高中数学全一册学案(含解析)新人教A版必修5

sinsinsinCsinAsinBsin60°sinCsinsinsinCsinAsinBsin60°sinC1.1.1

正弦定理正弦定理[提出问题如图，在eq\o\ac(△,Rt)中，A＝30°斜边2.问题1：求△的他边和角．提示：＝60°C＝90°，＝，＝3.a问题2：试计算，，的，三者有何关系？提示：

ab3＝，＝＝，＝，三者的值相等．问题3：对于任意的直角三角形否也有类似的结论？a提示：是．如图，∵sin＝，c∴

a＝.sinAbb∵sinB＝，∴＝.csina∵sinC＝，＝＝sinsinsinC问题4：在钝角△中B＝＝30°＝3，试求其他边和角．提示：如图，△为角三角形，＝30°AC＝3，则AD

32

3，＝，2BC＝3²＝3，∠BAC＝120°.问题5：问题4中得数字满足题3中结论吗？提示：满足．问题6：若是锐角三角形，上述论还成立吗？1

sinABsinAB提示：成立．[导入新知1．正弦定理a在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.sinsin2．解三角形一般地，把三角形的三个角A和们的对bc做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要能是实现三角形中边角关系的转.已知两角及一边解三角形[例1]在ABC中，已知a＝，＝60°＝75°求A，，.[解]＝180°－＋＝180°－(60°＋75°)＝45°.由

basinB8³sin＝得＝＝＝46sinBsinAsinAsin45°2＋68³acsinC8³sin4由＝得＝＝＝＝4(3＋．sinAsinCsinAsin45°22∴＝45°＝46，＝4(3＋1)．[类题通法已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出三个角；(2)由正弦定理公式的变形，求外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦(时应注意角的拆并，即将非特2

殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)再根据上述思路求解．[活学活用在△ABC中，已知＝10，A＝45°，＝30°，这个三角形．解：∵＝45°C＝30°，∴＝180°(＋)＝105°.由由

acsinA10³sin45°＝得＝＝＝102.sinAsinCsinCsin30°bcsinB10³sin105°＝得＝＝＝20sin75°，sinBsinCsinCsin30°∵sin75°＝sin(30°＝sin30°cos45°＋cos30°sin＝

2＋64

，∴＝20³

2＋64

＝2＋6.∴＝105°＝102，52＋6.已知两边及一边的对角解三角形[例2]根下列条件解三角形．(1)△ABC中已知b＝3，＝60°c＝；(2)△ABC中已知c＝6，＝45°a＝2.[解](1)由弦定理知csinB1³sin60°1sinC＝＝＝，C＝30°或C＝150°.b32∵＋＋C＝180°，∴＝150°不符合题意，舍去．∴＝90°＝b＋＝2.故＝，＝90°，＝30°.cA(2)由正弦定理得sin＝＝a

645°3＝.22故＝60°＝120°.sinB675°当＝60°＝75°，b＝＝＝3＋1.sinCsin60°csinB615°当＝120°时＝15°，b＝＝＝3－1.sinCsin120°故＝3，＝75°，＝60°或b＝3－，＝15°C＝120°.3

[类题通法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；(3)如果已知的角为小边所对的时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用π在△ABC中，若＝6，C，＝，求，，.3aasinC解：由＝，sin＝＝sinAsinCπ3π∴＝或＝.44又∵c＞，∴＞，π∴只能取A，4ππ5∴＝π－＝，3412

2.2csinBb＝＝sinC

6²sinπsin3

512

＝3＋判断三角形的形状[例3]在中，sinA＝＋sinC，sin＝2sinBcosC，试判eq\o\ac(△,断)ABC的形状．abc[解]由弦定理，得A＝，sin＝，C＝.(为△ABC外接圆半)222R∵sin

＝sin＋sin

C，a∴即c

，故＝90°.∴＝90°，＝sin

B.∴2sinBcosC2sin

＝sin＝1.∴sinB＝

22

.4

∴＝45°＝135°(＋B＝225°＞180°，故舍)．∴△ABC是等腰直角三角形．[类题通法1．判断三角形的形状，可以从查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发利用正弦定理进行换化呈出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[活学活用在△ABC中，若＝cosC，试断该三角形的形状．ab解：∵＝cos，＝＝，(为外圆半径sinAsinB∴sinB＝A²cos.∵＝π＋)，∴sin(A＋)＝²cos.即sincosCcosAsinC＝sinA²cos，∴cosAsinC＝0，∵，∈(0，)，∴cos＝，π∴＝，2∴△ABC为直角三角形．1.警惕三角形中大边对大角[典例]在ABC中已知a23，＝，A＝60°，则B＝________.sinAsin60°1[解析]由弦定理，得sinB＝b³＝2³＝.∵0°＜＜180°，a232＝30°＝150°.∵b＜据三角形中大边对大角可知＜B不合条件，应舍去，∴＝30°.[答案]30°[易错防范5

sinsinsinA3sinsinsinA311．由sinB＝得＝30°150°，而忽视＝＝23，而出错．22．在求出角的正弦值后，要根“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．[成功破障在△ABC中，，分是角，，所应边，且＝，＝3，＝30°求的值a解：由正弦定理＝得bsinA6sin30°3sinB＝＝＝a232由条件b＝6a＝3，＞知B＞.∴＝60°120°.①当＝60°，＝180°－－＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△ABC中，C＝90°＝3，＝，c＝43，∴＝3³424.②当＝120°时，＝180°－－B＝180°－30°－120°＝30°∴＝，则有a＝＝3.∴ac＝3³23＝12.[随即时演练]1．(广东高)在△ABC中，若＝60°B＝45°BC32则()A．43

B．23C.3

D.

32BC解析：选B由弦定理得＝，sin即

32＝，sin60°sin45°322所以AC³＝3，故选B.222．在△中，15，＝，＝60°则B值为)22A．－3

22B.36

sinAsinBsin60°sinBsinAsinBsin60°sinBC．－

63

D.

63ab1510解析：选D根正弦定理＝可得＝，解得sinB

33

，又因为ba，所以<，故为角，所以cosB1－sin

＝

63

.3．在△中，若sinA＋sin)(sin－＝sin形．

C，eq\o\ac(△,则)是________三角解析：由已知得sinA－sinB＝sinC，根据弦定理知asinA＝，＝，sinC＝，22R2Ra所以2即c，故＋c＝.所以△是直角三角形．答案：直角454．(全国甲卷eq\o\ac(△,))的内角A，的边分别为，，＝，cos＝，513a＝，b______.45解析：在△中，∵＝，cos＝，51331235412∴sinA＝sinC＝，sin＝sin(＋)C＋Asin＝³＋³51351351363＝.65631³aaB6521又∵＝，b＝＝＝.sinAsinsinA313521答案：135．不解三角形，判断下列三角解的个数．(1)＝，b＝，＝120°；(2)＝，b＝14，＝150°7

B.sinAaB.sinAa(3)＝，b＝10，＝60°.bsin120°433解：(1)sin＝＝³＜，a522所以△有一解．bsin150°(2)sinB＝＝，所以△ABC无．absin60°10353353(3)sinB＝＝³＝，而＜＜，a9292953所以当B为角时，满足sin＝的B的取范围为＜90°；9当为角时有90°B＜120°，也满足AB＜180°，所以△有两解．[课达标检测]一、选择题sinA1．在△中，下列式子与的相等的()aA.

bc

sinBsinAC.

sinCc

D.

csinCac解析：选C由弦定理得＝，sinsinAsin所以＝.2．在△中，若sin>sin，则A与的小关系()A．>C．≥

B．<D．，的大小系不确定解析：选A∵sinA>sinB，∴RsinA>2sin，即>，故>B.3三角形的两个角分别等于120°45°所对的边长是46120°角所对边长()A．4C．43

B．123D．12解析：选D若120°角所对边长为，8

2sinBsinC2sinBsinCx46则由正弦定理可得＝，sin120°sin45°346³46²sin120°2于是＝＝＝，选D.sin45°24．在△中，已知b＝，＝，C＝60°，则此三角形的解的情况()A．有一解B有两解C．无解D有解但解的个数不确定bc解析：选C由弦定理得＝，340³bsinC2∴sinB＝＝＝3>1.c20∴角不在，即满足条件的三角形不存在．5．以下关于正弦定理或其变形叙述错误的(A．在△中，b∶＝sinA∶sin∶sinCB．在△中，若sin2A＝sin2，则＝C．在△中，若sin＞sin，则A＞，＞，则sinA＞sin成立abcD．在△中，＝sinsinB＋sinC解析：选B由弦定理易知A，D确．对于B，由2sin2B，可得＝，或A＋B＝，π即＝，AB＝，2∴＝，或b＝，误二、填空题26．(北京高)在△ABC中，a3，＝6∠＝，则∠B________.3a解析：在△中，根据正弦定＝，sinAsin362有＝，得sinB＝.2sinB2sin3π因为∠为钝角所以＝.49

π答案：47．在△中，＝30°C＝120°，则a∶∶c＝________.解析：＝180°－－＝30°由正弦定理得a∶∶＝sinAsinB∶，即∶∶＝sin30°∶sin∶sin120°＝∶∶3.答案：∶∶38．在△中，若A＝120°，AB＝5，＝7，sinB＝________.解析：由正弦定理，得AB²sinA5sin120°53sinC＝＝＝.BC714可知为角，11∴cosC＝1－sin＝.14∴sinB－120°－)＝sin(60°C33＝sin60°²cos－cos60°²sin＝1433答案：14三、解答题9．在△中，角A，，C的对分别为，b，，知2B＝＋，＋2＝，求sinC的．解：∵B＝＋，＋＋＝180°∴＝60°＋C＝120°，∴0°<，0°<<120°且A＝120°－.∵＋2＝，由正弦定理得sinA＋2sin＝2sinC，∴sin(120°－)＋

62

＝2sinC，即

316cosC＋sinC＋＝C，222336∴sinCcos＝22210

πcosBcosBcosAπcosBcosBcosA∴sin(－30°)＝

22

.∵－30°<－0°<90°，∴－30°＝45°＝75°.sinC＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°45°sin30°

6＋24

.10．(天津高考)在△ABC中内角，BC所对边分别为b，已知2B＝3bsin.(1)求；1(2)若cosA＝，求sin的．3解：(1)由sin2＝3bsinA正弦定理得2sinBB3sinA3asin，所以cosB

3，所以＝.26122(2)由cosA＝，可得sinA＝，33sinC＝sin[π－A＋)]＝sin(＋B＝sin＝

3126＋1sinA＋cosA＝.226asinsin11．在△中，已知＝，试判断△ABC的形状．cosBcosAasinbsinA解：∵＝，cosa＝RsinA，＝sin，∴

4sinAsinB4sinBsin＝.又∵sinAB，∴sinAcosA＝BB，即sin2＝sin2，∴A＝B，或2A＋π，π即＝，AB＝.211

故△ABC是等腰三角形或直角三形．12．已知方程－bcos)＋acosB＝的根之积等于两根和，且a，为ABC的两边，，为内角，试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为、x，，由根与系数的关系，B∴cosAacosB由正弦定理得：Bcos＝sinAcosB，∴sinAcosB－sinB＝，sin(－)＝∵、为ABC的内角，∴0<A<，π，<A－π.∴－＝，即＝.故△ABC为等腰三角形．1.1.2

余定理余弦定理[提出问题在△ABC中，若AB＝，AC＝，＝60°.问题1：这个三角形确定吗？提示：确定．问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？提示：不能．问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？提示：能．→→∵＝－AB，→→→→∴BC|＝AB|＋AC|－²→→→→＝AB|＋AC|－|||cos＝＋－2³2³3cos60°12

＝7.→∴BC|＝7.问题4：利用问题的推方法，能否推导出用b，，表提示：能．[导入新知余弦定理a＝＋－bccos_，公式表达

bc

＝＋＝＋

－accos_B，－abcos_余弦定理

语言叙述推论

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍＋c－cos＝，2bc＋c－cos＝，2ac＋b－cos＝2ab[化解疑难对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要能是实现三角形中边角关系的互化．已知三角形的三边解三角形[例1]在ABC中：(1)＝，b＝，＝37求最大角；13

22(2)∶∶＝∶3∶，，B，的小．[解](1)由>b>，知大，a＋－3＋－1∵cosC＝＝＝－，22³3³42∴＝120°.(2)∵∶∶＝∶3∶，∴设＝，则＝x，＝(>0)．由余弦定理，得bcosA＝

＋－3＋x－3＝＝，23²22∴＝30°.1同理cosB，cosC＝，2∴＝60°＝90°.[类题通法已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余，进而求三个角．[活学活用在△ABC中，已知＝7，＝3，＝，求最大角和另外两角的余弦值．解：∵>b，∴为大角，b＋－3＋－21由余弦定理得，A＝＝＝－，2bc2³3³52又∵0°<，A＝120°.a＋－7＋－13cosB＝＝＝；22³7³514b＋－3＋－11cosC＝＝＝.22³7³314已知三角形的两边及其夹角解三角形[例2]在ABC中，已知a＝，＝60°＝3＋1)解此三角形．[解]由弦定理得：b

＝＋－accosB＝＋[4(3＋－2³8³4(＋1)²cos14

sinAsinB＝sinAsinB＝1＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)³96，2∴＝46.b＋－法一：由cos＝2bc＝

96＋163＋1－642³46³43＋1＝

22

，∵0°A，＝45°.故＝180°－＝180°－45°－60°＝75°.a法二：由正弦定理＝，∴

8462＝，sin＝.b＞，＞，sinAsin60°2∴最，即A锐角．因此＝45°.故＝180°－＝180°－45°－60°＝75°.[类题通法已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边余角的求解有两种思路是用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定(已两边和一边的对)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问[在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一，故用余弦定理求解较好．[活学活用在△ABC中，已知＝22，＝3，＝15°解此三角形．解：c＝＋－abcosC＝(22)＋(23)2－2³22³23³cos(45°＝－3＝6－2)，∴＝6－2.法一：由余弦定理的推论得bcosA＝

＋－2

23＋6－2－2³23³6－2

2＝.2∵0°＜＜180°，＝45°15

cc从而＝120°.6－222³sinC法二：由正弦定理得sinA＝6－2∵＜，∴＜，又∵0°＜＜180°∴必锐角，A＝45°，而得＝120°.

2＝.2已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形[例3]在ABC中，已知b＝，＝，B＝30°，求，，a.[解]法：由余弦定理b＝a＋－accosB得3＝(33)－³33³cos30°，∴9＋＝0，得a＝或6.当＝，＝30°∴＝120°.16³aB2当＝，由正弦定理得＝＝＝1.b3∴＝90°∴＝60°.133法二：由bc，＝30°b＞sin30°＝33³＝知题有两解．22csinB由正弦定理得sinC＝＝b

133³23＝32

，∴＝60°120°，当＝60°＝90°，△ABC为角三角形．由勾股定理得a＝b＋＝3＋3＝，当＝120°时＝30°，△为等腰三角形，∴＝3.[类题通法已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三(注意边的取)利用正弦定理求其他的两个角可由正弦定理求出二个(注意角的取)利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．[活学活用16

....3已知在△中，cos＝，a＝，＝，则＝________.5解析：为b，的角，由余弦定理得a

＝＋－bccosA，3∴16＝＋－6³c，5整理得5c－18－＝0.7解得＝5或＝－舍．5答案：判断三角形的形状[例4]在ABC中，若已知a＋＋)²(b－＝ab并且sinC＝2sincosA，试判断△的形状．b[解]由弦定理，可得sin＝，C＝.2R2由余弦定理，得cos＝

＋－2代入sinC2sinBcosA，b得＝²

＋－2整理得a＝.又因为a＋＋)(＋－)3ab所以＋－＝aba＋－1π即cos＝＝.故＝.223又因为a＝，所以△为等边三角形．[类题通法判断三角形的形状的方法判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考用正弦理将已知条件转化为边边关系通因式分解配等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；也17

可利用正余定理将已知条件化为角与角之间的关系过三角变换得三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状．[活学活用sinB在△ABC中，若cosA＝，判断其形状．sinCsin解：由cosA＝得sinbb＋－bcosA＝，＝，c2bc∴－＝，a＋＝c，因此△是以为角的直角三角形．1.利用正、余弦定理求解平面图中线段长[典例](12分如所示，在四形中⊥，＝，AB＝14，∠＝60°，＝135°，的．[解题流程[规范解答]18

＝＝.＝＝.[活学活用如图所示，在△ABC中，已知B＝45°D是BC边上一点，＝，AC＝，＝，AB的长．解：在△中，cos＝AC＋－7＋－112²²2³7³314又∵0°＜＜180°53∴sinC＝.14ACAB在△ABC中，＝，sinsinCsinC5356∴＝²²²7.sinB142[随即时演练]1．在△中，5，＝5，A＝30°，则a等()A．5C．3

B．4D．10解析A由弦定理a＝b＋－bccos＝＋(53)2－2³5³53³cos30°＝，∴a＝5.－－2．在△中，角A，，C的对分别为，b，，＞，eq\o\ac(△,则)ABC()2A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形19

c解析：选C由

－－＞得－cos＞，2所以cosC，从而C为钝角，因此△一定是钝角三角形．3．(天津高考改编)在△中若AB13，BC＝，＝120°，则＝________.解析：由余弦定理得AB＝＋－AC²²cosC，即13＝＋－AC³3³cos120°，化简得AC＋AC40，解得AC1或＝－舍去．答案：14．在ABC中＝1b＝cosC＝，则4解析：根据余弦定理，1c＝＋－abcosC＝＋－2³1³2³＝，4故＝1因为cosC，4

c＝________sinA＝________.于是sinC

11－

15＝，4151³asinC415于是，由正弦定理得sin＝＝＝或：由a＝1，＝，＝，cosc282＋－7A＝＝，是sin＝2³2³2815答案：8

71－

15＝.85．在△ABC中，知a＝，＝，角C的弦是方程＋x＝的，求第三边c的长解：5＋x－＝可化(x－3)²(＋＝0.3∴＝，＝2(去．53∴cosC＝.5根据余弦定理，20

＝＝c

＝＋－abcosC＝＋

3－2³5³3³＝16.5∴＝，即第三边长为[课达标检测]一、选择题1．在△中，若b＝，＝3，＝60°则此三角形外接圆的半径()A.

823

14B.3C.

773D.33解析：选D由弦定理，得a

＝＋－bccosA＝＋

1－2³8³3³＝，2a∴＝7.由正弦定理，得＝2，sinA73∴＝.3132．在△中，若a＝，＝7，C＝，则最大角的余弦值(14

)1A．－51C．－7

1B．－61D．－8解析：选C由弦定理，得13c＝＋－abcosC＝＋－2³8³7³＝，14所以＝，故最，所以最大角的余弦值为bcosA＝

＋－2

7＋－1＝－2³7³373．在△中，＝60°b

＝，此三角形一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D钝角三角形解析：选B由弦定理，得b＝＋－ac又∵b＝，∴－ac＝，(c＝0，∴＝.21

∵＝60°＝＝60°.故△ABC是等边三角形．4(全国乙卷eq\o\ac(△,))的内角的边分别为a，c，已知a＝5＝cosA2＝，b＝()3A.2C．2解析：选D由弦定理得5＝b

B.3D．321＋－2³³2³，解b＝或＝－(去，故选33D.5．在△中，

≤sinBsin

－sinBsinC则A的取范围是)πA.

B.，C.

π

D.，解析：选C∵sin

≤sin＋sin－BC∴由正弦定理得a≤＋c－，即a

≥，b＋－bc1由余弦定理得cosA＝≥＝，2bc22π∴0<A≤.3二、填空题6．(福建高)在△ABC中A＝60°，＝，＝3，则等________AC解析：在△中，根据正弦定，得＝，sinBsinA23所以＝，得sin＝，sinBsin60°因为0°＜＜180°，所以＝90°所以AB2－3＝答案：27．(北京高)在△ABC中，∠＝，＝3，则＝________.32解析：在△中，∠＝，322

2∴＋－bccos，＝＋＋.3∵＝3，∴3c＝＋c＋bc∴＋bc2c＝0，b∴b＋cb－)＝，∴－＝0，∴＝，∴＝1.c答案：8．在△中，若sin∶sin∶sinC＝∶∶，则＝________.解析：因为sinsinB∶sinC＝∶∶，由正弦定理可得a∶∶c＝∶∶，设＝(k＞0)，b＝，＝7，＋－1由余弦定理的推论得cosC＝－，22又0°＜＜180°所以＝120°.答案：120°三、解答题9．在△中，asin，＝cos，试判断△的形状．解：由余弦定理知B＝

a

＋－，代入＝acos，2aca得＝²

＋－，∴＋b＝.2∴△ABC是以A为直角的直角三角形．c又∵b＝sinC，∴＝².∴＝c.a∴△也是等腰三角形．综上所述，ABC是腰直角三角形．110．天津高考改)在△中内角B，所的边分别是c.已知－c＝42sinB3sinC，求cosA的值3解：由2sinB3sinC及正弦理得＝3，即b＝.21又－＝，411∴c＝a，即a＝c.24由余弦定理得23

aa93c＋－c－b＋－44cosA＝＝＝＝.23342³211．在△ABC中，角的对边分别为，且2²cA＝²cosAa²cosC.(1)求角A的大小；(2)若＝7，＋＝，求的值．解：(1)根据正弦定理得2²cosA＝²cosA＋²cosC2cosA＝sincos＋cossin＝A＋)sin，∵sinB≠0，1∴cosA＝.2∵0°A，∴＝60°.(2)由余弦定理得7＝＝＋－2²cos＝－bc＝(＋)－bc，把b＋＝入得bc＝，故＝3.12．△的三个内角，B，所的边分别为a，，，AB＋cosA＝2.b(1)求；(2)若＝＋3a

，求.解：(1)由正弦定理得，sinsinB＋sinBcos＝2sinA，即sin(sin＋cos)＝2sinAb故sin＝2sinA，所以＝2.a(2)由余弦定理和＝＋3，＋3a得cos＝.2由1)知＝a，＝(2＋3)a.可得

1B＝，cosB，2

24

故cos＝

22

.所以＝45°.1

正余定在际的用测量中的基本术语[提出问题李尧出校门向南前进米再东走了米，回到自己家中．问题1：李尧家在学校的哪个方？提示：东南方向．问题2：能否用角度再进一步确其方位？提示：可以，南偏东45°或东偏45°.[导入新知实际测量中的有关名称、术语称基线仰角俯角方向角

定义在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角从指定方向线到目标方向线的水平角定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)

图示南偏西60°(以正南方向为始边，转向目标方向线形成的)25

方位角

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角[化解疑难解三角形实际问题的一般步骤弄题意的基础上作出示意图图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量．用正、余弦定理解三角形是解题的关键环.测量高度问题[例1]如，为了测量河对岸的塔高A，不同的方案，其中之一是选取与塔底在一水平面内的两个测点C，测得＝200米在C点和D点测塔顶A的角分别是45°，且CBD＝30°求塔高.[解]在Rt△中＝45°AB＝BC＝Rt△中，∠＝30°则＝3.在△BCD中，由余弦定理可得CD＝＋－2²²²cos∠CBD，即200＝＋3h)－2²²h²

32

，所以＝200，解得＝h＝－舍去)，即塔高AB为米[类题通法测量高度问题的要求及注意事项(1)依题意画图是解决三角形应题的关键题果既有方向(它是在水平面上所成的角，又有仰(俯角它在铅垂面上所成的)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解．(2)方向角是相对于在某地而言，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．26

[活学活用(湖北高考如一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶处测得公路北侧一山顶D在西北30°的方向上行驶m后达处测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°则此山的高CD________m.解析：由题意，在△ABC，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°，ACB＝45°.600又AB600，故由正弦定理得＝，sin45°sin30°解得BC3002m.在eq\o\ac(△,Rt)BCD中，CD＝BC²tan30°＝3002³答案：6

3＝1006(m)．3测量角度问题[例2]如，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处3－1)nmile的B处有一艘走私船A处偏西75°方向离A处nmile的C处缉私船奉命以103nmile/h的度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的度向北偏东30°向逃窜，问：缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解]设私船用h在D处追上走私船，则有CD103，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3，＝，∠BAC＝120°∴由余弦定理，得BC＝

＋

－AB²²cos∠＝3－

＋

－2²(3－1)²2²cos120°＝，∴＝6AC且sin∠＝²sin∠＝BC

26

²

32＝.2227

∴∠ABC＝45°.∴与北方向垂直．∵∠CBD＝90°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得BD²sin∠CBD10sin120°1sin∠BCD＝＝，CD1032∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能快追上走私船．[类题通法解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题(2)画出表示实际问题的图形，在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际题中去．[活学活用某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处悉后，立即测出该货船在方位角为，距离为10海里的C处并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以103海里/小时的速度去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．解：设护航舰靠近货船所用时间为t小．在△中，根据余弦定理，有AB＝

＋

－AC²120°，可得(103)＝＋t)－2³10³10cos120°，1整理得2t－－＝，得＝t＝－舍去)．2所以护航舰靠近货船需要1小．此时AB103，＝10又AC10，所以＝30°所以护航舰航行的方位角为75°.1.探究距离测量问题28

sinCBsinCB测量距离问题分为三种类型两间不可通又不可视两间可视但不可达两点都不可达解此问题的方法是：选合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．【角度一】

两点间不相通的距离[例1]如所示，要测量一水塘两侧AB两间的距离，其方法为先选定适当的位置C，用经仪测出角α，分别测出的长b，，可求出，两点的距离．即AB＋b－2cosα.若测得CA＝400m，＝m∠ACB＝60°，试计算的度[解]在ABC中由余弦定理得AB＝

＋

－AC²²cos∠ACB∴＝400＋600－2³400³600³cos60°280000.∴AB＝2007m.即，两间距离为m.【角度二】

两点间可视但有一点不可到达[例2]如所示，，两在一条河的两岸，测量者在A的同，且B点可到达，要测出A，的离，其方法为在所在的岸边选定一点C，可测出，的距，再借助仪器，测出∠ACB，∠＝，△中，运用正弦定理就可以求出.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°BCA，两间的距离为_______m.[解析]∠＝180°－75°－45°＝60°，ABAC所以由正弦定理得＝，sinAC²sinC60³sin45°∴＝＝＝6(m)．sinBsin60°即，两间距离为206m.[答案]206【角度三】

两点都不可到达[例3]如两在河的同侧，且两均不可到达，测出的离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，，得CD＝，同时在，两点别得∠BCA＝α，ACD＝β，CDB＝γ，BDA＝δ.在△和△中，由正弦定理分别计算出AC29

和BC，再在△ABC，应用余弦定理计算出.若测得CD＝间的距离．

32

km，∠ADB＝∠＝30°∠ACD＝60°，∠＝45°求A，两[解]∵∠ADC∠ADB＋∠CDB＝60°，ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴＝＝

3.2在△BCD中，∠DBC＝45°，正弦定理，得3DC26BC＝²sinBDC²sin30°＝.sin∠DBCsin45°4在△ABC中，由余弦定理，得AB＝＋－AC²²cos45°333623＝＋－2³³³＝.482428∴＝

64

km.∴，两间距离为

64

km.[随即时演练]1．若在Q北偏东44°50方向上，则Q在的()A．东偏北45°10′方向上B．北偏东45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上解析：选C如所示，点Q在点P的南偏西44°50′的方向上30

33332．海上有AB两个小岛相距10海里从A岛C岛岛的视角，从岛C岛和A岛成75°视角，则B，间距离()A．103海里C．52海里

106B.海3D．56海解析：选D如，＝180°－60°－75°＝45°＝，10BC由正弦定理得＝，sin45°sin60°∴＝6(里，故选D.3．如图，线段，分表示甲、乙两楼⊥BD⊥，从甲楼顶部A处得乙楼顶部处仰角为α＝30°，测得乙楼部D的俯角＝60°已知甲楼高＝24米，乙楼高＝________米．解析：过A作AE(图略，垂足为E，ED＝＝米则AE＝ED24＝＝3(米．tan60°在eq\o\ac(△,Rt)ACE中，CE＝AE²tan30°＝83³

33

＝米，∴＝＋＝＋2432()．答案：4.如图，为了测量河的宽度，在岸边选定两点A，，望对岸的标记物C测得∠＝45°，∠CBA＝75°AB＝120米则河的宽度________米解析：∠ACB＝180°－45°＝60°，AB在△ABC中，＝.sin∠ACBsinCABsin45°1202∴＝120²＝，sin60°1202河宽为BCCBA＝sin75°20(3＋3)米.3答案：3＋5.如图于A处的信息中心获悉其东方向相距40海的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南31

偏西30°距20海的处乙船乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往处援，求cos的值．解：如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，＝20，∠BAC＝120°由余弦定理知，BC＝

＋

－AB²²cos120°＝2800207.ABBC由正弦定理，得＝sin∠sin∠BACABsin∠ACB²s∠BACBC

217

.由∠BAC＝120°，知∠为锐角，27则∠＝.7由θ＝ACBcosθ＝cos(∠＋30°)cosACB30°∠ACBsin30°＝

2114

.

[课时达标检]一、选择题1．从处处仰角为α，B处望A处的俯角为，则α，的系()A．＞βC．＋β＝90°

B．＝βD．＋β＝180°解析：选B根题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图．知α＝β，应选B.2．两灯塔AB与海观察站C的距都等于a，塔北偏东30°，B在南偏东，则A，之的距离()A.2kmC．km

B.3kmD．2akm解析：选A△中AC＝＝km，∠ACB＝90°，＝2akm.3．有一长为10m的坡，倾角为75°在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°则坡底要延长的长(单位：是)A．5B1032

22C．102D．103解析：选C如，设将坡底加长到′时，倾斜角为，eq\o\ac(△,在)ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB中，′，∠BAB′＝75°－30°＝45°AB＝10m，由正弦定理，得10³ABsin45°BB′＝＝sin30°12

22＝102(m)．∴坡底延伸102时，坡的倾斜角将变为30°.4．一船自西向东匀速航行，上10时到达一座灯塔的偏西距塔68海里处，下午时到这座灯塔的东南方向的处则这只船的航行速度()A.

1762

海里/小时B．346海里/小时C.

1722

海里/小时D．342海里/小时PM解析：选A如所示，eq\o\ac(△,在)中，＝，sin45°sin120°68³317∴＝＝346，∴v＝＝6海里小时．425.如图甲船以每小时302海的速度向正北方向航行船按固定方向匀速直线航行当船位于A时乙位于甲船的北偏西105°方向的B处此时两船相距20里；当甲船航行20分钟到达A处，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的处，此两船相距102海里，则乙船每小时航()33

33A．102海里C．30海

B．202海D．302海解析：选D如，连接AB，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)AB，易知∠＝60°，1又易求得A＝302³102＝，∴△A为三角形，∴A＝102.在△AB中易知AB＝45°，∴＝400200－2³20³102³

22

＝，∴＝2，乙船每小时航行302里．二、填空题6．某人从A处出，沿北偏东60°走33km到B处再沿正东方向行走2kmC处，则A，两距离为________km.解析：如图所示，由题意可知＝3，BC＝，ABC＝150°.由余弦定理，得AC＝＋－2³33³2³cos150°49AC＝7.则，两距为7km.答案：7．(四川高)如图，从气球A上得正前方的河流的两岸BC的角分别为67°30°，此时气球的高是46m，河流的宽度BC约________m．用四舍五入法将结果精确到个位考数据67°≈0.9267°≈0.39≈0.6037°≈0.80，3≈1.73)34

解析：过A作BC边上的高AD，为垂足．在eq\o\ac(△,Rt)ACD中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，AC92得BC³sin＝³sin37°≈sin∠ABCsin67°920.92

³0.6060(m)．答案：8．某船开始看见灯塔在南偏东30°向，后来船沿南偏东方向航行30n后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离________mile.解析：如图所示，B是塔，A是船的初始位置是航行后的位置，则BCAD∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，在Rt△ACD中，DC＝sin∠＝30sin60°＝3n，AD＝cos∠＝30cos60°15mile则在eq\o\ac(△,Rt)ADB中，DB＝tan∠DAB＝15tan30°＝3nmile，则BCDCDB15－53＝3mile.答案：3三、解答题9．某地电信局信号转播塔建在山坡上图示，施工人员欲在山坡上A两处测量与地面垂直的塔的，地测得塔顶C的角分别为60°45°又知AB的长为40m，斜坡与水平面成30°，求该转播塔的高度．35

＝，＝，解：如图所示，由题意，得∠ABC＝45°－30°，∠DAC＝60°＝30°.∴∠BAC＝150°，ACB＝15°，∴＝＝，ADC＝120°ACD＝30°，在△ACD中，由正弦定理，得sin∠CADCD＝²sin∠ADC＝

sin30°²40sin120°＝

4033

(m)．403故转播塔的高度为m.310．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求高．解：设B为正东方向一点，AE塔，沿南偏西行走40m后达，即BC40，且∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，如图在△中，ACsin∠ABCsin∠CAB即

AC40＝，sin30°sin135°∴＝2.点ABC作垂线AG此时仰角∠最等于30°.在△ABC中，∠ACB＝180°－30°＝15°AG＝sin15°＝2sin15°＝10(3－1)．36

10－3∴＝²tan＝.3103－3即塔高为m.311．甲船在A处察到乙船在它的北偏东60°方向的B，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的，问：甲船应往什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里？解：设甲沿直线与乙船同时到达点则，，构一个△ABC，如图，设乙船速度为，则甲船速度为3，到达C处时为.由题意BC＝，＝3，∠＝120°.在△ABC中，由余弦定理得AC＝＋－AB²²cos120°∴vt＝＋t＋.a∴vt－－＝，得＝－舍或vt＝.2∴＝.在△ABC中＝＝，∴∠BACACB＝30°.答：甲船应往北偏东30°的方向追乙，此时乙船行驶a海里．12．，，一条直路上的三点BC＝1，这三点分别遥望一座电视发射塔P在A处看见塔在东北方向处见塔在正东方向C处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离．解：如图所示，过、、分作⊥l、⊥、⊥，垂足分别为M、、.设BN，即PQ，＝2，∵＝，37

∴＝BN2，PC＝PQ＝x在△PAC中，由余弦定理得：AC＝

＋

－PA²²cos75°即4＝x4x－2²

6－24

，2＋3解得＝13过作⊥，足为D则线段PD的长为塔到直路的距．∵sin∠BANx，cos∠BAN＝1，∴sin∠CAP－BAN)＝PD＝sin∠＝(x＋1－)＝＋x1x

22

(＋1－)＝

8＋2313

＋

8＋235－23³1313＝

8＋2328－638＋3331753＋＝＋＝53答：塔到直路的距离为km.131.2.2

正余定在角中应三角形的面积公式[提出问题在△ABC中，若AC＝，BC＝，＝60°.问题1：△的高为多少？33提示：＝²sinC＝3³sin60°＝.2问题2：△的面积为多少？38

eq\o\ac(△,S)ABC2sinCsinBeq\o\ac(△,S)ABC2sinCsinB1133提示：＝²³4³＝3.222问题3：若ACb，＝，发现的面积S可直接用ab，表吗？1提示：能．＝sinC2[导入新知三角形的面积公式1(1)＝a²表a边的高．a111(2)＝ab＝bcsinA＝acsin222

B.[化解疑难11三角形的面积公式＝sinC与来的面积公式S＝a²为a边的高的系22为：h＝sinC，实质上bsinC就是ABC中a边的高．三角形的面积计算[例1]在ABC中，已知C＝120°，＝3，＝，eq\o\ac(△,求)的积．AB[解]由弦定理知＝，即

2321＝，以sinB＝，sin120°sinB由于ABAC所以＞，故＝30°.从而＝180°－120°－30°＝30°.所以△的面积1S＝AB²²sinA21＝²23²2²sin30°2＝3.[类题通法1．求三角形面积时，应先根据目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．39

2eq\o\ac(△,S)ABCc＋－²a2sinAsin＝.法二：左边＝2eq\o\ac(△,S)ABCc＋－²a2sinAsin＝.法二：左边＝1112．事实上，在众多公式中，最用的公式是＝absinCsinA＝acsinB，222即给出三角形的两边和夹(其某边或角需求求三角形面积反过来给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．[活学活用1．在△中，若A＝60°，＝，＝3，则c＝________.eq\o\ac(△,S)ABC1解析：由已知得＝²²sinA，eq\o\ac(△,S)ABC1即643＝³16³³sin60°，得c＝16.2答案：2．在△中，若a＝，＝2，＝，其面积等________．＋－4＋－11解析：由余弦定理得cosA＝＝，22³2³416所以sinA1－

315A＝，16于是

11315315＝bcA＝³2³4³＝.22164315答案：4三角形中的恒等式证明问题a－cosBsinB[例2]在ABC中，求证：＝.b－cosAsinA＋－ba－2[证明]法：左边＝b－2bc＝

a－＋22b－＋b2sinBsinB＝＝＝＝边，其中为△ABC接圆的半径．∴＝

a－cosBsinb－cosAsinAsin－sincosBsin－sincosAsin＋－Ccossin＋－Ccos40

＝.ab2abc2abc2＝.ab2abc2abc2aba＝∴

sinBcosCsin＝＝边，(cos≠0)sinAcosCsina－²cossinBb－²cossinA[类题通法解决此类问题要用到三角形中特有的恒等变形公式要到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用．三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解．[活学活用aBcosA在△ABC中，角，，所的边分别为ab，c，求证：－＝－证明：由余弦定理的推论得a＋－＋c－cosB＝，cos＝，22bc代入等式右边，得－＋－右边＝－2－a－＝＝＝－＝左边

.aBcos∴－＝c－

.三角形中的综合问题[例3](浙江高考在中，内角A，，C所对边分别为a，，c，已知b＋＝2acos.(1)证明：＝；a(2)若△的面积S＝，角A的大小．4[解](1)证：由正弦定理得sin＋sinC＝sinA，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋)＝sinB＋AcosB＋cossinB，于是sinB＝sin(－)．又，∈，π)，故0＜－＜π所以＝π－－B或＝A－，因此＝π(舍去)或A＝，所以A2Ba1a11(2)由＝得sinC＝，有sinBsinC＝sinA＝sin＝sinBcosB.4242241

因为sinB≠0，以sin＝cosB.π又，∈，π)，所以＝±.2ππ当＋＝时＝；22ππ当－＝时＝.24ππ综上，＝或＝.24[类题通法]解决三角形的综合问题除活用正弦余定理及三角形的有关知识外般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识．因此，掌握正弦、余弦定理，三角函数的公式和性质是解题关键．[活学活用已知是△ABC中角AC的对边是ABC的面积若4＝＝3，求.1解：∵＝abC，21∴3＝³4³5sinC，2∴sinC＝

32

.而0°<C<180°于是＝60°120°.又b－2cos，∴当＝60°，＝＋－2³4³5cos60°21∴＝21.当＝120°时＝＋－2³4³5cos120°＝，∴＝61故的为2161.42

2.破解多边形中的几何问题1[典](12分)图，在四边中，＝＝AB＝1，2AB²＝，3sin∠BCD5(1)求边BC的长；(2)求四边形的积．[解题流程[规范解答1(1)∵＝＝＝，2→∴²＝AB|²||²cos＝[名师批注→向量数量积运算公式易用错，在中AB和角有时误认为是∠，而不得分．2cos∠BAC1，1∴cos∠BAC＝，BAC＝60°.(3分)2在△ABC中，由余弦定理有：1BC＝＋－AB²²cos∠BAC＝＋－2³2³1³＝，＝3.(6分2(2)由(1)知，在△ABC中有：＝＋，∴△为直角三角形，且ACB＝90°(7分43

eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ACDeq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ACD∴

113＝BC²³3³1＝.(8分222又∠BCDACBACD＝90°＋∠，33sin∠BCD，∴cosACD，(9分55[名师批注利用了诱导公式求cos∠ACD，解时对取正负号要特别注.4∴sin∠ACD＝1cos∠＝，分5∴

114＝AC²²sin∠ACD＝³1³1³＝.(11分2255∴

＝＋＝ABCDeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)ACD

324＋3＋＝2510

.(12分)[活学活用27在△ABC中AB＝2，cosC＝，是上点AD＝，且cos757∠＝.14→→求：(1)∠的大小(2)AD².解：(1)由已知cos∠DBC

5714

，2721cosC＝，而知∠＝，714sinC＝

217

，∴cos∠BDA＝cos(DBC∠)＝

572721211³－³＝，1471472π∴∠BDA＝.3(2)设DC，则AD＝x，＝，设BC＝，x则在△中，由正弦定理得＝，sin∠DBCsin∠BDC∴＝7.在△ABC中，由余弦定理得274＝(3)＋7)－2²3²7x².744

eq\o\ac(△,S)ABCABsinCcosCeq\o\ac(△,S)ABCABsinCcosC→→→解得＝，∴|AC|＝，AD|2，|BC|＝7.→∴²＝AD|²||cos(－)27＝2³7³7

＝－4.[随即时演练]31．已知△ABC的积为，且＝，＝3，A的大小()2A．60°或120°C．120°

B．60°D．30°或150°131解析：选A由＝bcsinA得＝³2³3³sin，222所以sinA

32

，故＝60°120°故选A.ACcosB2．在△中，若＝，则()ABcosA．＝C．＝

B．＝D．以上都不正确ACsinBcosB解析：选C∵＝＝，∴sinBcosC＝sinC.∴sin(－C＝0.又∵－π＜－＜，∴－＝，即＝.3．等腰△ABC中顶角A＝120°，腰长AB1，则底边BC长为________．BC1解析：易知B＝＝30°，由正弦定理知：＝，sin120°sin30°∴＝3.答案：34．三角形的两边分别为3cm,5cm，它们所夹角的余弦值为方程5－x－＝的，则这个三角形的面积.3解析：方程5－－6＝的根为＝，＝，53因此两边夹角的余弦值等于－，545

2222224并可求得正弦值为，5于是三角形面积14S＝³3³5³＝6(cm25

)．答案：5．在△中，若B＝30°，＝3，AC＝，△ABC面积．解：∵＝3，＝2＝30°∴根据正弦定理，有123³AB²sinB23sinC＝＝＝，AC22又∵＞，∴＞，则有解，①当为角时＝60°＝90°，1∴＝²A＝3.eq\o\ac(△,S)ABC②当为角时＝120°，＝30°1∴＝²A＝3.eq\o\ac(△,S)ABC综上可知，ABC的积为2或3.[课达标检测]一、选择题1△中知＝＝eq\o\ac(△,，)的面积为4∠ABC＝cosθ是

)A.

35

3B．－53C．±5

4D．±51解析：选C∵＝AB²∠eq\o\ac(△,S)ABC1＝³2³5³sinθ＝，24∴sinθ＝.53又θ∈，)cosθ＝±－sinθ＝±52．在△中，已知A＝30°，＝，b＝3，则△的面积()46

2eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ABC122eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ABC12A．323B．16C．323或16D323或163a解析：选D在ABC中，由正定理＝，sinAsinBbsinAsinB＝＝a

183³28

＝

3，2又＞，∴B＝60°或120°.当＝60°＝180°－30°－60°＝90°，1∴＝³8³83＝3；eq\o\ac(△,S)ABC当＝120°时＝180°－30°－120°＝30°，111＝ab＝³8³83³163.∴2223．在△中，＝60°＝，＝eq\o\ac(△,S)ABC

32

，则边的长为

)A.3B．C.7D．解析：选A∵

13＝²A＝，22∴＝，由余弦定理可得BC＝

＋

－AB²A＝＋－2³2³1³cos60°3.即BC3.4．△ABC的长为20，面积为10，＝60°，则BC边长等于A．5B6C．7D8

)解析：选C如，由题意得a＋＋＝，①sin60°103，②a＝＋－bccos60°.③47

2sinA82sinA8由②得bc＝40，由③得ab＋c－＝b＋)－bc＝(20－)－3³40∴＝7.5．某人从出发点A向东走xm后B，向左150°向前走m到C测得△33的面积为m，此人这时离出发点的距离()4A．3mB.2mC．23D.3m1解析：选D在ABC中＝³B，2∴

331＝³³3³sin30°x＝3.42由余弦定理，得AC＝＋－AB³³cosB＝3＋9－＝3(m)．二、空题16．△ABC的边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为________31解析：不妨设b＝，＝，cosA＝，3则c－2²cos＝，∴＝又∵sin＝1

A＝

223

，∴外接圆半径为R＝

a392＝＝.222²392答案：87船以4的度沿着与水流方向成1的方向航行河水流速为2km/h，则经过3h，船实际航程________km.解析：如图所示，eq\o\ac(△,在)ACD，AC＝3，＝3，∠＝60°48

1428.1428.1∴＝1248－2³2³43³36，2∴＝，即该船实际航程为km.答案：8．在中＝＋2＝c＋，又知最大角的正弦等于

32

，则三边长________．解析：由题意知a边最，sinA＝

32

，∴＝120°，a＝＋－bccos.∴(－＋－(a－a－．∴9＋＝0，＝舍去，＝∴＝－＝5，c＝－＝3.答案：＝，＝，＝3三、解答题79．在△中，若c＝，＝7，边的中线AD的长，求长.2解：∵是边的中线，∴可设CD＝＝，则＝＝x.7∵＝，＝7，＝，277＋－在△ACD中，有cosC＝，2³7³7＋24在△ABC中，有cosC＝，2³7³2∴

4949＋－449＋x－＝，9解得＝∴＝＝9.2－10．在△中，角A，，C所应的边分别为a，，求证：＝c

sin－sinC证明：法一：由余弦定理a＝＋

－cos，b

＝＋－accosB，得b－＋(cosB－cosA，49

csinCcsinc＝.sinCsinCsinAsinBsinCsinCcsin＝²－²－csinCcsinc＝.sinCsinCsinAsinBsinCsinCcsin＝²－²－＝.即

＝(cosB－bcos)，a变形得

－cosB－cosAa＝＝cosBcos，由正弦定理＝＝ccccsinAsinsinasinAsinB得＝，＝，∴

a

－sinAB－BcossinC＝

sin－sinCsin－sincos－cossin法二：＝＝

sinAsinBcosB－cos，sinCsinCa由正弦定理＝＝，sinAasinB得：＝，＝，由余弦定理推论得，a＋－＋c－cosB＝，cos＝，22bc代入上式得sin－a＋－bb＋－sinCc22bc＝＝

a＋－＋c－222－a－2c∴原等式成立．11．全国甲卷)△的角，B，的对边分别为a，，c，已知2cosacosB＋bcos)＝.(1)求；33(2)若＝7，△的面积为，△的周长．2解：(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcos＋sincos)＝sinC，即2cosCsin(A＋)sinC，50

sinAcosBbsinBsinAcosBbsinB故2sinCC＝.1π可得cosC，所＝.23133(2)由已知得absin＝.22π又＝，所以＝6.3由已知及余弦定理得

－abcosC，故13，从而a＋)＝25.所以△的周长为57.cos－2cosC2－12．在△中，内角，B，的边分别为，，.已知＝.cosBbsinC(1)求的；1(2)若cosB＝，b＝，△的面积．4解：(1)由正弦定理得＝sinA，b＝RsinB，＝sin，cosA－2cosC2－a2sin－sinA所以＝＝，即sincosA2sincosC＝2sincosB－cosB，即有AB＝2sin(＋)，sinC即sin＝2sinA所以＝2.sinAcsinC(2)由(1)知：＝＝，即＝2，又因为＝2，以由余弦定理得：b＝＋asinA11－cos即2＝a＋－³2³解得＝1所c2.又为cos＝所以sin44B＝

1511515.故△ABC的面积为sinB³1³2³＝.42244第课

数的项式递公数列的递推关系[提出问题某剧场有30排座位一有20个位第排起一排都比前一排多2个座．51

问题1：写出前五排座位数．提示：问题2：第n排与n＋排座数有何关系？提示：第n1排比n排座位．问题3：第n排座数a与第＋1排座数能等式表示吗？提示：能．＝a＋n[导入新知如果已知数{的一(或前几且任一项a与的前一项(或前几项)间的n关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．[化解疑难1数列的递推公式是给出数列另一重要形式递公式可以依次求出数列的各项．2．有些数列的通