高中数学 选考易错题 分类解析 10空间直线与平面易错题 含答案

高中数学错题分类解姓：***课：易错题分类解

教：

授时***考空直与面►间直线与平面的位置关系►间角►间距离►单几何体►用三垂线定理作二面角的平面角►点到面的距离►叠问题经易题诊教学反馈教师评本周作建议11,∴EFD=所以二面角——1,∴EFD=所以二面角——的小为经典错题诊预（十考空直与面►间直线与平面的位置关系►间角►间距离►单几何体►用三垂线定理作二面角的平面角►点到面的距离►叠问题经易题诊命角1空直与面位关1题图四锥P-ABCD中是正方形棱PD底面ABCD，PD=DC，是PC的中点，作⊥于点F.证明：平EDB；证明：⊥面EFD；求二面角C—的小考场错解第2）证明：E为的点，∴⊥，∴DF在平面PBC上的射影为又已知EF所根据三垂线定理可得⊥，又⊥，⊥平面EFD专家把脉直在平面上的射影的概念理解错误，只有DE⊥，能得出为DF在面PBC上的射影证明⊥面PBC得出EF为在面PBC上的射影，再利用三垂线定理。对症下药1如图连AC交BD于连∵底面ABCD为正方形，为AC的中点，在PAC中EO中位线，，又EO平EDB，且面EDB，所以平面EDB∵⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，底面为正方形，∴⊥CD，BC⊥平面PCD，∴⊥，又DE⊥，⊥平面，DF在面PBC上的射影为EF又⊥，DF⊥，PB⊥，PB⊥平面；由）知PB⊥，故EFD是面角C——的面角。由2知，DE⊥EF⊥，正方形的边长为a则PD=DC=aBD=

2

aPB=

aPC=a,DE=PC=22

a

,在eq\o\ac(△,Rt)

6PB

.在eq\o\ac(△,Rt)中∠EFD=

..DF32型题）下列五个正方体图形l是正方体的一条对角线，点M、、P分为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号_出所有符合要求2aa的图形序号考场错解由l在MN、、所的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质可得⊥，⊥，⊥，（）⊥面MNP中在底面的射影与MP垂，⊥，⊥面MNP）中取AB的中点，连接、∵在下底面的射影垂直于EN∴⊥∴⊥面MEN∴⊥同⊥，∴⊥MNP中在ADD上的射与垂，⊥，l⊥面；11（）取AA1点E，接，，在面ADD、面ABBA内射影分别与1111MEEP垂，⊥，⊥面MP得⊥；综合知，本题的答案是（专家把脉直与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。对症下药（1中在面ADDABD内射影分别为ADBD而AD⊥MN，111111111B⊥，⊥，∴⊥MNP中若l⊥则取AA的中点，111接ME、l在A内的射影为AD而⊥，⊥，合⊥，得l1111⊥面MEN∴⊥NE,这然不可能∴与不能垂直l与MNP不垂直类似（2）的证明，可与面MNP不直中⊥易证，而∥AC⊥，∴⊥，⊥面）中取AA1中点E，连接ME，可证得⊥MEP，l⊥，理可证l⊥，∴⊥，上知，本题的正答案13型题）如图所示，在正三棱锥—中BAC=30°AB=a，行于、BC的面EFGH分交AB、、、于、、、。判定四边形EFGH的状，并说明理由；设P是AD上的点，当为何值时，平面PBC⊥面EFGH，给出证明。考场错解（）∥平面EFGH，平面ACD平EFGH=HG，∴AD∥，同理∥，∥，理EH∥，四边形EFGH为平行四边形；（）AD中，接BP、，∵为棱锥，所以，⊥，⊥面BCP又由（1）知HG∥AD，∴⊥BCP，P为所求，此时AP=.2专家把脉正棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。对症下药（）∥面EFGH面ACD

面EFGH=HG，∴∥，理∥，所以∥，理EH∥，EFGH为行边形。又—BCD为正三棱锥，∴在底面BCD上的射影是△的心，∴DOBC根据三垂线定理⊥，HG⊥，四边形EFGH为形；（）CP⊥于点连接BP，∵AD⊥，⊥面BCP∴HGAD，∴⊥面BCPHG

面EFGH∴⊥面EFGH在eq\o\ac(△,Rt)APC中∠CAP=30°AC=a,∴

32

a

.专会311321111132111解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a∥α则过作一平β，β

α，再证a∥；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。考思训1如10-5所示的四个正方体图形中、为正方体的四个项点MP分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面的图形的序号____________写所有符合要求的图形序号答案：①③解：①中平面MNP//面AB，∴AB//平面MNP；②中取下底面中心O，中点C，连接NONC，由已知AB//NO，■NC∴■面MNP③中AB//MP,∴AB//平面MNP；④AB■面MNP．∴填①③．2如，正三棱柱ABC-ABC中，是棱BB的点。11111（）证：平AEC⊥平面AACC；111答案：连接C与AC交点F，由条件可得EC=EA，EF⊥，同理=EA，EF111111⊥C所以EF上面AAC，111

平面EC，所以平面A⊥平面AAC.1111（）把面EC与平面ABC所锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金1111棱柱判此三棱柱是否为黄金棱柱明理由。答案延CE交C的长线于点H则有B=BH=AR,∠C=90°∠H=90°所以∠C为面AEC与平面AB所的锐二面角的平面角棱金柱∠CA=60°应CC=

C1

与条件AB=AA矛盾∴此三棱柱为“黄金棱柱（）AB=a，求三棱锥A-AEC的积。1答案：VA-AEC=V-AAC=·EF··AAAC3已正棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直G是侧面PAB的心，E是上的一点，且BE=BC，是PB上一点，3PF=PB，如图3（）证GF⊥平面PBC；

且答案：连接BG并延交于M，由C为APAB的重心，则MG=BM，又由PF=，3∴GF//MP∵AP⊥⊥．AP⊥平面PBC∴⊥面PBC（）证：⊥；4111111111322111111111322答案：在侧面PBC内FD//PC交BCD∵PF=PB,DC=BC.又BE=BC,∴DE=BC.333故BE=DEE为BD的中由PBC为腰三角形△也为等腰三角形∴FB=FD．∴EF⊥．（）证GE是面直线PG与BC的垂线。答案∵⊥面PBC且EF⊥∴⊥BCPG交AB于H则GH=PH过C作GN//AB3交于N，则BN=

13

PB．∵PH⊥AB，∴PG⊥AB，∴PGGN∵PB，BC，NE//PC，PC上平面NE⊥面，PG面33∴⊥，⊥，PG⊥平面，GEC平．PG⊥GE，又由GE⊥BC，∴是面直线与的垂线．命角2空角1型题）如图10-8，三棱锥S—中△是边长为4的三角形，平面⊥平面ABC，SA=SC=2

，、分为AB、的点。证明：⊥；求二面角N—CM—的大小；求点B到面的离。考场错]第2）问过作⊥，过F作⊥交BC于点则NFE为面角——的平面角题只做到处，因为不知E、的置NFE等于多少计算不出来专家把]求面角的大小时，顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算。对症下药（）图，取AC中，接SD，SA=SCAB=BC，AC⊥，且⊥，AC⊥平面SDB。又SB

平面SDB，⊥。（BD的点E接E作EF⊥于续NF∵平面⊥面ABCD⊥AC，∴⊥ABCD，N、分为、的中点，NE∥，⊥，又EF⊥，∴⊥∴∠NFE为面角CM—的面角。NE=SD=2

2

，在正△ABC中，由平面几何知识可求得MB=，eq\o\ac(△,Rt)中tan4∠

EF

2

,∴面角—CMB的小是arctan22；（）eq\o\ac(△,Rt)NEF中，NF=

EF251212133412111111111112121334121111111111∴=CM·eq\o\ac(△,S)

32

3

，=BM·eq\o\ac(△,S)

.设B到面CMN的距离为h,∵

BCMN

=VN-CMB,NE⊥面，∴··，h=eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)CMB

43

.

即点到平面CMN的距离为。32型题）在长方体—BCD中，已知，，=2，、分是线段11111、上点，且。（）二角C——的正切值1（）直EC与FD所成角的余弦值。11考场错]∥∠为EC与FD所成的角11

2

，C1E=，∴∠EE=

1420214

2814

,

∴与所成角的余弦值为。11专家把]缺空间想象能力，中的DF与不行，实际上DF与DE是面直11线。对症下]正一作CG⊥足为G接CCC⊥面ABCD，11∴是G在面ABCD上的射影，由三垂线定理得⊥G。11∴∠是面角——的平面角。11在△中，DAE=90°∴ADE=45°得CDG=45°∴CG=CD∠CDG=2

2.∴∠12∴二面角——的切值为1

22（）长BA至，AE，连接有DC∥EC=EE，四边形EEC是111111111111平行四边形。∴D∥，是∠EDF为EC与FD所的角。1111111在eq\o\ac(△,Rt)F中EF=，eq\o\ac(△,Rt)中E=14，eq\o\ac(△,Rt)中FD=24，以在eq\o\ac(△,E)eq\o\ac(△,)FD中由余弦定理得∠DF=1111

1424224

21.14正解二以A为点，

AB,AD

分别为x轴y轴z轴的正向建立空间直角坐标,则有（32004，）（，2于是1-3，EC=(1,3,2),FD=(-4,2,2).设量n=(x,y,z)为面CDEA的向,则

DE

（，nDEEG

,得x=y=-

z

,令得

=(1,1,-2),向量

=(0,0,2)与面CDE垂,nAA

成的角为面角C——的面角。16EC105EC105c

nn

62ta;3（）EC1与FD1所成的角β，cosβ11ECFD

21.143(典例如四锥P—的底面是正方形⊥底面ABCDAE⊥，EF∥，。证明MF是面直线AB与PC的垂线；若求直线AC与面所角的正弦值。考场错]第2）：（）知PCMF∴AF为AC面EAM内的射影，∴CAF为AC与面所的角，通过解三角形解得sin∠.∴与面所的角的正弦值为。10专家把]直与平面所的角不是就得不出AF为AC在内射影，直线与平面所成的角必须是斜线与斜线在平面内的射影所夹的角，所以找射影是关键。对症下（）⊥面ABCD，⊥，∵底面ABCD为方形，⊥AD∴⊥面得平面PCD⊥平面，

平面，⊥，∴AE平面PCD，∴AE⊥CD，EF∥∥，，四边形AMFE为平形四边形，MFAE，⊥，⊥，⊥，MF为面直线AB与PC的垂线；（）法：接BD交AC于，接，过作OH⊥为垂足，AE⊥，CD⊥∥，EF⊥，⊥面MAE又OH⊥，OH∥，⊥面MAE连接，∠是线AC与平面MAE所成的角，设则，a，eq\o\ac(△,Rt)△PDA,故OH中∠HAO=.AO

ADa1a,ED,PD2

从而eq\o\ac(△,Rt)解法二：以

、

AD

、

分别为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则（，0，（，

9a,10

∴

AF(0,

93a),AB,0,0),设1010

为平面的向量，且=（得面EAM的一个法向量为0，，∴α=。10

=（）专会空间的各种角是对点直线平所组成的穿间图形的位置关系进行定性分析和宣量计算的重要组成部分，空间角的度量都是转化为平722222112222211面角来实现的，要熟练掌握种类角转化为平面角的常用方法，为了实现这种转化，一是靠经验和知识的积累；二是利禄识图和画图的训练；三要以推理为主要依据，求角的一般步骤是出作出要求的角证它符合定义）某一三角形中进行计算，得结果，当然在解选择或填空题时，一些间接方法也经常用。考思训1如图，矩形ABCD中BC=a现沿AC折成二面角——，BD为异面直线、BC的垂线。（）证：平⊥平面ABC；答案：解(1)∵⊥，AD⊥BDAD平面BCDBCAD，又BC上BD，BC⊥平面ABD，BC平ABC故面ABD⊥面ABC．（）为值时，二面角D——为°；答案：∵面ABD上面ABC，作DEAB于E则DE平面ABC，作EF⊥于F，由三垂线定理有AC⊥DF，∴∠为面角D---AC--B的平面角．在eq\o\ac(△,Rt)ADC中，AD=AF．，∴

a

又△∽eq\o\ac(△,Rt)∴aEF=

AF

aa

,在tDEF中,

EF2aDF2

4

2

8

.（）为可值时，异面直线与BD所成的角为60°。答案BM⊥AC于MO作BNAC与FE的长线交于点BMFN为矩形BN⊥DN∠DBN为异直线AC与BD所的角．MF=AC-2AF=

1

,a∴又在eq\o\ac(△,Rt)中cos∠

BNBD

,12

1a

2

,解a

155

.2如图，长方体ABCD—BD中，E、分别为BB、上的点，且AEAB，1111111AF⊥D。1（）证AC⊥平面AEF1答案：在长方体ABCD--ABCD中A为C在平面BA内的射影，AE上A1B，AE⊥A1C同理AF⊥C，∴C⊥平AEF（），，=5M是C的点，求与面AEF所角的大小。111答案为坐原点DA,DC

分别为x轴正方向建立间坐标系，M(2，3，，A1(40，5)，∴面AEF的—个法向量，

AC(AM(由(1)

为平81122211222

C||C|

|42

495

.∴直线AM与面AEF的成的角为arcsin

495

.3

已知四棱锥PABCD，面是边长为的正方形，侧棱⊥面ABCD，、N分为、的中点。MQ于Q，直线PC与面PBA所角的正弦值为如图所示。（）证平⊥面；答案：∵、分别是AD、BC的点，MN⊥AD又平面，∴平面⊥面（）PA的；

33答案：由已知BC⊥平面PBA，∴BPC是PC和面PBA所成的角.∴PC=

PB

可得PA=2.（）二角——的弦值。答案：由（），MN⊥，MN⊥QM.∴∠PMQ是二面角MNQ的平面角由（2）eq\o\ac(△,知)为等腰直角三形.且AM=DM=1.PM5.QM

∴二面角PMNQ的弦值为命角3空距

1010

.1型题）在空间中，与一ABC三所在直线距离都相等的点的集合是（）A．一条直线．两条直线．三条直线．四条直线考错解设点为，P在面ABC上射影为，为P到△三所在直线距离都相等，所以到△的三边直线的距离都相等，即为ABC的心，所以本题中符合条件的点在过且平面垂的直线上，所以选A专把脉在面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个，实任意两个角的外角平分线的交点（我们称其为傍心）也符合到三角形三边所在直线等距离对下药设点为，且P在平面上的射影为，因为到三边所在直线距离都相等到ABC的边所在直线的距离都相等，94561331145613311即为的心或傍心，所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面ABC垂直的直线上，这样的直线有条，所以选D。2．（型例题图10-15在棱长为的正方体ABCD中是方形ABCD11111111的中心，点P在棱上且CC=4CP。11（）直线AP与面B所角的大小（结果用反三角表示11（）点平面上的射影为，证D⊥；11（）点P到平面ABD的离。1考错解第3问：ABCD—BC为方体，AB面BCCB，∴⊥AB，111111∴即为到平面ABD的距离，在eq\o\ac(△,Rt)中BP=1

17专把脉线垂直的判定有误，错解中⊥，BP与平面ABD1不垂直，所以P到平面ABD的离不是BP1正解一如10-16，接BP∵AB⊥面BCCB，AP与平面11BCC所的角就是APB。CC=4CP，=4，CP=1。eq\o\ac(△,Rt)1111中，∠直角，，，BP=17在eq\o\ac(△,Rt)APB中，∠为直角，∠

AB4,BP17

∴∠APB=arctan.17(2)连接AC，，ABCD为正方，⊥C又AA⊥面ABCD，∴11111111111111111⊥O，∴O⊥平面AAPC，于AP1111

平面AOC，∴D1O⊥∵平面DAP的斜线DO在这个平面内的射影是D，D⊥。111（连接平面BCCB中点作⊥于∵⊥平面BCCBPQ111111

平面BCC1∴PQ⊥，⊥面ABC，就P到面ABD的离，在Rt△中，∠QP=90，∠Q=45，=3，∴PQ=1111

32

2.

即点P到平面ABD的1离为

32

2

。正解二以DA、DC、DD分为轴y轴、轴正向建立空间坐标系，∵⊥面BCCB，AP与平面BCCB所的角为APB。CC=4CPCC=4CP=1，111111A（000，，（，，

（，，

PB

∴∠

PB|PB

56133

∴直线AP与平面BCCB所的角为;(2)连接DO，111由1）（0422，4DO（22，因为DAP的线DO在这个平面内的射影是D。111∴⊥；1

O0,

又1011112222222222101111222222222210（）正方体性质不难得出C为面ABD的一个法向量B（4，（，4，0，，∴=(-4,0,-4),BP

C|BPC1

1242

32到BD的23型题）如图0-17，三棱锥—中底△是∠B为角的等腰直三角形又V在底面ABC上射影在线段AC上靠近C点，且面ABC成45°。求V到面ABC的离；求二面角——的小。考错解（）作⊥，足为，接BD，由已知有⊥面ABC，直三角形VBD，为直线VB与

14

VB与底面ABC所的角∠°BD=

2224

V到面的距离等于2。专把脉BD与垂直是错误的≠

2224

错误的原因是缺少函数方程思，VD直计算在本题中做到，而应设未知数，建立方程来求解。对下药（1）图10-18，平面VAC中过作VD⊥于，连接BD，已知VD⊥平面ABC∠VBD为VB与底面所成的角∠°设则eq\o\ac(△,Rt)VAD中VD=VA-AD

=14-）=-x在角三角形中，VDB=90°，∠°=x+8-4

2

22

=x-4x+8.在直角三角VBD中°°，即x+8x-2=x-4x+8,解得x=1或又题意应去∴此VD=

5,

V到底面ABC的离为

;(2)D作OE⊥于连VE,∵⊥面ABC,DE⊥∴⊥∴∠VED为面角V——的面角面中，CB⊥AB⊥，∴∥，1）

AD33DEBC,AC4

在eq\o\ac(△,Rt)VDE中，，∠VDE=90DE

2

，∴∠

10,arctan.33

∴二面角V—AB—的大小为arctan.3专会空间中的距离以点到面的距离为中心内容，大多数距离问题都可以转化为点到面的距离，求法比较灵活，主要有接法。过该点作面的垂线，求出垂线段的长，不过不能只顾作算不出来应利用线面的位置关系判断垂足的位置法：利用三棱锥的体积进行等积变换来求解利用空间向量求解，公式是

d

||

，11AAP2h111111111111111AAP2h111111111111111其中n为面的法量a为该点的平面的一条斜线段所确定的一个向量。考思训1如，知正三棱柱ABCABC的各条棱长都为aP为AB上的点。1111（）确定1PB

的值，使得⊥；答案：过P作PM⊥于M，连CMABC-AC为三棱柱，PM⊥面ABC，PC在底面上的射影为CM，PC⊥，∴CM⊥AB，又△ABC等边三角形，∴M为AB中，P为A的中，

,AB（）1PB

，求二面角P——的小；答案：过作PM⊥AB于N，过N作NQAC于，连结PQ，根据三垂线定理得PQN为二面角

PACB

的平角.PN=

323aa55

，在

Rt△PQN

中，tan∠PQN=

3,PQN.即二面的小a（）（）的条件下，求C到平面PAC的离。1答案：

1

13

ACC

11aa,解hC平面AC距离为.3222

长方体ABCD—D中，，AB=AC=63N为中，为AB的点，为D的中点，如图，11（）点P到平面BMN的离；1答案：如图，平面BMN截方所得的截面为NR∵CD//AB，∴D//平BNR，∴到面BMN的距离等于C到面的距CGB于G∵ABCDABCD为方体，∴G平面B1MN形BCCB中=AA=9C=BC=63N=63∠N=30°∠BG=60°，111

339.2

∴到面MN的距离为1（）PC与面BMN所的。1答案∵PC//MBPC与面BMN所的角等于MB平面所的角B作BH⊥B1N于H，作BH⊥平面BMN，∠BMH为MB与平面BMN所成的角，BH=

92

,3,sinBMH

33.PC平面BMN所角为sin443

已知斜三棱柱ABC—ABC的面，ACC与底面ABC垂，°，BC=2，11111AC=2

，且AA⊥，AA⊥C。图所示。1111（）侧与面ABC所二面角的大小；1122222答案：取AC中D，连AD，∵AA=AC，A⊥AC又侧面A⊥面ABC，AD⊥平面ABC，∴∠为AA与面ABC所成的角，由已知∠°111（）侧A与面ABC所二面角的大小；11答案：作DE⊥，三垂线定理AB⊥，∴AED为侧ABB与面ABC所二面角的平面角又BC⊥AB，∴DE//BC，DE=

BCD∴tan∠ED=

,∴∠A1ED=60°∴面AABB与面ABC所成二面角为60°11（）顶C到侧面的距离。11答案：到平AABB的离是C该平面距离的一半（知面ED⊥平面AABB1，作DF⊥E，则DF⊥平面ABB，又DF=

∴到面AABB的离为

.命角4简几体1型例题如10-22在三棱柱—BC中AB=3M为AA的点，11111P是BC上点，且由P沿柱侧面经过棱CC到M的短路线长为1短路线与CC的点为N1

29

，设这条最求）该三棱侧面展开图的对角线长；PC与NC的；平面NMP与面ABC所二面角锐角）的大小（用反三角函数表示考场错]（问作⊥于N则已知有MN+NP=3+NP=1

29

NP=

29

，此时为CC的点，，1

NC

。专家把]依意是最小值为29而错解中认为最则MN+NP就最,这是错误的对症下](1)三棱柱ABC—ABC的侧面展开图是一个长为，为4的形，其对111角线长为9297

；（）图10-23将侧面BBCC绕棱CC旋120°使其与侧面AACC在一平面上，11111点P运动到的置，连接，则MP就由点沿柱侧面经过棱到M的1111最短路线。设，C=x，在eq\o\ac(△,Rt)MAP中由勾股定理得（3+x）+211

=29，得x=2,∴C=2,1

NCPC24.MA5（）法一：接，就MNP与面ABC的交线，作⊥于H，CC⊥1111平面ABC，连接CH由三垂线定理得，⊥PP，∴∠NHC就是平面MNP与面1131144541111114199221622741222111445411111141992216227412221所成二面角的平面（角eq\o\ac(△,Rt)中∵∠PCH=∠=60°∴2

PC2

、在eq\o\ac(△,Rt)中tan∠

,∠NHC=arctan∴面NMP与面ABC所成二面角CH5（锐角）的大小为。5解法2∵△MPN在△上的射影为△APC设所求的角θ则θ=故平面NMP与面ABC所二面角（锐角）的大小为.41

SSMNP

.2．型例如，直四棱柱ABCD—BD的面为行四边形，其中2，BD=BC=1，=2，为中点，点在DD上且DF=。11（）异面直与A的距离；11（）与BC是否垂直？请说明理由；1（）二面角E——的切值。考场错]第）问：ABCDABCD为四棱柱，∴在面BCCB上射影为CC，1111111而BC与BC不直，∴与BC不垂直。111专家把]把四棱柱看成长方了，实际上，长方体是底面为长方形的直四棱柱，本题中的底面为行边形ABCD—BC不是长方体是说在BCCB111111上的射影不是CC。1对症下]正一ABCD—BCD为四棱柱，∴⊥，DD⊥，DD为11111111AD与的垂线段，=2∴与BD的离为；11111（）BD=BC=1CD=，BCD为等腰直角三角形为CD的点，∴BE⊥，又ABCD—BCD为直四棱柱，BE⊥CDD，BE⊥EF，eq\o\ac(△,Rt)中FDE=90°，111111FD=，4

22

，EF=，eq\o\ac(△,Rt)CE中CCE=90°,EC=,CC=AA=2,∴=,11111在eq\o\ac(△,Rt)FC中∠C°DF=，C=111111

2

，∴FC

8116

∴=EF+EC，∴⊥11EC，⊥面BEC∴⊥BC11

1（）图10-24过E作，过作⊥BF于M连接EM易证得EO⊥面BDF，∴EMO为二在角——D的平面角，∵DBC=90⊥，∥BC，又为CD中∴

12

在△BDF中eq\o\ac(△,，)△∴OM=

12

在eq\o\ac(△,Rt)中tan∠

17

,∴EMO=arctan

17

,∴二面角——的大小为

.(1)同解一；(2)由知可得°DD⊥平面ABCD以1

DA

、

、

分别为轴y,轴的正方向，建立空间坐标系（0，（4

1,,02

（，，011411221122（，，

EF

=

11()224

AD

=（，0，）EFAD

1)EFAD22

又BC，∴EF⊥。111(3)可得平面BDF的一个法向量为

AD,AD

=（，，0（，，111BEEF,,)22

，设平面BEF的一个法向量为由⊥n

11xxz222

,令x=1,得y=-1,z=-4,∴平面的个向量为=

nADnAD|

26

求面角E——的小为

26

.专会棱柱、棱锥、球是几何中的重要载体，学习中除了牢固掌握有关概念、性质、面积体积公式之外，还要灵活运用有关知识进行位置益寿延年断与论证，进而达到计算的目的，在计算时要注意把某些平面图形分离现来运用平面几何的知识来进行计算是体几何中计算问题的重要方法和技巧。考思训1如，四面体的棱长为PQ分别为ABCD上点，且AP=CQ=λ，求出正四面体侧面上从P到的小距离。答案：解析：由对称性知，在侧面上从PQ只需考虑两种情形，即从P到经棱AC或经过棱AD.①当经过棱AC时，图1沿AD把侧展开，λ，AP//CQ.∴四形APCQ为平行四边形，E是PQ的点，PQ=2PE在APE中∠PAE=60°，AP=λ，1弦定理，有PE=∴PQ=

，由余②当经过棱

AD

时，如图2，沿AC

展开，此时PQ=1，又∵λ

1时,当时2

∴的最小值为

1

4

2如斜三棱柱—BC中为AB的点面BC平ABBA，11111111异面直线BC与AB互垂直。11（）证：⊥面ACD11答案：取AB中点D，连结BD、CD可证明CD⊥面ABBA，而CD1111111111111C1111又由垂线定理可得AB⊥BD，CD//C，∴CD⊥AB，AC//BD，∴C⊥AB，⊥面ACD.（）CC与平面ABBA的离1，C=，，求三棱锥A—ACD的积。答案：由（）C1D1⊥平面ABB1A1∴⊥面ABBA，∵平面ABBA，∴到面ABBA的离为CD.为AD的高∴CD=1,在eq\o\ac(△,Rt)ACD中，AC=

,

∴D=

6.

设交AD、DB于点E、F.∵D//DB，AD=DB，∴AE=EF，理EF=FB，∴AE=

1533

A

AAE5,V

1ACDAD333如所，正三棱柱ABC—BC的棱长为2，面边长为1M是的点，111在直线CC上一点N，使MN。11答案：解析：ABCBC为正棱柱MBC中点∴⊥BC，又侧面BCCB⊥面ABC，∴⊥面BCCB∴AB在面BCC上射影为BM要MN⊥AB，只MN⊥即.如图所示建立直角坐标系，M（1111,0),B设Ny),(,y)得y.在C一个等分点处.28）探开题测预角1利三线理二角平角1如10-28正三棱术ABC—BC的所有棱长均相等D是上点，⊥D1111（）二面角C—的大小；1（），直线B与面ADC的距离11解题思路求面角的大小，一般先利用三垂线定理作二面角的平面角，再通过解三角形得出结果面有两个平面要分析过哪个半平面内有一点能方便地作出另外一个半平面的垂线，一般利用“有两个面垂直，在一个面内作交线的垂线，则这条线垂直另外一个面”这个性质来作。本题中可以先证平面ADC⊥面BCCB，过111作CD的垂线，则这条线与平面ADC垂直，再利用三垂线定理出平面角，第）问可11求B到平面ADC的距离。1解答（）图ABC—BC为三柱CC⊥，⊥，⊥面11111B。平面ADC⊥平面BCCB。C作⊥D于，CE平面，E11111116101101作⊥，连接，由三垂线定理知CFE为二面角C——的面角。设AB=a，11D是BC的点CE=

CCCD5ACCC2aaCD1

在eq\o\ac(△,Rt)中，∠,5∴二面角C——的小为arcsin1

105(1)连AC∩=O接DOBDOAB∥面ADCB到面ADC1111111

1的距离等于B到ADC的离B作BHCC的长线于H1面ADC111

1⊥平面BCCB得⊥平面BH为B到的离BH=EC=111125线AB与面的离为115

2

5.55

∴直2

如图10-30，ABCD中，⊥面ABCD，、、分是AB、的点，（）证：直∥平面PMC；求证：直线⊥直线AB；若平面PDC与平面ABCD所的二面角（锐角）θ，束确θ使线是异面直线AB与PC的公垂线，若能确定，求θ的；若不确定，说明理由。解题思路证面平行，先证线线平行，证线线垂直，通过线面垂直转换，这是一般的解题思路，用这种解题思路证1，第（）问先作（或找）出这个二面角的平面角，再通过解方程的方法求θ的。解答（）如图，ABCD为矩形、分别为AB、的点，AM

//

，四边形ARCM为平行四边形，AR∥，∥面。由已知可得⊥AB⊥平面，AB，又为△的中位线，∥，AB平面MNR，AB⊥。∵⊥平面ABCDADDC∴∠PDA为面PDC与平面ABCD所成的二面角（锐角）的平面角，∴θ=∠。（）MN⊥，ABCD，⊥，MN⊥，∴⊥面PCD，∴MN⊥，∴°，在eq\o\ac(△,Rt)中设AD=a，PD=在eq\o\ac(△,Rt)中

a

，PD=2

2cos

NR12MRaNRM,得2cos24

能使直线是异面直线AB、的垂线。预测角度2求点到面的距离1．如图，⊥面，边形是矩形E、分是AB、的点。求证：平面；若二面角P—CD—为45°，AD=2，。求二面角P——的小；求点F到面PCE的离。解题思路过作一个平面与平面相，证明AF与线平行，由于EF为点，所以取PC的中点即可；分别作出P——和—A的面角，求点F到面PCE171151324324B111a0110143411151324324B111a011014341的距离可用直接法，也可以用间接解法。解答（）图，取PC的中点M，连接ME、MF，∵∥，FM=CD，AE∥，2AE=CDAE∥且AE=MF四形是平行四边形∥EM2∵

平面CPEAF∥面。（）⊥平面AC，AD，根据三垂线定理知CD⊥，∠PDA是二面角P—B的面角，则PDA=45°，于是△为腰直角三角形，过A作CE的线交CE的延长线于，接PG根据三垂线定理知∠为面角—EC—的大小为.3解一：AF⊥，AFCD，∴⊥面PCD，EM，∴EM平面PCD，又EM

平面∴面PEC⊥平面在面内作⊥于H则为点F到面PCE的距离，由已知PD=2

2

，PD=2

2

，

，知

32417

，∴F到平面的离为。17解法二：由EM∥，点F到面PCE的离可转化为点A到平面PCE的距离，过点A在面PAG内⊥，AN为点到平面的距离，可算得AN=。172．如图，棱长为a的正方体ABCD—BD中，、F分为AB和BC的1111中点，与BD相于。（）二面角B—B的小；1（）在棱BB上找一点M，使M⊥面B1EF，并证明你的结论；11（）D到面BEF的离。11解题思路面——的面角为B面DDBB⊥面B，11111∴过D作DNB并长交于M利用平面几何的识判断M的置（1111问即求N。1解答（）已知∥，ABCD—BC为正方体，⊥面B，EF111111⊥平面BDDBB为面角B——的面角eq\o\ac(△,Rt)中B=a111111

24

a,∴∠BH

2.

∴∠BHB=arctan2即二面角B——的大小为arctan.(2)由1）EF⊥平面B，平面B⊥平面B，过D作NBH，垂足11111111为，长N交BB于M，得，M⊥平面B，图，建立坐标系，则D（，1111D（1

324

a,0

),设Ma,y）由D⊥得y,∴为BB的点。2（）（）N为D到直线BH的距离，由点到直线的距离可=N=a，∴到11111面BEF的离为a3182232∴二面角A——的大小为2222232∴二面角A——的大小为222预角3折问1．如图，BCD内于直角梯形AD，知三把eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BD、1231△BC△ACD翻折上去，恰好使AA、重于A23123求证：⊥；若D=10A=8，二角A——的小。112解题思路这一个折叠问题，解这一类题的关键是分析折叠前后不变的量，不变的位置关系，利用这些不变来解题，第）问可证⊥面，⊥平面，用三垂线定理可作出二面角——的面角。解答（）如图10-36，平面图形中A⊥ADAB⊥知立体图形中ABAC1112⊥，AB平面，ABCD（）作AE⊥CD于，接BE，⊥平面，∴AEB=θ为面ACD—B的平面角，在平面图形中AB=4AD=A，过作DD⊥A，eq\o\ac(△,Rt)121312331中可得D=6∴A=16。C=A，312323

64217

。在立体图形中

ACD

8(217217

1,sinACD1717在eq\o\ac(△,Rt)AEC中，·∠,在eq\o\ac(△,Rt)中，θ∠17AEB=

AB1717,arctanAE882．如图，知中，AD=BC，∥，，3，6，沿将折成一个二面角—BD—，得AB⊥。（Ⅰ）求二面角A—BD—的小；（Ⅱ）求折后点A到BCD的距离。解题思路先平面图形的性质研究清楚，在立体图形中将垂直关系进行转化，可以得出结果。解答（）平面图形中

+BD

=AB，⊥，⊥，立体图形中，如图10-38，作⊥面BCD于H，连、，交CD于。AD⊥得∠为二面角——的平面角。∵⊥，∴⊥CD，在eq\o\ac(△,Rt)中DE=DB112CE22D//BC,DH3,在RtADH,DCCB2AD3∠°∴二面角——的大小为60°（）（）知AH=ADsinADH=2

332考高解综训1在斜三柱—BC的面中，∠°且⊥，C1作⊥底面111，则在（）A．直线AC上19ABC，正四面体123123．θ+ABC，正四面体123123．θ+θ≤12D解：如图，过A作AA．直线AB上．直线BC上．△的内部答案：B解：连AC，AC⊥AC⊥BC且∩AB=B，AC⊥面ABC，又AC∴一定交线AB上2正四面内任意一点到各面的距离和为一个常量，这人常量是（）．正四面体的一条棱长．正四面体后条斜高的长．正四面体的高．以上结论都不对

平面答案：C解：正四面体的四面都全等，设其面积都为，四面体的高为h，并设正四面体内任一点到四个面的离分别为、、h、h,则V

=

13

1(h)shh.33设是三棱锥—底面ABC的中心，过的平面与P—的条棱或其延长线的交点分别记为Q、、，则和式

11PRPS

满足（）．有最大值而无最小值．有最小值而无最大值．既有最大值又有最小值，最大值不等于最小值．是一具与平面RS位无关的常量。答案：D解：如图，四面体可以分为O为式共顶点，分别eq\o\ac(△,以)PQR、△PRS、△PQS为底的三个三棱锥由知可设QPR=∠RPS=∠又是P-ABC底eq\o\ac(△,面)的中心，O点到三个侧面的距离相等，设为d,则V=V+V+V=

16

11PQPRaPQa6

设PA与平面PBC所成的角为,是VPQRS=VQ-PRS=

1sinPRPQ为量d4直线AB与直二面角α——β的两个地平面分别相交于、B两点，且、线AB与α、β所成的角分别是θ和θ，则θθ（）122

l，果A．0<θθ<π12

．θ+=12

2C．θ+θ>12答案：

22⊥于A，B作BB⊥于B，连结ABAB，则由⊥β,可得AA⊥β，BB⊥a,得∠BAA=θ1，在Rt△AAB

中,cos∠20ABA=111121122，截面贺圆的面积等πABA=111121122，截面贺圆的面积等π）=（R）1181ABB在tABB,sinBABAB

又ABB

,又为锐,0

25已知P为二面角α——β内点且P到α、β及棱l的离之比为：2：，此二面角的大小____________.答案°解过P作PA⊥

PB⊥PA确的平面与l交则l⊥面PAB，∴⊥PC,∠∠为α-l-β的面角，分别算出∠PCA、PCB，二面角的大小为75°6球面上三点A、、，每两点间的球面距离都等于R，中R为的半径，则A、2B、三的截面圆的面积等___________.答案：3

解析：由已知∠AOB=∠AOC=∠∠,∴AB=AC=BC=R，ABC外接圆2的半径为

662R337如图，正四棱锥S—中，是BC的点，点在侧面SCD内及其边界上运动，并且总有⊥。（）明SB⊥；答案∵S-ABCD为四棱锥为的中心SO⊥平面ABCDOB为SB在ABCD上的射影，∵⊥，∴⊥（）出动点P的轨迹，并证明你的结论；答案：如图NG分为SC、DC的点，则的轨为△的中位线GN证明：设H为CD的点，则GH∥，GH⊥平面ABCDGN，在下底央上的射出影为NE，∵ABCD为正形，∴NEAC，由三垂线定理知PEAC.（）轨迹上动点P为顶点的三棱锥—的大体积为V，正四棱锥—ABCD的1体积为，V：等于多少？1答案：△的积为定值，当P在G时，三棱锥P-CDE的体积最大，此时PH=SO，2又

eq\o\ac(△,S)

：

ABCD

=1：4，∴三棱锥P-CDE的大体积是四棱锥体积V的，V：11V=1：8如图，三棱柱ABC—BC底边长为a，侧棱长为111

22

a

，是A1C1的点。（）证BC∥平面B；11答案：如图，连结AB交AB于E则E为AB的中点，又为C的中，DE∥又

面ABD，∴∥平ABD.（）证：平D⊥平面AACC；11答案：∵eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC为正三角形D为AC点，BD⊥AC，又ABC-A为正棱柱，B2112112eq\o\ac(△,S)ABCD1]所求二面角的范围是[AE61212112eq\o\ac(△,S)ABCD1]所求二面角的范围是[AE612⊥平面CCA，又BD平AB⊥平面AACC（）二角A——的小。11答案：过A作AF⊥AD于F，由2）知AF平面ABD，过F作FG⊥AB于G，据三垂线定理AG⊥∴AGF为二角A-AB-D的平角在eq\o\ac(△,RT)D中F=

AAAB

,在eq\o\ac(△,RT)AFG中，sin∠GF=

A2A

∠GF=45°二面角A-AB-D为45.9菱形的AB=5，对角线，BD折得四面ABCD，已知四面体积不小于8，求二面角——的值范围。答案：解：如图：设BD的点，连结、CO则AO=OC=BD，⊥∴∠θ为面角A-BO-C的平角.

AB

且AO⊥=∠·4=8sinθ,V=S23

θ依题意16sinθ8，θ≥又0<θπ∴2

5,666

].10已△中，∠°，BC=CD=1，⊥面，∠ADB=60°、F分是AC上动点，且AD如图。

（λ<1（）证：不λ为值，恒有平面BE