为C2(X490C3500

489304905004994985004993!

②时产的总数为件，其中次的件数为5000×％＝，合格品的件数为4900.从件品中抽出3件其中恰好抽到件品的概率为P(X

CC2300100C3499949985000

.③时品的总数为件中次品的件数为50000×％＝，合格品的件数从件产品中抽出3件恰好抽到1件次品的概率为P(X

CC230004900048999100049000C350000499994999850000

.（）根据1）的计算结果可以看出，产品的总数很大时，超几分近似为二项分布.这是可以理解的，当产品总很而抽出的产品较少时，每次抽出产品后，次品率似不变.这就可以近看成每次抽样的结果相互独立的，抽出产品中的次品数近似服从二项分布.说明：由于数比较大，可以利用计机或计算器进行数值计算.另，本题目也可以帮助学了解超几何分布和二分布之间的关系：第一，次验中，某一事件A出的次数可能服从超几何分布或二项分布当这次试验独立重复试验时，服从二项分布；当这n次验是不放摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的时，服超几何分布第二，在不放次摸球试验中，摸到某种颜色球的次数X服超几何分布.但是当袋子中的的数目很大时，的布列近似于二项分布，且随着的增加，这种近似精度也增加

2．3离型机变的值与差练（）、不一定.比掷一枚硬币，出现正面次数X是机变量，它取值0，1，取每个值的概率为0.5其值0.5，即不，也不0.再如随机变量的分布列为X10PX的均值是，而不

0.6说明：本题的的是希望学生不要误均值的含义，均值是随变量取值的平水平，它不一是随机试验的结果之、E(X)0.30.22.3说明：根据定计算离散型随机变量均值，是最基本的习题.、X的分布列为X

P

0.50.5所求均值为()说明：要计算散型随机变量的均值一般首先写出该随机变的分布列、第1台机床生产零的平均次品数X)0.40.1，1第台床生产件的平均次品数E(0.30.20.92因为第2台机床生产零的平均次品数E()2

小于第1台床产零件的平均次品数(X1

，所以第2台床更好，其际含义是随着产量的加，第台机床生产出的次品数比第1台机床产出的次品数说明：本题考学生对随机变量均值义的理、同时抛掷5枚质地均匀的硬币，相当于做5次复试验，出现正面向上硬币数X服二项分布，所以E(X)2.5说明：教科书给出二项分布的均值本题可以直接利用这个果.练（）、E(X)0.1，)

2

2

432

0.

2)0.11D()95

说明：这个分列是对称的，对称轴，所以值为2.图表示的分布列如下：、E，D(X))

2

说明：随机变满足()，中为数，这个分布称为单点布，实际上，这里常数看成是特殊的离型随机变量.因为该随机量仅取一个值，当然刻画离散度的量应该为0.机量的方差反映随机变量的值或离均值的程度.方差越大，随机变量的取越分散；方差越小，机变量的取值越集中于值附近.通常在均值相等的情况比较方差的大小例如，在本节页例中三个方案的平均损失相等，通常我们会择差最小的方案再例如，有两投资方案，它们的平收益相同，但方差不同是选择方差大方案还是选择差小的方案，这要因况而定如一个人比喜欢冒险，那么应该选择方差大方案；如果一个人喜稳定的收入，那么应该择方差小方案如股票投资和储两种方案，假设它们平均收益相同，喜欢冒的人一般会选股票投资说明：通过让生举例子的方式，希学生理解方差的含习2.3A组（）、E(X)0.44，X)

1.

)0.4

1.3

0.493D(X)1.

4说明：已知离型随机变量的分布列计算均值、方差和标准属于最基本的题.、

13说明：利用均的定义和分布列的性即可求、在同样的条件下连射击10次，相当于10次立重复试验，击中靶心次数X服二项分布(10,0.9)，以E(X)0.9

说明：此题类64页题在教科书已给出二项分布的均的公式，本题可以直接利用个结果，不用再按均的定义重新计算、设X表示一张彩票的中奖金额，则它的分布列为XP其均值为

2500.85450.03()0.0110010000.0005.说明：如果发彩票的公司按每张2元售，并且中奖规则如题所述，那么该公司一分钱也不到，连手续费都要己出，没有公司会按这方式发行彩票通常一张彩票可中奖金额的均值要小买一张彩票的金额越多公司挣得多，学生可以就某种彩票的中奖情况进分、X)0.18，1()(

0(

8)1(

(

.(0X)2

221178D()(

0(

8)2(8

)

(109因为甲、乙两射手射击的环数均值等，而乙射手射击的环方差比甲射手击的环数方差，所以可以说，甲、两名射手射击的平均水没有差别，在次射击中平均得差别不会很大，但甲常发挥比较稳定，多数分在8环，而乙得分比较分散，似平均分配在6～10环说明：考查学对离散型随机变量的值和方差的理解习2.3B（）、利用古典概型计算率的公式计算试验成功的概率：P

试验成功包含的基本事件个数205基本事件总数365在次验成功次数服从二分布(30，)9

，成功次数X的均值为550(X)np3016.7.93说明：本题的键是看出在次验的成功次数服二项分布和计算试验成功的概率.、设这台机器一周内能获利万元，首先计算X可取每个值的概率：P(X0.1)

0.59049，

C

4

0.32805P(0)C0.1)0.0729((X5)(2.5)(0.00856即的布列如下X

2.5

P0.590490.32805所以，这台机一周内可能获利的均为

0.00856()0.590490.0729.说明与习题A中4题类似要求出X的布列然再求X的均值这里求分布列时到了二项分布2．4正分练（）、由正态分布密度曲可知，参数

60，

，所以X600.6826说明：本题从方面考查学生对正态布的理解：第一，对正分布密度曲线点的认识；第，了解X落区间(

的概率大小.、例1某地区16岁男孩的高分布可以近似成正态分布例某厂生产的种型号的灯泡的使用寿的分布可以近看成正态分布说明：教科书第页出了在现生活中服从正态分布例子，学生只要把那些例子具体，就能举出很多实例.、由于正态分布密度线关于x

对称，因此(

11(0.341322说明：利用正态分布密度曲线的对称性和X落在区间((

，(

的概率计算X落其他一些特殊区间的率习2.4A组（）1()）因为()e22f)，x(22所以f(x)是偶函数

aaf(aaf(（）当x时，(x)达最大值f(0)

1

（）在区间(上(x)单调递，在区间(x单递减说明：本题中出了标准正态分布的义，

，

的态分布为标正态分布此题的的是加深学生对标准正分密度曲线的特点的认.、设该种包装的大米量为X，由X～N(10,0.12个参数为

)知正态分布密度函数的

，

0.1，所以(9.8X10.2)0.1说明：本题考查学生是否了解服从正态分布的随机变量X落在区间((概率大小.习2.4B（）、对于任何实数和然数n有1{aX}{}{}，n1且事件{}与件{X}互相，由概率的加法公式得n1PX)(X(aX(X，n令～

，所以10(X)(aX)n

dx1an

12

a

1n

dx

1

，n1,2,

，即(.说明：这个题属于综合性题目，需的知识范围比较广首先要用到概率的单调性即事B则))其次要用到正态分布的义后还要用到积分的单调，即如果f(x)g)，则

b

(x

由本套教科书没a有介绍概率的调性，所以在这里是用了概率的加法公式证.由此题的结论可知，如果随机量X服从正态布，则有

(a)(ax)(a)(x).、X～N知正态分布度函数的两个参数为正态分布密度线关于x对称，所以

，

.又为该1X7)X7)0.95440.4772；21X6)X0.68260.3413；2X(5(56).说明：利用正分布的对称性和X落区间(

，(

的率，可计算落在一些区的概率，这里主要考查生能否灵活运用所掌的知识解决问题

A组、根据分布列的性质知q要满足以下条件：

2

2

所以常数q

22说明：考查学是否掌握离散型随机量分布列的两个性、因为随机变量取所有可能的，2，…，是可能的，所以取每个可能值的概率均为

1n

，从而又E)，得

n2

n1n()ini，即n.说明：随机变取有可能的值，2，…，n是等可能的，即X的布列为X

…

nP

111…nn这样的分布称离散型均匀分布，由可以计算均、假设要用n门炮同时对目标射击，才能使目标被击中的概超％可以把一门大炮射击看成是一次随机验，将击中目标看成是功，则成功概为

0.3.用X表示这门大炮中击中目标的门数即n次试验中出现的成次数，则X～(,0.3).事件“目标被击中”可以示{X0}，它对立事件是{X0}，所以“目标被中”的概率为0)X0)0.3)n.为使目标被击的概率超过％，只有选择合适的n，使1(1

n

95，解得n根据实际含义少用9门炮才能使目标被击中的概率超过％.为了提高击中标的概率，可以采取门炮向目标同时射击的