第五章大数定理和中心极限

第五章大数定律及中心极限定理概率统计是研究随机变量规律性的数学学科，而随机现象的规律性只有对大量的随机现象的考察中才能显现出来，研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理的研究，极限定理的内容非常广泛，本章只讨论大数定理和中心极限定理。第一部分

大数定律一、契比雪夫不等式三、基本定理二、典型例题四、小结一、契比雪夫不等式证明取连续型随机变量的情况来证明.

切比雪夫不等式.,,)()及(成立不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理εXDXEX得契比雪夫不等式的含义契比雪夫不等式用于估计X落入区间(E(X)-,E(X)+)的概率.当方差D(X)很小时,X落入区间(E(X)-,E(X)+)是大概率事件;X落入区间(E(X)-,E(X)+)之外是小概率事件..,,)()及(成立不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理εXDXEX例5-1

设X是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定=2,2.5,实际计算P{|X-E(X)|},并验证契比雪夫不等式成立.解:X的分布律为所以故二、典型例题例5-1

设X是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定=2,2.5,实际计算P{|X-E(X)|},并验证契比雪夫不等式成立.|X-7/2|5/23/21/21/23/25/2123456X1/61/61/61/61/61/6P若=2,则P{|X-E(X)|}=P{|X-7/2|2}=1/3

可见契比雪夫不等式成立例5-1

设X是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定=2,2.5,实际计算P{|X-E(X)|},并验证契比雪夫不等式成立.|X-7/2|5/23/21/21/23/25/2123456X1/61/61/61/61/61/6P若=2.5,则P{|X-E(X)|}=P{|X-7/2|2.5}=1/3

可见契比雪夫不等式成立例已知随机变量X的期望E(X)=100,方差D(X)=10,估计X落在80到120内的概率.解定理5-2（贝努利大数定理）三、基本定理关于贝努利定理的说明:

故而当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.独立同分布随机变量序列设随机变量序列X1,X2,…,Xn,…是相互独立的,若对任意的n>1,

X1,X2,…,Xn是相互独立的,且所有的变量Xi又具有相同的分布,则称X1,X2,…,Xn,…是独立同分布随机变量序列。定理5-3（独立同分布随机变量序列的契比雪夫大数定律）契比雪夫定理的特殊情况表达式的意义证明由契比雪夫不等式可得则关于定理5-3的说明:（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下,n个随机变量的算术平均,当n无限增加时,几乎变成一个常数.定理5-3的另一种叙述:.

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1221mmsm¾®¾====å=PnkkkknXXnXkXDXEXXX即依概率收敛于则均值和方差：且具有相同的数学期望相互独立设随机变量LLL四、小结两个大数定理契比雪夫不等式贝努利大数定理契比雪夫定理的特殊情况频率的稳定性是概率定义的客观基础,而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.第二部分中心极限定理一、问题的引入二、基本定理三、小结正态分布在概率论与数理统计中占有很重要的地位，在自然界与工程实践中经常遇到大量的随机变量都是服从正态分布的.在某些条件下，即使原来不服从正态分布的一些随机变量，它们的和的分布当随机变量的个数无限增加时也趋于正态分布。在概率论中，把有关论证随机变量和的极限分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理。一、问题的引入二、基本定理定理5-4（独立同分布的中心极限定理）定理5-4表明:.,数标准正态分布的分布函的分布函数收敛于随机变量序列当nYn¥®注：1、注：2、例5-3

对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击的命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求这100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.解设Xi(i=1,2,…,100)为第i次射击时命中目标的炮弹数，由于100次射击时命中目标的炮弹数为则由题意Xi(i=1,2,…,100)同分布且相互独立，

E(Xi)=2,D(Xi)=1.52则由定理5-4可知，随机变量近似服从标准正态分布则例5-4

某种电器元件的寿命服从均值100（单位：小时）的指数分布，现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率.解设Xi(i=1,2,…,16)为第i只电器元件的寿命，由于16只电器元件的寿命总和为则由题意Xi(i=1,2,…,100)同分布且相互独立，

E(Xi)=100,D(Xi)=1002则由定理5-4可知，随机变量近似服从标准正态分布则证明根据前面伯努利大数定律定理5.5(德莫佛－拉普拉斯中心极限定理)ZnZnZn根据定理5-4得定理表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.Zn结论：在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p.则当n充分大，近似服从于正态分布解例5-5根据定理5-5，服从标准正态分布练习某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.练习

某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求