高中数学竞赛模拟试题一汇总

高数赛拟一总

高中学竞模拟题一一

试（考试时：80分钟满分）一、填空（共8小题，

8

分）1、已知,点

(y)

在直线

x

上移动当x4

取最小值,点(y)

与原点的离是。、设

f

为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平之和，比如f

记

f(nf()，1

k

)f(nk

，k1,2,3...

，则

f

2010

(2010)

。3、如图，正方体

ABCD1111

中，二面角

BD1

的数是。4、在

1,2,

,2010

中随机选三个数，能成递增等差数的概率是。5、若正数

a,,c

满足

abba

，则

ba

的最大值是。6在平面直角坐系中给两点

M(和(1,4)点P在轴上移动，MPN取最大值时，P的横标是。7、已知数列

a

0

,a1

,a

2

,...,

n

...,

满足关系

a且0

，则2

ni

1ai

的值是。、函数

f(x)

xxxsinxcosxxxtanxxxcoscotx

在

x()2

时的最小值。二、解答（共题，

14分

）9设数列

{

n

}

满足条件

a1

，且a2

n

n

(2,3,n

)求证：对任何正整数n，都有：

n

n

n

n3

10、已知曲线

:x

2

2

m

，x

为正常数直线l与曲线M实轴不垂，且依次交线x曲线、线于、B、C4

个点，为坐标原点。（1）若

AB|CD|

，求证：AOD的积为定值（2）若的面积等于AOD面的

13

，求证：

|AB|BCCD|4

11已知、是方

4

txtR)

的两个不实根函数

f()2x

的定义域

[

.（Ⅰ）求

(t)f(xf(x);（Ⅱ）证：对于

u(0,i

2

)

(i1,2,3)

，若

sinusinu1

，则

111g(tan)(tanug(tanu)13

6

.5

二

试（考试时：150分钟一本题50分）如图，和O12与的三边所在的三条直线都相切，E,F,,H为切点，并且EG、的延长交于点。求证：直与垂直。

总分：200）PGHA1。2EBCF6

二本题50分）正实数

,z

，满足xyz。证：

55yz55y2z2y

7

f(f()三、（本题50分）对每个正整数平方数）[n不为平方数）{}

n

，定义函数（其中[]表不超过x的最大整数{}xx])

试求：

240

fk

的值。8

四本题分）在世界杯足球赛前

F

国的教练为了考察A,,A,A,,14567

这七名队，准备让他在三场训练比(每场比赛90分中都上场，假在比赛的任何刻，这些队都有且只有一在场上，并

A,,A13

每人上场总时间以分钟为单位)均被7

整除，,AA5

每人上场总时间(以分钟为单位均被13整除如果每场换人的数不限，那么按每名队员场的总时间计，有多少种不的情况？9

35.335.3答案与解一、填空1、。2224

xy

3422

时取最小,

此时x

2

y

2

=

354

。、4。

解：将

f(2010)记做，是有5423758从89开，f是周期为8的周期数列。故nf

2010

(2010)

2005

)f

5

)(895

。3、o。

解连结DC,作1

1

，垂足为延长交于F，则

FEBD

，连结AE，由对称性知

AEBD1

是二面角的平面角ABDA1连结，设AB，则

2,

D1C1A1FE2，在RABD中11BD1AE2AE在AEC中,AE

A

D

B

C120

0

,而是

的补角，

FEA

0

。4。4018

解：三个成递增等差列，设为

aa,

，按题意必满足

2010,

d1004

。

对于给定

可以取L,2010d

.10

bc则bc则故三数成增等差数列个数为

1004

2d)

*1004.三数成递等差数列的率为

d1005*1004C340182010

。5

174

。

解：由条，有，ab令

x,by

；则

a

y,2

,c

2

，从而原条可化为：yzzyxxy令

,tzt

，解得

t

1172

或t

12

，故

bt17az2461.解经过M,两点的圆的圆在线段垂直平分线

y上，设圆为

S()

，则圆的方程为：

)

2

y)

2

2(1

2

对于定长弦在优弧上对的圆周角会着圆的半径小而角度增大所以，当取最大值时，过

M,

三点的圆S必与x轴相切于点P，即圆的方程中的a值必须满足2(1)a3)

解得

a

或

a

.即对应的点分别为P(1,0)和P

，而过点

MN,

的圆的半径大于过

M,

的圆的半，所以

MP'N，故点P所求，所点P的横坐标为

1.11

nnnnn0nix)nnnnn0nix)7、

13

(2

n

3)

.解：设

11bn0,1,2,...,则3)(6)18,annn即

3bn

0.nn

111b2(b)333故数列

1{b}3

是公比为2的等比数列，bn

1111b)3330

n

。nn1nbin2a3iiii

n

、解：1f(x))x

1cosxsinx

(sinxx)

4x)xcottancosxcot（由调和均值不等式

要使上式号成立，当仅当cotx(1)tanxcoscotxsinx(2)（1）（2）得

sinxxcosx

，即得

sinx

。因为

x

2

)

，所以当

x

4

时，

f(x)f()44

。所以

minfx)

。12

abab二、解答9证明：令

0

,则有

a

，且

1

akaak

kk

(k2,)于是

n

kaakk

kk由算术-几何平均值不式，可得

aa2+01Laaann注意到

a01

，可知n

nann

nn

ann

n

，即

A

BPO

A10、解（1）设直线l：

kx代入x

y

2

m

得：(122得：2m2

，设

(

,y

)

，

C(2

，则有

x

bk

，

12

m1

，设

A

3

y

3

)

，

(,)4

，易得：，x1

1

，由

|||

|

，故

||

|x

|

，13

，121122，121122代入得

24(2m)1b()2223

，整理得：

(k

，又

|OA|

b|OD2

|

，

，

S

bm|

为定值.（2）设BC中点为，中点为

则

xx2

，

2

，所以

xP

Q

，P重合，从而

|DP|

，从而

|CD

，又的面积等于AOD

面积的，以3

|BC|

，从而

AB|CD|

.11、解Ⅰ）设

x1

x则4x22

tx1

22

tx0,24(t()x()122

12

则

2xfx)f(x)2x22

()x211(x22

又

1t()x(x)xxfx)f(x)1211故

f

在区间函。1Q4g(t)max(x)minf()f(

f(

(

14

t28tt222t2iii3ii33t28tt222t2iii3ii33

t

2

5251622516（Ⅱ）证)i

216(3)uucosiii2ucos2ui

224166162u169cos2uii

i1,2,3)u)sing)166166iiii

u)iQu且u(0,),i1,2,32i

u)iiii

，而均值不式与柯西不式中，等号不同时成立，

11)g(tanuu)(tanu)312二

试一、证明延长PA交EF于D，则PEG和PHF别是与的线，由梅涅斯定理得：DECGgECGAPDBFAHgPAHB

11L

①②eO1

都是ABC的旁切圆，P15

====1CG(CAAB)BFHF2于是由①②、③得：DEGA

③O

1

G

A

H

O

2AH又RtAGO:Rt1

EBDCF∴

DEGAFDAH

=

AO1AO2而

,O1

三点共线且

OOFEF,2∴

PAx2525二明不等式可形为x552z5

即

xy22y22xy2522z52y

由柯西不式以及可得(

5

2

2

)(yzy

2

2

)

2

xyz

2

2

)

2

(

)

,即同理

x222xy2x22x2zx22y5x2yx2xy2z52yxy2上面三式加并利用xy22xy得x2222x2yxyyzxy2y52yxy216

n22k2k2k2kn22k2k2k2k三、解：对任

,N

*

，若

k2ak

2

，则

12k

，设则

1{}

11a

a2kkk[]aa{}

].让

跑遍区间(k2(

2

）中的所整数，则k

kk[][],{}ii于是

(na

f(a)ii

i

]

……①下面计算i

[

2ki

],

画一张

k

的表，第i行中，是i行中的位数处填“*号则这行“*号共[]个全表“*号ii

2k[]i个；另一面，按列收“*”号数，第j列中，若jT(j)

个正因数，则列使有

(j)

个“”号，故全表*号个数共j

T(j)

个，因此](j).iij示例如下ji

1

3

4

5

61

*

*

*

*

*

*

*

*

*3

*

*17

nn2562{}24025nn2562{}2402545

*6

*则

f()

j

[T(1)

(2)]

(n

1)[T

(4)]

[T

1)

(2n)]iij由此，f(k)Tk(k)]k

……②……③记

a(2k(2),k1,2,

易得