第十一章傅里叶级数

二元函数在某点处连续，偏导数存在的判定；多元数值函数的梯度；二元函数的极值；多元函数隐函数求偏导；二重积分的比较；交换二重积分累次积分次序；二重积分在直角坐标系下的计算三重积分的计算；求立体体积；重积分对称性；2013-2014高等数学第二学期期末考试考点第一类曲线积分的计算；第二类曲线积分的计算；第一类曲面积分的计算；第二类曲面积分计算；高斯公式，向量函数的散度；斯托克斯公式；数项级数敛散性判断（含绝对收敛和条件收敛）；幂级数的收敛半径，收敛域及和函数；函数的幂级数展开；将函数展成以

为周期的傅里叶级数；周期2l的傅里叶级数的和函数。情况一：设

f(x)是周期为2的周期函数21.将函数展成以

为周期的傅里叶级数；情况二：设

f(x)是定义在[–,]上的函数情况三：设

f(x)是定义在[0,]上的函数(可展成正弦或余弦级数)情况一：设

f(x)是周期为2的周期函数

f(x)的傅里叶级数在收敛,且有

x

为间断点其中为f(x)

的傅里叶系数

.

x

为连续点的傅里叶展开式为即：的间断点连续的点以及满足结论：例.

设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:满足收敛定理的条件.(-,

)的奇函数,因此根据收敛定理可得f(x)

的傅里叶展开式为:故f(x)

的傅里叶级数为:周期延拓收敛定理其它

x

间断

x

为连续点注：有相同的傅里叶级数x

为间断点

x

为连续点情况二：设

f(x)是定义在[–,]上的函数傅里叶展开式为：即：的间断点以及中连续的点以及中满足的使等号成立的端点例.

将函数展成傅里叶级数.并求解:

先求傅里叶系数根据收敛定理可得f(x)

的傅里叶展开式为:故f(x)

的傅里叶级数为:注：正弦级数和余弦级数

对奇函数f(x),其傅里叶级数为对偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为傅里叶级数f(x)在[0,]上展成傅里叶级数余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成情况三：设

f(x)是定义在[0,]上的函数将则有作偶延拓,例.

将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:

先求余弦级数.根据收敛定理可得f(x)

的傅里叶展开式为:故f(x)的傅里叶级数为:将f(x)作奇延拓,再求正弦级数.根据收敛定理可得f(x)的傅里叶展开式为:故f(x)

的傅里叶级数为:注：一定要分清三个概念:傅里叶级数、和函数、傅里叶展开式若f(x)是奇偶函数，求傅里叶系数一定要利用定积分的对称性结论简化计算求s(x)是通过f(x)的表达式来求的将f(x)展成傅里叶级数,一定要注意x的取值范围：

（1）要属于f(x)的定义域（2）包含定义域中除端点外所有连续的点（3）包含满足“等式”的间断点和端点21.周期2l的傅里叶级数的和函数情况一：设

f(x)是周期为2l的周期函数

x

为间断点

x

为连续点x

为间断点

x

为连续点情况二：设

f(x)是定义在[–l,l]上的函数例：设

的傅里叶级数在答案:

B是以为周期的函数,在上则处收敛于二元函数在某点处连续，偏导数存在的判定1)函数或有的极限不存在.证明函数极限不存在:

以不同方式函数趋于不同值(常用的趋近方式为直线式)证明函数极限存在:

换元或夹逼准则先代后求:先求后代:利用定义:例如：分段函数分段点例如：初等函数定义区域的内点例如：上述两种例子情况均可、函数式复杂2)某点处偏导数存在的判定:应该用法一和法三提示:

利用故f

在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续性及偏导数存在性.例.讨论法一:偏导存在性:法二:（A）连续,偏导数存在,例：二元函数在点(0,0)处（）（B）连续,偏导数不存在,（C）不连续,偏导数存在,（D）不连续,偏导数不存在,答案：C2.多元数值函数的梯度•三元函数在点•二元函数在点梯度为:梯度为:例.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z

具有轮换对称性(92考研)15.向量场的散度设散度:则例:设矢量场23.二元函数的极值（1）具体二元函数求极值（2）实际问题求二元函数的条件极值可以结合变力做功等第二类的曲线积分综合考察（1）具体二元函数求极值第一步利用必要条件在定义域内找驻点.第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.时,具有极值定理

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数例.求

的极值。解：先求函数的驻点.解得函数为驻点为

在取极大值在取极小值（2012考研题）例.求

的极值。（2013考研题）答案:（2）实际问题求二元函数的条件极值(a)简单问题用代入法转化为无条件极值问题.(b)一般问题用拉格朗日乘数法求一元函数的无条件极值问题引入辅助函数一定要合理转换目标函数:非负可平方、可取倒数等要注意解方程组的技巧：一般先得出自变量的关系再代入约束条件隐函数求导方法：方法1.利用复合函数求导法则方程两边直接关于自变量求导,要把因变量看成自变量的函数方法2.利用隐函数定理的求导公式4．多元函数隐函数求偏导注：两种求导方法中方程所确立的隐函数中因变量的地位是不一样的例.设解法1利用隐函数求导再