第十四章-幂级数

第十四章幂级数形如：的函数项级数称为幂级数。时为主要讨论后者

1.收敛域？2.一致收敛域？

3.和函数的性质？4.函数展成幂函数？“无穷次”的多项式。幂级数是一类特殊的函数项级数。多项式的推广特别§14.1幂级数的收敛半径与收敛域问题：（阿贝尔第一定理）在点收敛，则对满足不等式的一切点x，幂级数都绝对收敛；定理14.1i)若幂级数在点发散，则对满足不等式的一切点x，幂级数都发散。ii)若幂级数定理中的r称为幂级数的收敛半径。收敛区间为对任意给定的幂级数，必存在唯一的r（r满足使得幂级数在绝对收敛，在发散。推论考察幂级数

1）收敛半径都是1；3）(1)在x=

(2)

(3)总之：对每一个幂级数，都存在一收敛半径r，使得级数在内绝对收敛。但在两个端点的收敛性要做专门的讨论。2）都在（-1，1）绝对收敛；例1的收敛半径均发散，故(1)的收敛域为(-1,1).若幂级数：则幂级数的收敛半径r=求幂级数的收敛半径与收敛域。级数为收敛，故收敛域为解:由故收敛半径等于2。当x=2时，级数为，发散；当x=-2时例2定理14.2求的收敛半径与收敛域不能用定理13.3计算收敛半径因此当即故级数发散。于是，级数收敛半径为收敛域为解：这个幂级数的偶次幂的系数但可以用达朗贝尔判别法直接求收敛区域：例3，则对任意b：幂级数在(2)若幂级数的收敛半径为，且幂级数在(3)若幂级数的收敛半径为一致收敛。幂级数在什么地方一致收敛。定理14.4（阿贝尔第二定理）(1)若幂级数的收敛半径为一致收敛；幂级数在一致收敛；且幂级数在收敛，则则幂级数在收敛，幂级数的性质而收敛，根据一致收敛的M判别法，知幂级数在一致收敛。,其中对任意根据一致收敛的阿贝尔判别法知在一致收敛。证明（1）由于（2）已知收敛，而关于n单调下降，且推论1若幂级数的收敛半径为，则它的和证明：由定理13.4知，幂级数在一致收敛，而在连续，因此和函数在连续，由的任意性，知和连续函数在连续。连续，特别地在函数在推论2若幂级数的收敛半径为且幂级数在r

收敛，则连续。特别地它的和函数在若幂级数的收敛半径为

r，和函数为S(x)，即则幂级数在收敛区域区间内部可以逐项微商与逐项积分，即且（2)，(3)中的幂级数收敛半径仍然是r(3)(1)(2)定理14.5（任意次可微）的收敛半径为则其和函数在内任意次可微，且等于逐项微商次所得的幂级数。若幂级数定理14.6幂级数在收敛区间内部可以逐项微商与逐项积分的,对每个幂级数，都存在收敛半径总结幂级数在(-r,+r)内绝对收敛，在发散,但在要具体分析；(i)(ii)(iii)且收敛半径不变；幂级数在收敛区间内部所表示的函数是任意次可微的。前面的讨论，都是从幂级数出发，看它所表示的函数（和函数）具有什么性质。本节从函数出发看它能否用幂级数表示。从而用幂级数这个工具研究函数。收敛到函数如果幂级数在1.满足什么条件,就可以展开成幂级数？2.若可以展开的话，展开式是什么形式？§13.3函数的幂级数展开定义问题：即则称在可以展开成幂级数；如果则称在可以展开成幂级数。(唯一性)在那么必有（ii）如果函数在可以展开成（i）如果函数可以展开成幂级数幂级数展开的唯一性定理13.7幂级数那么系数满足为的麦克劳林级数，称为在的泰勒级数。Taloy级数与麦克劳林级数通常称若一致有界，即存在，使则在可以展开成幂级数定理13.8的各阶微商在证明：用拉格朗日余项初等函数的幂级数展开（i）

ex

的展开式：（ii）sinx

和conx

的展开式：（iii）幂函数的展开式：（iv）对数函数ln(1+x)的展开式：已知根据逐项微分定理，得：例3两边乘以得再逐项微商，有这样，通过逐项微分，我们可以得到许多新的级数展开得还可以计算很多特殊数项级数的和。在上面两个级数中，令二、求幂级数收敛域的方法•

标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.内容小结•求部分和式极限三、幂级数和函数的求法求和•

映射变换法逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•

数项级数求和四、函数的幂级数和付式级数展开法•

直接展开法•间接展开法练习:1.

将函数展开成

x

的幂级数.—利用已知展式的函数及幂级数性质—利用泰勒公式解:1.函数的幂级数展开法习题例1.

若级数均收敛,且证明级数收敛.证:

则由题设收敛收敛收敛例2.设正项级数和也收敛.提示:

因存在N>0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n>N时例3.设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示:

对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取例4.

求幂级数法1

易求出级数的收敛域为例5.解:

分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵原级数=∴其收敛半径注意:补充题例1.设,将f(x)展开成x

的幂级数,的和.(01