第2章汇交力系与力偶系(胡文绩)

理论力学第2章平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系和平面力偶系是平面力系中两种基本力系，它们的理论是研究复杂力系的基础。本章将研究平面汇交力系和平面力偶系的合成与平衡问题。

2.1平面汇交力系

所谓平面汇交力系，是指各力作用线位于同一平面内且汇交于一点的力系。本节将用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成和平衡问题。设有作用于刚体上、作用线汇交于一点A的四个力F1、F2、F3、F4，如图2-1a所示。

1．平面汇交力系的合成与平衡――几何法

由力的可传性和力的三角形法则合成一合力FR，如图2-1b所示。图2-1c所示显示，合力矢与各分力矢的作图顺序无关。

上述方法推广到由n个力组成的平面汇交力系的情况，得结论如下：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过各力作用线的汇交点，其大小和方向可由力矢多边形的封闭边来表示，即等于各力矢的矢量和。矢量式为

FR=F1

+F2

+------+Fn=∑

F(2-1)

各力矢与合力矢构成的多边形称为力矢多边形,表示合力矢的边称为力矢多边形的封闭边，用力矢多边形求合力的几何作图规则称为力的多边形法则，这种作图方法称为几何法。

所以，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力矢构成的力矢多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零。有矢量式为或

根据封闭的力矢多边形的几何关系，用三角公式求解所需量的方法，称为求解平面汇交力系平衡问题的几何法。

例2-1

门式刚架如图2-2a所示。在C点受到力F=30kN作用，不计刚架自重，求支座A、B的约束力。

解：刚架受三力作用平衡。受力图如图2-2b所示。选取适当的比例尺，作出自行封闭的力矢三角形，三角形的形状如图2-2c所示。量得这种方法称为图解法。

由图2-2b可知再参考图2-2c，亦可由三角关系计算出2．平面汇交力系的合成与平衡――解析法解析法是建立在力在坐标轴上的投影的基础上，下面对这一概念加以分析。1）力在直角坐标轴上的投影（2-3）

即力在某轴的投影等于力的大小乘以力与坐标轴正向间夹角的余弦。力的投影是代数量正负看夹角：当夹角是锐角时，力的投影为正；当夹角是钝角时，为负。

力的解析表达式

(2-4)其中i、j分别为x、y轴的单位矢量。

力F的大小和方向余弦分别为

(2-5)2）平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法是以下述合力投影定理为依据的。

设有n个力组成的平面汇交力系汇交于O点，在O点建立平面直角坐标系oxy，如图2-4a所示。

由平面汇交力系合成的几何法，已得出由合力和力系中各力在x、y轴上的投影比较二式等式两边，可得（2-6）

合力的大小和方向（2-7）

由式（2-6）得合力投影定理：合力在某轴上的投影，等于其分力在同一轴上的投影的代数和。

解：建立直角坐标系Oxy，合力在坐标轴上的投影为上述投影定理不光对力矢适应，对其它矢量也同样适应，那么相应的矢量投影定理可表示为：

合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。

例2-2

刚体受汇交于一点O的四个力作用，各力大小分别为F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，方向如图2-5所示。试求合力的大小和方向

。合力的大小方向余弦为则合力与x、y轴的夹角分别为合力作用线过汇交点O。3）平面汇交力系平衡的解析法从前面知道，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力等于零。由式（2-7），则有亦即

（2-8）

平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在各个坐标轴上投影的代数和分别等于零。式（2-8）称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

例2-3

将例2-1用解析法求解。

解：建立直角坐标Axy（图2-6），列出平面汇交力系的平衡方程，有，，

其中

算出

例2-4

简易起重机吊起重量W=20kN的重物，如图2-7a所示。重物通过卷扬机上绕过滑轮B的钢索吊起，杆件的A端铰接在固定架上，B端以钢索与固定架连接。A、C、D三处均为铰链约束。不计杆件AB、CB和滑轮的重量及摩擦，不计滑轮尺寸。试计算钢索BC和杆件AB所受的力。

解：由于不计杆件的自重，两根杆件都为二力杆，均沿杆受力。以滑轮B为研究对象。其受到的力方向假设如图2-7b。根据平面汇交力系的平衡方程通过以上分析，可以把平面汇交力系平衡问题的解题步骤归纳如下：（1）由题意选好研究对象。（2）分析研究对象的受力情况，画受力图。（3）几何法：选取适当的比例尺，画封闭的力多边形，用比例尺和量角器量出未知量，或者用三角公式计算；解析法：建立直角坐标系，用平衡方程求解。2.2平面力对点之矩的概念与计算力对刚体的作用效应有两个：移动和转动力对刚体的移动效应用力矢来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量。即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。1.力对点之矩如图2-8，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。

平面问题中力对点之矩的定义如下：

平面力对点之矩是一个代数量，它的大小为力的大小与力臂的乘积，它的正负可按如下方法确定：力使物体绕矩心作逆时针转动时，矩为正；反之，为负。力对点之矩的记号为

计算公式是

（2-8）

或

（2-9）

力矩的单位常用N·m或kN·m讨论：当力的作用线过矩心时，因力臂为零，则力矩为零；当力为零时，矩为零。

2.合力矩定理合力矩定理:平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数和。即（2-10）

证明：

设作用于A点的力F1和F2的合力为FR(图2-9)

由合力投影定理有Od=Ob+Oc

MO(F1)=2△AOB

面积=OA·Ob

MO(F2)=2△AOC

面积=OA·OcMO

(FR)=2△AOD

面积=OA·Od

由公式（2-9）可知

则：

MO

(FR)=MO

(F1)+MO

(F2)证毕

例2-5作用于齿轮的啮合力Fn=1kN，节圆直径D=160mm，压力角（图2-10a）。试求啮合力n对轮心O的矩。解：（1）应用力矩计算公式

力臂

则

（2）应用合力矩定理将啮合力Fn分解为圆周力Ft合径向力Fr（图2-10b），有

例2-5

简支梁AB受按三角形分布的荷载作用，如图所示。荷载的最大值为q，梁长为l。试求合力及合力作用线的位置。

解：A处选为坐标原点，距A端x的微段dx上，作用力的大小为q`dx，其中，q`为该处的荷载强度。由相似三角形的关系，有因此，合力F的大小为合力作用线的位置由合力矩定理得

计算结果说明：合力大小等于三角形分布荷载的面积，合力作用线过三角形的几何中心。

2.3平面力偶理论1.力偶与力偶矩在生活和实践中，我们常见到一些物体同时受到大小相等、方向相反、作用线不共线的一对力作用的情况。例如，汽车司机用双手转动方向盘（图2-12）、两根手指拧水龙头开关、两个工人开、合水闸门等等。

力学中，把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶。记为（F，F＇）。

两力作用线所确定的平面称为力偶的作用面。两力作用线建垂直距离称为力偶臂。

力偶是作用于刚体上的一对力。

力偶性质如下：

1）力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本的物理量。2）力偶要产生转动效应。力偶的转动效应可用力偶矩来度量。力偶矩的大小为力与力偶臂的乘积

。由图2-12可知，力偶的两力对平面内任意点O之矩的代数和就是力偶矩，即由此可见，力偶极的大小与力及力偶臂的大小有关，而与矩心的位置无关。

大小为（2-11）

力偶矩符号为结论：平面力偶矩是代数量，其绝对值等于力与力偶臂的乘积。正负号表示力偶的转向，其规定与力矩相同：力偶使物体的转向为逆时针时取正，反之取负。力偶矩的单位是牛顿·米（N·m）。

由图2-12可见，力偶矩的大小也可用三角形面积的两倍来表示，即（2-12）

2.同平面力偶的等效定理定理：同平面内的两个力偶，若力偶矩相等，则两力偶彼此等效。

两个推论：

（1）力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对刚体的作用；（2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对刚体的作用效应。力偶的三种表示

3.平面力偶系的合成与平衡作用面共面的力偶系称为平面力偶系。

①求平面力偶系合成------合成就是求合力偶矩。设同平面内有两个力偶（F1、F1`）、（F2、F2`），力偶臂分别为d1、

d2，如图2-14a所示。

其力偶矩分别为

取任意线段AB=d，如图2-14b所示，在保持各力偶矩不变的条件下，让

合成为一个合力偶（图2-14c）有

可见，F、F`大小相等、方向相反，是原来两个力偶的等效力偶，其力偶矩为即：合成的结果是一个合力偶，合力偶矩为原来两个力偶矩的代数和。推广到n个力偶组成的平面力偶系，有

（2-13）

即：平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。②求平面力偶系的平衡

平面力偶系平衡的必要充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。

即

（2-14）

上式称为平面力偶系的平衡方程，利用它可以求解一个未知量。例2-6

已知两个同平面的力偶作用如图2-15所示，求力偶的合效应。解：力偶的合力为零，合效应即为转动效应，其力偶矩为

方向为逆时针。例2-7

在简支梁AB上作用一力偶矩的大小为M的力偶,如图2-16a所示。梁长l，不计梁自重。求支座A、B处约束力。

解:

取AB梁为研究对象。作用于梁上的力只有矩为M的力偶和支座A、B处约束力。

根据力偶只能与力偶平衡的性质，故A、B处约束力均为竖直，而指向相反，假设如图2-16b

所示。由平面力偶系的平衡方程

方向与假设相同。

例2-8

如图a所示结构中各构件自重忽略不计，在构件AB上作用一力偶，其力偶矩为500kN·m，求A、C两点的约束力。

解：构件BC只在B、C两点受力，处于平衡状态，因此BC是二力杆，其受力如图b。AB构件在铰链A、B处的一对作用力FA、构成一力偶与M平衡（图c）。

由平面力偶系的平衡方程

得

二力为正值，其实际受力方向与如图c所示一致。根据作用力与反作用力的关系，可知，方向如图b所示。

1.已知物体受