小学数学学习心理学学生

小学数学学习心理学学生第一页，共一百三十九页，2022年，8月28日内容结构先前知识

元认知、非认知因素、儿童心理特征、学习环境、评价……

数学学习论通识知识（主体）

数学概念的理解、数学技能的习得、数学问题解决、数与运算的学习、几何学习、代数学习、统计与概率学习数学学习论拓展问题

（章节后的研讨问题）第二页，共一百三十九页，2022年，8月28日先前知识梳理：元认知问题：

1.什么是元认知？包含哪些成份？其核心成份是什么？各成份之间具有怎样的关系？并举例。

2.培养小学生元认知监控能力的策略有哪些？为什么？并举例。

……第三页，共一百三十九页，2022年，8月28日先前知识梳理：非认知因素为学正如上水船，方平稳处，尽行不妨，及到滩脊急流之中，舟人来这上一篙，不可放缓。直须著力撑上，不一步不紧。放退一步，则此船不得上矣。

——朱熹：《朱子语类》

在科学上面没有平坦的大路可走，只有那在崎岖小路的登攀上不畏劳苦的人，才有希望达到光辉的顶点。

——马克思：《资本论》法文版序言第四页，共一百三十九页，2022年，8月28日先前知识梳理：非认知因素问题：

1.什么是非认知因素？

2.非认知因素对学习有什么作用？

3.描述一个关于非认知因素的教育故事。

……第五页，共一百三十九页，2022年，8月28日先前知识梳理：儿童的心理特征问题：

1.儿童的认知规律？并举例

2.儿童如何对待别人的评价？并举例

3.儿童的心理特点？并举例

……第六页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解什么是数学概念从数学本身的发展看，数学概念一是反映直接从客观事物的数量关系和空间形式，二是反映在抽象的数学理论基础上再经过多级抽象的结果。第七页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解数学概念的基本特征

1.概念发展的抽象性

1）数学抽象的特点：只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；数学的抽象是一级一级逐步提高的，所达到的抽象程度大大超出其他学科中的一般抽象；数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中，如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算，……这样看来，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的（亚历山大洛夫Alexanderlov，1988）第八页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解数学概念的基本特征

1.概念发展的抽象性

2）数学概念并非一开始就是精确的，有一个抽象化和精致化的过程：（拉卡托斯lakatos，1976）产生一个模糊的想法；

尝试对这个想法用语言进行描述；通过形式的定义得到初步的概念；

尝试由定义给出具体的例子、推出某些性质、验证相关定理、寻找等价或者相似的对象；对原先的定义进行修正以排除不合理的推论；

调整、变更或者拓展对概念的理解，以便适应新的可能性第九页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解数学概念的基本特征

2.概念表征的多元性

表征：用某种形式将事物或想法重新表现出来，以达到交流的目的；根据信息加工理论，表征就是以一物代替另一物。第十页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解

数学概念的基本特征

2.概念表征的多元性

莱什等人认为，学生必须具备下列条件才算了解了一个概念：

1）必须能将此概念放入各种不同的表征系统中；

2）在给定的表征系统中，必须能够有弹性地处理这个概念；

3）必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统。第十一页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解

数学概念的基本特征

3.概念理解的层次性

概念抽象的逐步性以及概念表征的多元性，一定程度都反映了数学概念理解的层次性。

数学概念学习可分为五个阶段（克劳斯梅尔Klansmeier，等人）

具体期：学生能理解一个先前经验过的例子；

确认期：可以了解一个之前遭遇的例子，即使这个例子是由不同时空观点或不同形式来观察的；

分类期：能够举出正例和反例；

生产期：可以自行举出关于此概念的例子；

形成期：可以说出此概念的定义。斯根普（skemp）：初级概念（直接由感知得到）

二级概念（初级概念再抽象）第十二页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解

数学概念的基本特征

4.概念联结的系统性

数学概念的前三个特征直接导致了它的第四个特征，即数学概念具有广泛的联系性。这里的联系既包括概念与背景的联系，也包括概念之间的联系；既有纵向的联系，也有横向的联系。因此，数学概念都被嵌入到组织良好的概念体系中。这样，个别概念的意义总有部分是来自与其他概念的相互关系，或出自系统的整体特征（Lesh,1979）。

第十三页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解

儿童产生错误概念的原因及解决办法

错误概念形成的原因可能是：（1）从直接的实际经验或日常生活经验和观察得来；（2）由通常的用语或隐喻的使用得来；（3）由正式或非正式的教学而来；（4）同伴的影响而来；（5）来自教科书的内容或教师的教学过程；（6）由字义的联想、混淆、冲突或缺乏知识。（Sutton&West,1982）第十四页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解

儿童产生错误概念的原因及解决办法

从逻辑上看，错误概念的类型主要有以下三种（Markle&Tiemann,1970）：

儿童错误概念的解决办法：

1.前两种是由于对概念的内涵把握得不够准确，从而缩小或扩大了概念的外延，解决办法：分别找到相应的正、反、特例；

2.第三种则是由于对概念内涵的理解出现了偏离，从而形成了交叉外延，解决办法：必须同时指出交集以外的正反、特例。概念（1）类化不足（2）过度类化（3）概念偏离第十五页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解概念理解的评价途径用于评价学生的概念理解的途径比较多，其中包括测试（包括标准化测试）、问卷、访谈、出声思维，等等。近年来，随着动态评价方式的流行，概念图逐渐成为评价学生概念理解的重要手段，在数学领域也不例外。（1）什么是概念图（conceptmap）概念图最早由美国康奈尔大学的诺瓦克（JosephD.Novak）教授等人于20世纪60年代提出，即用图式的方法来表达人们头脑中的概念、思想、理论等，把人脑中的隐形知识显性化、可视化，便于人们思考、交流、表达。概念图又称为概念构图或概念地图。第十六页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解

概念理解的评价途径

（3）概念图的图表结构节点（结点）：方框中的概念联结线：表示两个概念之间的意义联系联结词：置于连线上的两个概念之间形成命题的联系词概念图软件Inspiration

第十七页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解概念理解的评价途径

（4）概念图计分方法简介成份结构评分法

1）关系：一个有效且有意义的联结关系，给予一分；

2）阶层：每一个有效的阶层，给予五分；

3）交叉联结：概念图中某概念阶层的一部分和另一阶层的部分概念间呈现有意义的联结。一个重要且有效的交叉联结，给予十分，有效但不能指出相关概念（或命题）所组成的交叉联结，则给予两分；

4）举例:根据自己理解，举出特殊且具代表性的例子（非现成例子）。举出一个例子，给予一分。

总分越高，表示学生概念学习越好。其他：相似度评价法（学生与专家的概念图比较）综合评定法（综合运用基于成份和基于专家图匹配的两种方法）第十八页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学概念的理解思考题：数学概念表征的意义何在？根据你的了解，举一个学生数学概念错误的例子，说明属于什么类型，并找出解决办法。根据数学概念的特征和儿童数学概念的形成途径，你认为小学数学概念教学有哪些有效策略？请举例。你认为用概念图评价学生数学概念的掌握情况的优势和不足是什么？根据本专题内容，画出你的概念图。

你还能提出什么问题？第十九页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得什么是技能和数学技能数学技能的基本特征

中小学课程中的数学技能

数学技能的形成第二十页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得什么是技能和数学技能

在认知心理学中，技能一般被看作是按照固定步骤进行，利用常规思路顺利完成某种任务的一种动作或心智活动方式。数学技能是指，在数学学习过程中通过训练得以顺利完成数学学习任务的一种行动方式或心智行动方式。也可以说，是通过数学练习在个体上固定下来的自动化活动方式。据其本身性质和特点，数学技能可以分为操作技能（动作技能）和心智技能（智力技能）两种类型。第二十一页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得数学技能的基本特征

1.数学操作技能的特征

操作性数学技能是指数学活动中由一系列实际动作以合理、完善的程序构成的操作活动方式。三个基本特征：外显性客观性非简约性第二十二页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得数学技能的基本特征

2.数学心智技能的特征

数学心智技能（认知性数学技能），是指借助内部语言在头脑中按一定的、合理的、完善的方式自动地进行数学认知活动的方式。有以下特点：直接对象是抽象的数学概念、命题与表象，而不是具有物质形态的客观对象；主体的变化具有很强的内隐性；心智活动的简缩性；

第二十三页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

1.国外数学课程中的技能美国：注重在课程文件中强调数学技能的是加州数学课程标准与框架（比NCTM更重视），规定在12年的中小学数学学习中必须熟练技能：能正确算出加法、减法、乘法和除法的答案；能正确找出等值的分数、小数和百分比；能运用分数、小数和百分比；能测量；能计算出简单图形的周长和面积；能解释日常生活中遇到的图表；第二十四页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

1.国外数学课程中的技能美国：注重在课程文件中强调数学技能的是加州数学课程标准与框架（比NCTM更重视），规定在12年的中小学数学学习中必须熟练技能：能从日常生活中的一组数据找出中位数和平均数；能运用科学记号表示非常大或非常小的数；能运用基本几何性质，包括毕达哥拉斯定律；能根据已知两点，找出通过这两个点的线性方程式；能解出线性方程式和线性方程式组的解；等等第二十五页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

2.中国数学“双基”之一的数学基本技能数学运算技能：符号操作技能：图形处理技能：数据分析技能：推理论证技能：数学交流技能：第二十六页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（1）数学思维的含义数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。数学思维是一个从外感到内化的交互作用过程，是认知主体将外部材料转化为内部材料的信息增殖过程，也是从感性认识上升到理性认识、从感性材料转化为理性材料以及理性材料不断纯化和多样化的前进过程。

第二十七页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维

（2）数学思维的特点

概括性、问题性（3）数学思维方式

思维方式：是内化于人脑中的世界观和方法论的理性认识方式，是体现一定思维心智方法和思维内容的思维模式。

数学思维方式：就是在数学思维过程中，主体进行数学思维活动的相对定型、相对稳定的思维样式。它是数学思维心智方法与数学思维形式的统一，并且通过一定的数学思维内容体现出来。第二十八页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

1）集中思维与发散思维

集中思维（聚合思维、收敛思维）指调动各种信息（已知的或回忆的），按照常规习惯寻求解决问题、整理知识或总结方法的思维方式。（1）特点

思路集中，所有信息都朝向一个目标深入发展，以生成新信息。在思维方向上具有定向性、层次性和聚合性；在思维内容上具有求同性和专注性。通常较多采用分析、综合、概括等思维心智操作方法。第二十九页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

1）集中思维与发散思维

集中思维（聚合思维、收敛思维）（2）分类

1）定向思维（正向思维）：连续性、渐进性和联结性由定向思维所造成的思维的趋向性或专注性的状态就称为思维定势。思维定势有正迁移和负迁移作用。第三十页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

1）集中思维与发散思维

集中思维（聚合思维、收敛思维）（2）分类

2）纵向思维把思维目标沿着逐步深入的方向分成若干前后联系的小目标（中途点或环节），通过小目标的逐个解决达到解决大目标的思维方式。思维的连续性、渐进性和联结性，但更强调思维环节之间的层次性和因果性。第三十一页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

1）集中思维与发散思维发散思维（辐射思维）（1）特点思路广阔、寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散、派生以形成各种新信息。在思维内容上，具有变通性和开放性；在思维方向上，具有逆向性、侧向性（横向性）和多向性。第三十二页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

1）集中思维与发散思维发散思维（辐射思维）

（2）分类逆向思维：是发散思维的重要形式。思维过程的间断性、突变性和反联结性。侧向（横向）思维：数形结合等多向思维：在数学课堂教学中，多向思维过程主要有三种基本体现形式：一题多解、一法多用、一题多变。第三十三页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维

抽象逻辑思维（1）含义

以词语过程进行表达，以概念、判断、推理为其基本形式，以比较与分类、抽象与概括、分析与综合等逻辑方法为其基本心智操作方法的思维方式。逻辑思维是数学思维的核心。第三十四页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维抽象逻辑思维

（2）基本形式

1）概念：是事物本质属性的反映，逻辑思维最基本的思维形式数学概念形成的思维过程：（对多个数学对象进行）感知辨认——（在人脑中形成）个别表象——（通过）思维加工（从若干思维表象）分化（出它们的）各种属性——（再通过）比较（得出）共同属性——形成一般表象——（并在思维的）抽象概括下，确认（此类事物）本质属性——（最后通过）词语表达形成概念——（部分可）简化为符号形式。第三十五页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维抽象逻辑思维

（2）基本形式

2）判断：是逻辑思维在概念基础上的发展，表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。数学中的判断又称为数学命题，是用语言、符号或式子表达数学判断的语句。如公里、公设、定理等就是真实的数学命题。第三十六页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维抽象逻辑思维

（2）基本形式

3）推理：从一个或几个已知判断推出另一个判断的思维形式。是对判断间逻辑关系的认识。数学推理指由已知的数学命题得出新命题的思维形式，是严格推理，即每前进一步都有依据，由此探寻数学中的各种因果关系，表现出数学逻辑思维的严谨性。最常用数学推理包括演绎推理和归纳推理。第三十七页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维形象思维（1）含义依靠对形象材料（指客观事物的整体在人脑中形成的表象）的意识领会得到理解，以表象、直感和想象为其基本形式，以观察与实验、联想、类比、猜想等为其基本心智操作方法的思维形式。形象思维是数学思维的先导。第三十八页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维形象思维

（2）数学形象思维的基本形式

1)表象：人们对当前没有直接作用于感觉器官的、以前感知过的事物形象的反映。个别表象一般表象数学表象第三十九页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维形象思维

（2）数学形象思维的基本形式

1)表象：表象的两个重要特征：直观性：指表象中重现的事物形象具有一定程度的生动逼真性，与客观事物本身相近似，有“如见其形”之感。概括性：指表象所包含的内容，是同类事物主要的表面特征综合的结果。第四十页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维形象思维

（2）数学形象思维的基本形式

2）直感（insight）：

运用表象对具体形象的直接判别和感知。数学直感是在数学表象的基础上对有关数学形象的特征判别。

A．形象识别直感：用数学表象这个类象的特征去比较具体数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式.第四十一页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维形象思维

（2）数学形象思维的基本形式

2）直感（insight）：

运用表象对具体形象的直接判别和感知。数学直感是在数学表象的基础上对有关数学形象的特征判别。

B．模式补形直感：利用主体已经在头脑中建构的数学表象模式，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。这是由部分形象去判断整体形象、或由残缺形象补全整体形象的直感。几何补形、代数补形第四十二页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维形象思维

（2）数学形象思维的基本形式

2）直感（insight）：

运用表象对具体形象的直接判别和感知。数学直感是在数学表象的基础上对有关数学形象的特征判别。

C．形象相似直感：以形象识别直感和模式补形直感为基础的复合直感。在数学问题解决中表现为问题的变更和转化。例如，做辅助线，配方法、拆添项法、构造法等第四十三页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维形象思维

（2）数学形象思维的基本形式

3）想象：在头脑中对已有表象经过结合和改造，产生新表象的思维过程。想象的基本材料是表象，基本手段是直感。数学想象是似真推理（合情推理）的基本成分。想象的重要性还在于它是创造性思维的重要成分。

讨论：请发表你对数学形象思维的认识和看法。第四十四页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维直觉思维

（1）含义：直觉思维是客观存在的一种思维形式，是一种以高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题实质的思维。（2）主要特征：能在一瞬间迅速解决问题。简约性、创造性、自信力第四十五页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维直觉思维

（3）分类

1）直觉：运用有关知识组块（知识的浓缩、形象的结晶）和形象直感对当前问题进行敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决问题的方向或途径的思维形式。特征：经验性、迅速性、跳跃性（直觉思维的本质特征）、或然性。数学直觉一方面是形象直感的扩大，另一方面是逻辑推理过程的压缩。直觉的跳跃性是逻辑性与非逻辑性的矛盾统一。

第四十六页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

2）逻辑思维、形象思维和直觉思维直觉思维

（3）分类

2）灵感（顿悟）：表现为人们对长期探索而未能解决的问题的一种突然性领悟，也就是对问题百思不得其解后的一种“茅塞顿开”。特征：突发性、偶然性、模糊性、非逻辑性。第四十七页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

高层次数学思维技能目前已成为最活跃的数学教学与研究领域。并无统一定义，被引用最多的是瑞思尼克（Resnick,1987）的研究：思维是处理抽象事物以及发现事物基本原理的过程，不只停留在事实和知识或个别案例的具体水平上。在这个过程中包含了诸如分类、归纳、演绎和推理等心智操作。第四十八页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

高层次数学思维技能可以从五个方面对高层次数学思维加以区分（周超，2003）

深刻性：对数学概念理解透彻，有合理的概念图；……能运用分析、比较、概括等心智操作；……在解决问题后能够主动寻找具有普遍意义的方法、模式，并能够迁移和推广。第四十九页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

高层次数学思维技能可以从五个方面对高层次数学思维加以区分（周超，2003）

灵活性：起点灵活，能从与题目相关的各种角度和方向考虑问题，能运用多种方法解决问题，这些方法在质上不同；思维转向比较容易、迅速，……；思维过程善于转化，很容易化生为熟，……。第五十页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

高层次数学思维技能可以从五个方面对高层次数学思维加以区分（周超，2003）

独创性：独立思考，能从与众不同的“新”角度观察，能在“平常”信息中发现不寻常之所在；……不受常规限制和束缚，富于联想，……思维活跃，经常产生有别于常规、正统、创造性的想法。第五十一页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

高层次数学思维技能可以从五个方面对高层次数学思维加以区分（周超，2003）

批判性：不盲从，不附和，……，能坚持自己合理的看法，但在发现自己的错误时，愿意纠正并接受其中的教训；……能评估信息资源的可靠性，判断从一个结论导出另一个结论的充分性，可以发现他人解题过程或结论中的错误；……能对解题过程全程监控，进行有意识的自我调节，修正过程和结论。第五十二页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

中小学数学课程中的数学技能

3.数学思维（方式）

高层次数学思维技能可以从五个方面对高层次数学思维加以区分（周超，2003）

敏捷性：能较快且正确完成对题目的文字理解；能自觉运用简便方法；……能迅速判别题目模式，从而缩短解题时间：……能迅速判断，在时间紧迫情况下做出是否放弃解决此题的决策。五个方面相互联系、渗透的统一体。深刻性是基础，灵活性和独创性在深刻性基础上发展；批判性以深刻为基础，又直接制约独创性；敏捷性则以其余四个因素为前提，只有正确领会知识、把握问题实质，达到融会贯通，才能有真正的敏捷性。第五十三页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

数学技能的形成

1、操作性技能的形成过程

动作的定向阶段：通过视觉形成为达到某一目的如何展开与调节操作活动的表象与概念，在头脑里初步建立起操作的自我调节机制，通过对“做什么”和“怎么做”的了解而明确实施数学活动的程序与步骤。

动作分解阶段：是操作技能进入实际学习的最初阶段，把某项数学技能的全套动作分解成若干单项动作，在老师的示范下依次模仿练习，从而掌握局部动作的活动方式。第五十四页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

数学技能的形成

1、操作性技能的形成过程

动作的整合阶段：把所掌握的各个局部动作按照一定的顺序联结起来，使形成一个连贯而协调的操作程序，并固定下来。

动作的熟练阶段：是动作技能形成的最后阶段，通过练习而形成的数学活动方式能适应各种变化情况，其操作表现出高度完善化的特点。第五十五页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

数学技能的形成

2、认知性数学技能的形成过程

认知定向：主要让学生了解并记住与活动任务有关的知识，明确活动的过程和结果，在头脑中形成活动本身及其结果的表象。主要任务是在头脑里确定心智技能的活动程序，并让这种程序的动作结构在头脑里得到清晰的反映。

具体化模仿：把在头脑里已初步建立的活动程序以外显的操作方式付诸执行。通常教师采用语言指导和操作提示相结合的方式。第五十六页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

数学技能的形成

2、认知性数学技能的形成过程

言语化模仿：学生运用自己的口头语言表述进行模仿训练，后期，往往通过默想的方式进行。这一活动水平的出现，标志着学生的活动已开始向智力化活动水平转化。

内化：该阶段，学生的智力活动过程有了高度的浓缩和简化，整个过程达到完全自动化的水平。

数学技能自动化的几个显著特点：快速、不费力、自主刻板、无意识。第五十七页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得思考题你认为目前中小学数学教学中，哪些数学思维方式并没有得到足够的重视？为什么？举例说明。你认为促进数学技能形成的重要条件与措施是什么？你如何解读“熟能生巧”？你认为“孰能生笨”、“孰能生厌”吗？你认为如何有效培养学生的数学思维？以形象思维、发散思维为例进行说明在信息时代，哪些数学技能更为重要？如何在小学教学中培养学生的技能？

你还能提出什么问题？第五十八页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学技能的习得

如何解读“熟能生巧”？你认为“孰能生笨”、“孰能生厌”吗？李士锜教授发表于《数学教育学报》三篇文章：

《熟能生巧吗？》《熟能生笨吗？——再谈熟能生巧问题》《孰能生厌吗？——三谈熟能生巧问题》第五十九页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学问题解决数学问题解决的教学目标作为数学教学的三大基本任务之一，数学问题解决的教学担负着数学课程的许多重要目标，主要包括以下四个方面：

1.学生成为优秀的数学问题解决者好的问题解决者应具备的素养（顾泠沅，2003）（1）较为广博的知识，形成很好的数学结构（2）较为丰富的解题经验，并能根据实际情况综合、灵活、创造性地加以应用（3）较好的自我调节能力，敢于坚持，大胆否定，富有信心第六十页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学问题解决数学问题解决的教学目标（4）能自觉抵制和纠正不正确的观念，并逐渐形成“分析和理解（结构和结构关系）”、“观察和思考”的偏好（5）较好的“解题胃口”，并获得真正的乐趣（6）倾向于从结构出发探索事物的数学特征，从而进行抽象和一般化；善于寻找多种解题途径，进而建立新的联系、发现新的元素、形成新的问题（7）倾向于猜想和探索，进而检验猜想、推理论证，或者在反例的基础上放弃猜想；能运用不同策略解决问题，并运用于心的情境，并逐渐形成特定的数学思维模型，包括模型化、抽象化、最优化、逻辑分析、数据推理和符号运用。第六十一页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学问题解决数学问题解决的教学目标

作为数学教学的三大基本任务之一，数学问题解决的教学担负着数学课程的许多重要目标，主要包括以下四个方面：

2.帮助学生增进对数学的理解

NCTM在美国2000年数学课程标准中指出：“解决问题的能力不仅是数学学习的目的，也是一种主要的学习形式。当学生运用问题解决的途径去研究数学内容时，他们可以发展新的数学理解，强化运用所学数学知识的能力。……”

另外，Kilpatrick（1985）,James等人（1993）的研究也表明，问题解决有助于学生的数学理解。第六十二页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学问题解决数学问题解决的教学目标

作为数学教学的三大基本任务之一，数学问题解决的教学担负着数学课程的许多重要目标，主要包括以下四个方面：

3.学会数学式的思维

Schoenfeld认为，要通过问题解决培养学生的数学思维，首先必须选择一个合适的有真正数学味道的问题，这种问题的一个特征是：在解答过程中可以产生新的数学问题，由此得出一连串的数学问题。例：方程和等式之间是怎样的关系？什么是方程？什么是等式？方程是不是等式？等式是不是方程？第六十三页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学问题解决数学问题解决的教学目标

作为数学教学的三大基本任务之一，数学问题解决的教学担负着数学课程的许多重要目标，主要包括以下四个方面：

4.帮助学生形成正确的数学信念

Schoenfeld1994年曾做过一个教学实验：“数学权威在哪里？”学生数学信念的转化进程：老师是仲裁者→数学论断是否正确并不是哪个人说了算，而是数学本身的原因→讨论重点转移到：什么是有说服力的数学论据（首先说服自己；然后说服你的朋友；然后说服你的敌人），明白正确的理解、判断的涵义，学会数学交流→自己寻找证据，而不是依赖老师的仲裁第六十四页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学问题解决

数学问题解决的教学模式目前，数学问题解决教学有以下几种流行模式：

1.样例学习（例中学）

2.学徒式教学

3.基于问题的学习

4.专题学习

5.发现式学习

6.变式教学第六十五页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数学问题解决

思考题影响数学问题解决的主要因素有哪些？查阅资料更多了解数学问题解决的几种教学模式。你认为教学实践中数学问题解决教学存在什么问题？如何解决？举例说明？你认为在数学问题解决教学中如何实现上述四个目标？除了上述问题，你还能提出什么问题？第六十六页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展估算技能与算法思想的形成算数中的问题解决数与运算的教学第六十七页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

2、数概念的形成从心理学研究来看，主要集中在有理数、特别是自然数上，有关无理数和虚数的研究寥寥无几.（Zazkis&Sirotic,2004）有理数概念是学生在小学阶段遇到的最重要也是最复杂的概念之一。

第六十八页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

2、数概念的形成

有理数概念的重要性主要体现在以下方面（Lesh&Lando,1990）：1）从实践方面看，能有效处理这些概念将大大改进儿童理解和把握现实世界中的情况和问题的能力；2）从心理学角度看，有理数概念为儿童提供了一个丰富的领域，使他们能够形成和扩展那些今后智力发展所必需的智力结构；3）从数学的角度看，有理数概念的掌握为以后初等代数运算提供了可靠的基础。第六十九页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

2、数概念的形成

（1）自然数

有关自然数概念的研究主要来自皮亚杰的工作，他认为学习自然数概念的基础是数守恒（numberconservation）的概念。数守恒概念主要有以下三个特点：

1）相互性：(增加部分能抵消减少部分。矮宽和高窄杯）

2）同一性：(水倒入不同的容器）

3）逆反性:(杯中的水倒入不同容器，可再回到原来的杯中)第七十页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

2、数概念的形成

（1）自然数儿童对数概念的认识有三个发展阶段：

1）4-5岁，对数概念无法理解，无法运用一对一的对应关系去建构两组有同样数目的实物，通常用实物的长度是否相同来判定两组数目是否相等2）5-6岁是过渡时期，会运用一对一关系建构同等数，但当这个关系被破坏，便认为两组实物非同数，即无法保留自己建构的同等性，对一对一的关系没有充分理解3）6岁半以后，对数概念真正理解，已经能用各种方法建构同等性。第七十一页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

2、数概念的形成

（2）位值位值是小学阶段比较难学的概念之一，涉及一系列复杂的想法及关系。从20世纪70年代开始，位值概念就是数学教育心理学的一个研究热点，其中一些重要的研究成果包括：

1）贝德纳兹和詹妮弗（Bednarz&Janvier,1982）的研究：学生把“个、十、百”的位值含义更多地根据位值的顺序来理解，而不是根据十倍的分组顺序；学生把借位的含义解释为“删去一个数位，拿走一个，在下一数位上加一”，而不是重新分组的一个手段。第七十二页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

2、数概念的形成

（2）位值

2）整数和小数之间的位值联系（或相似）对学习是有利的，但是儿童通常只注意整数方面的而未能适应小数方面的（Hiebert,1992）例如，0.56大于0.7；0.56读作“点五十六”等；“更多位”的小数更大为了减少位值概念的教学困难，一些教辅工具和软件应运而生：狄氏多层算数积木、

unifix软件

“分群与位值软件”

……第七十三页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

2、数概念的形成

（3）分数

在分数概念形成过程中，有几个关键的因素（Piageteral.,1960）

1）对单位量的认知：一盒鸡蛋10个，能够把1/5盒视为10个鸡蛋五等份中的一份，就是2个鸡蛋；

2）具有等分割的概念

3）理解部分与整体的关系第七十四页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

2、数概念的形成

（4）小数由于小数与分数和整数之间分别具有不少相同之处，小数的学习或多或少受到分数或整数的影响。小数概念形成有两条基本途径：

1）通过分数的“部分与整体”的关系。有限小数是分数的特例；一位小数是记录十分之几的分量；两位小数是记录百分之几的分量；

……

第七十五页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

2、数概念的形成

（4）小数

2）利用整数的位值概念。任何非负整数皆可用展开式表示：a3a2a1a0

在此记录系统下，个位是记录几个一的位置，其位值是1；以个位为基准点，往左一位是十位，记录几个十，位值是10；再往左一位是百位，记录几个百，其位值是100，以此类推，无限延伸……

同样，个位也能向右延伸，将指数范围扩大至负整数。个位是基准点，，向右一位是除以10的结果，再往右扩展一位是除以100的结果……

利用位值往右扩展的结果，有了新符号（小数符号）及新位名的产生：十分位、百分位、千分位……第七十六页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

2、数概念的形成

（5）负数在使用负数和它的运算方面，中国在世界上处于遥遥领先的地位，2000多年前，《九章算术》的“方程”章中就引入了负数概念和正负数加减法的运算法则。印度是628年左右提出负数。而欧洲晚得多，也困难得多，有关“负数是不是数”的辩论延续了几百年后才逐渐取得比较一致的看法：负数和零、正数一样，也是数。在负数概念的教学中，中国学生似乎并没有遇到像西方学生那样多的困难。目前，对于在小学阶段引入负数概念，是否会给学生带来困难并对后继的数学学习产生负面影响，仍然缺乏深入研究。第七十七页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数概念与数意识的形成与发展

3、数意识的形成与发展

数意识（numbersense）的认识和解释并不统一，一些代表性说法

NCTM2000：1）了解数字及其表征的方法、数字之间的关系和数字系统；

2）了解运算的意义亦即运算之间的关联性；

3）流利地计算并做合理的估算。（对运算的要求有了明显提高）中国新课程：1）理解数的意义，能用多种方法表示数；

2）能在具体情境中把握数的相对大小关系；

3）能用数来表达和交流信息；

4）能为解决问题而选择适当的算法；

5）能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。第七十八页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算估算技能与算法思想的形成

1、估算技能的形成

估算（computationalestimation）在西方各国早就是中小学数学的教学内容，中国则是首次在课程标准中出现。（与数学运用有关；与数意识密切相关）

一个好的估算者至少拥有三种策略（Sowder,1992）

1)重组（reformulation）：改变数字数据以方便心算；

2）转换（translation）：把原结构转化成更易处理的形式；

3）调整（compensation）：计算中及计算后，可调整估计值至较接近的近似值。

第七十九页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算估算技能与算法思想的形成

1、估算技能的形成

估算技能形成的影响因素

1）思维的灵活性，对位值、基本的数常识、运算的性质和数字的比较有很好的理解。

2）心算（mentalcomputation）能力与估算能力密切相关。心算不是指在脑中做快速计算，而是要求学生仔细查看题目中的数字，考虑数字的意义，并能了解运算中某一部分的改变会有什么影响。因此，心算需要反省，需要理解数字，进而扩扎对数字的更深入理解。心算是培养数意识和估算技能的方法。

3）估算能力和计算能力之间并没有很高的相关性，研究发现，计算能力强的学生其估算能力并不一定高。第八十页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算估算技能与算法思想的形成

2、算法思想的初步形成

算法（algorithm）一词出现于12世纪。意指以有限的步骤解决数学问题的程序。算法的一般要求可以归纳为五性：

可行性：指算法中每一步都能实现。例如，不能出现负数开方、0作除数等

确定性：指每执行一步后，对于下一步有明确的指示，不允许模糊或多义，保证其“机械性”，可交由计算机执行。（“如果x>0,就将x加上一个正数”，错误，必须指出这个正数是什么）

有穷性：指算法能在有限的步骤内结束

有效性：指每个算法对满足条件的问题能得到正确的结果

普遍性：指能解决一类问题而不是一个问题随着计算机的普及，算法思想显得越来越重要。第八十一页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算估算技能与算法思想的形成

2、算法思想的初步形成

虽然我国数学新课程首次把算法作为正式的教学内容，并且安排在高中，但实际上，算法思想在小学阶段就已经开始渗透。例如，找规律、运算律和运算性质等。在小学阶段学习算法至少有以下理由（Clarke,2005）:1)可以有效解决一类问题；2）是压缩的、一般化的解题程序；3）是程序化的，不明原理仍可掌握；4）可教的；5）教师易于处理和评价。也有研究者指出过早学习算法的不利影响：

1）算法程序常常与人们的思维习惯不一致；2）会诱使学生放弃自己的想法，不利于“原创思想”的培养；3）不利于数意识的形成；4）会使学生盲目接受运算的结果；5）在实际生活中，书面算法很少使用。第八十二页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决小学阶段的数学问题解决研究，特别是有关算术问题的研究，是数学教学心理学中成果最为丰富的一个领域。

1、算术问题的基本类型及其解题策略算术中的问题主要包括自然数、分数和小数的四则运算及其应用题，这里主要讨论算术应用题。（1）加减法应用题（加减法文字题）类型托马斯·P·卡彭特（ThomasP．Carpenter）把加减法文字题分成四类：变化、合并、比较和相等。第八十三页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决1、算术问题的基本类型及其解题策略（1）加减法应用题（加减法文字题）类型变化类型举例结合：康妮有5颗弹子，吉姆又给了她8颗，康妮有多少颗弹子？康妮有一些弹子，吉姆又给了她5颗，现在13颗，原来康妮有多少颗？康妮有5颗弹子，如果她共有13颗，还需要给她多少颗？分离：康妮有13颗弹子，她给了吉姆一些，她现在还剩8颗，康妮给吉姆多少颗？康妮有13颗弹子，她给了吉姆5颗，她还剩多少颗弹子？康妮有一些弹子，她给吉姆5颗，现在她有8颗，原来康妮有多少颗？第八十四页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决1、算术问题的基本类型及其解题策略（1）加减法应用题（加减法文字题）类型合并类型举例康妮有5颗红色弹子和8颗蓝色的弹子，她共有少颗弹子？康妮有13颗弹子，5颗红色的，剩余是蓝的，康妮有多少颗蓝色弹子？

第八十五页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决1、算术问题的基本类型及其解题策略（1）加减法应用题（加减法文字题）类型比较类型举例

康妮有13颗弹子，吉姆有5颗，康妮比吉姆多几颗？康妮有13颗弹子，吉姆有5颗，吉姆比康妮少几颗？吉姆有5颗弹子，康妮比吉姆多8颗，康妮有多少颗？吉姆有5颗弹子，他比康妮少8颗，康妮有多少颗？康妮有13颗弹子，她比吉姆多5颗，吉姆有多少颗？康妮有13颗弹子，吉姆比康妮少5颗，吉姆有多少颗？第八十六页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决1、算术问题的基本类型及其解题策略（1）加减法应用题（加减法文字题）类型相等类型举例康妮有13颗弹子，吉姆有5颗，吉姆要赢多少颗才能与康妮的弹子数相等？康妮有13颗弹子，吉姆有5颗，康妮失掉多少颗才能与吉姆的弹子数量相等？吉姆有5颗弹子，如果他赢得8颗，那么他就会和康妮的弹子一样多，康妮有多少颗？吉姆有5颗弹子，如果康妮失掉8颗，她将会和吉姆拥有的弹子一样多，康妮有多少颗？康妮有13颗弹子，如果吉姆赢得5颗，他将和康妮的弹子一样多，吉姆有多少颗？康妮有13颗弹子，如果她失掉5颗，她会和吉姆拥有的弹子一样多，吉姆有多少颗？第八十七页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决1、算术问题的基本类型及其解题策略（2）乘法应用题类型

尤西斯金和贝尔（Usiskin&Bell，1983）将乘法应用题分为三类：

1）大小改变：原始量x改变大小的比率=改变后的量，如利率问题

2）交叉运用：两个基本单位量相互交叉运算，得到一个复合单位的量，如面积和组合问题

3）比例因子：比例因子x数量=另一个量，其中比例因子如3个/人，60km/h等

第八十八页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决1、算术问题的基本类型及其解题策略（3）除法应用题类型

尤西斯金和贝尔（Usiskin&Bell，1983）将除法应用题分为五类：

1）求同单位量之间的比率：两个意义相同及单位相同的数量比较所得无单位的数值，如倍数、百分率等

2）求异单位量之间的比率：两个不同单位量相互比较，得到一个单位量，如单价、人口密度、速率等

3）除数为异单位之间比率的除法：为乘法比例因子的逆运算，如分物，实践单位转换等

4）除数为大小改变因子的除法：乘法大小改变的逆运算，即已知一数量的倍数或一部分，而求原数量

5）反求因子：为乘法交叉运算的逆运算。

第八十九页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决1、算术问题的基本类型及其解题策略（4）相关解题策略的研究

目前，主要对乘除法应用题的解题策略进行了研究，比如，乘法应用题解题策略的表现层次：直接表征法、过渡型计数法、加法和背诵乘法事实除法应用题解题策略表现层次：直接表征、数值上的加数处理、减法、加减与乘法、分配律。有待进一步研究。第九十页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决2、算术问题的难度分析了解算术问题的难度因素和难度点，可以帮助教师从心理认知角度有效地指导儿童跨越障碍。

1）未知数的位置（变化类型）康妮有5颗弹子，如果她共有13颗，还需要给她多少颗？康妮有13颗弹子，她给了吉姆一些，她现在还剩8颗，康妮给吉姆多少颗？康妮有13颗弹子，她给了吉姆5颗，她还剩多少颗弹子？康妮有一些弹子，吉姆又给了她5颗，现在13颗，原来康妮有多少颗？康妮有一些弹子，她给吉姆5颗，现在她有8颗，原来康妮有多少颗？

未知数的位置越在前面，难度越高。第九十一页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决2、算术问题的难度分析了解算术问题的难度因素和难度点，可以帮助教师从心理认知角度有效地指导儿童跨越障碍。

2）语言的表述（比较类型）

吉姆有5颗弹子，康妮比吉姆多5颗，康妮有多少颗？康妮有13颗弹子，她比吉姆多5颗，吉姆有多少颗？

具有一致性语言的情形易于非一致性语言的情形参照量未知的情形要难于比较量未知的情形

第九十二页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决2、算术问题的难度分析了解算术问题的难度因素和难度点，可以帮助教师从心理认知角度有效地指导儿童跨越障碍。

3）数字的形式（乘除法应用题）研究表明，对于乘法应用题，问题类型对学生的影响不大，数字形式才是关键，特别当乘数是小数的情况，往往会觉得更困难；对于除法应用题，等分除和包含除题型亦会受到数字形式的影响，特别当被除数小于除数时对学生的影响较大。乘法总是变大，除法总是变小第九十三页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决2、算术问题的难度分析了解算术问题的难度因素和难度点，可以帮助教师从心理认知角度有效地指导儿童跨越障碍。

4）问题的结构（除法应用题）

研究表明，学生在解决除法问题时，往往会形成“等分模式”的思维定势；学生的直觉模式是等分除（即将整体平均分成几份，求每一份的数量

）；学生较易接受等分除的概念，但也因此产生许多错误概念，甚至妨碍包含除（即告诉每一份的数量，求能将整体平均分成几份

）概念的理解。第九十四页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决2、算术问题的难度分析了解算术问题的难度因素和难度点，可以帮助教师从心理认知角度有效地指导儿童跨越障碍。

5）单位的变化在数量单位的变化中，除了名称的变化外，还包括维度的变化，这也是造成乘除法问题比加减法问题困难的原因。因为后者只涉及一位空间，但前者可能涉及二维或三维的度量空间，甚至涉及度量空间之间的关系。（林碧珍，1991）儿童甚至于成人一般均避免使用乘除法方法，而比较喜欢以加减运算来解决问题。（Hart,1981）第九十五页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算算术中的问题解决2、算术问题的难度分析了解算术问题的难度因素和难度点，可以帮助教师从心理认知角度有效地指导儿童跨越障碍。

6）问题的表征在算术问题中造成问题表征困难的主要原因是缺乏相应的符号，如未知数符号的使用。“一个数的5倍加4等于24，求这个数”，若将这个数用未知数符号x表示，则问题就转化为简单的计算；而若用算术思维方法，则需要一个逆向思维的过程。第九十六页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数与运算的教学

研究表明，有些内容从来都是被认为难教难学，其中包括分数、小数、比例和百分数（Barnett,Goldenstein&Jackson,1994）。因此，有关这些数学内容的教学也就成为小学阶段学习理论研究的热点，成果也比较丰富。第九十七页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数与运算的教学

1、数与运算教学的认知分析（1）认知层次分数概念学习五个连续层次（Kieren,1992）

1）把分数作为整体的一部分；

2）对一个事先分成若干份的整体，通过数其中一部分的份数而得到分数；

3）把一个整体平均分成若干份，对整体的份数和部分的份数分别进行计数；

4）通过数“份数”对两个异分母的分数求和；

5）根据分数的加法原理，对两个异分母的分数求和。

Kieren认为，分数教学应该按照上述五个层次进行，不同层次之间不能随意“串位”，否则容易造成理解上的混乱。第九十八页，共一百三十九页，2022年，8月28日数学学习论通识知识：数与运算数与运算的教学

1、数与运算教学的认知分析（1）认知层次小数的6个认知层次（Hartetal,1981）：

1）千位数以内的位值概念；

2）一位小数；

3）二、三位小数；

4）与左边的位值关系，如5.13X10的结果与5.13的差异；