第二十六讲相似

第二十六讲相似、投影与视图1.了解:平行投影、中心投影、主视图、左视图、俯视图的意义.2.理解:平行投影和中心投影形成影子的规律和特点.3.掌握:相似三角形的性质和判定方法.4.会:利用图形的相似解决一些实际问题及识别简单的三视图.5.能:利用位似将一个图形放大或缩小.一、相似三角形的性质性质1:相似三角形的对应角_____,对应边的比_____;性质2:相似三角形周长的比等于_______;性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于_______;性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的_____.相等相等相似比相似比平方二、相似三角形的判定判定1:如果两个三角形的三组对应边的比_____,那么这两个三角形相似.判定2:如果两个三角形的两组对应边的比_____,并且相应的_____相等,那么这两个三角形相似.相等相等夹角判定3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应_____,那么这两个三角形相似.判定4:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原_______相似(相似三角形的预备定理).三角形相等三、投影和视图的有关概念1.投影平行投影:由_________形成的投影.中心投影:由同一点(点光源)发出的光线形成的投影.平行光线2.视图主视图:在正面内得到的_________观察物体的视图.俯视图:在水平面内得到的_________观察物体的视图.左视图:在侧面内得到的_________观察物体的视图.由前向后由上向下由左向右1.如果,那么x的值是____.2.如图,D,E分别是AB,AC的中点,则S△ADE∶S△ABC=_____.1∶43.如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线EC,BF相交于点D,请写出图中的两对相似三角形__________________________(用相似符号连接).△BDE∽△CDF,△ABF∽△ACE4.如图所示,水平放置的长方体的底面是边长为2和4的矩形,它的左视图的面积为6,则长方体的体积等于___.24热点考向一相似图形的判定【例1】(1)(2012·庆阳中考)如图∠DAB=∠CAE,请补充一个条件:

,使△ABC∽△ADE.(2)(2013·益阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证:△ABD∽△CBE.【思路点拨】(1)由∠DAB=∠CAE知∠BAC=∠DAE,再根据判定定理添加角相等或添加夹∠BAC，∠DAE的两边对应成比例.(2)△ABD与△CBE有公共角∠B，只要证明∠ADB=∠CEB=90°即可.【自主解答】(1)∵∠DAB=∠CAE,∴∠BAC=∠DAE,∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD∶AB=AE∶AC或AD·AC=AB·AE时△ABC∽△ADE.答案:∠D=∠B或∠AED=∠C或AD∶AB=AE∶AC或AD·AC=AB·AE(答案不唯一)(2)在△ABC中,AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∵CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°.又∠B=∠B,∴△ABD∽△CBE.【名师助学】判定三角形相似的思路及注意事项1.判定三角形相似的“五个基本思路”:(1)条件中若有平行线,可采用相似三角形的预备定理.(2)条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两边对应成比例.(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等.(4)条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明夹直角的两条直角边对应成比例.(5)条件中若有等腰三角形,可找顶角相等,或一对底角相等,或找底和腰对应成比例.2.注意事项:(1)在书写两三角形相似时,要把对应顶点的字母写在对应位置上.(2)两条边对应成比例时,必须是夹角相等,才能判定两个三角形相似.热点考向二相似图形的性质【例2】(1)(2012·牡丹江中考)在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若△ABC的面积为16,则△DEF的面积为

.(2)(2013·雅安中考)如图,在▱ABCD中,E在AB上,CE,BD交于F,若AE∶BE=4∶3,且BF=2,则DF=

.【思路点拨】(1)先根据“三边对应成比例的两个三角形相似”判定△ABC∽△EFD,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方求△DEF的面积.(2)由AB∥CD得△BEF∽△DCF,所以BF∶DF=BE∶DC,结合题意求出DF.【自主解答】(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点,∴△ABC∽△EFD,且相似比为2∶1,由相似三角形面积比等于相似比的平方,得S△DEF∶S△ABC=1∶4，∴S△DEF∶16=1∶4，∴S△DEF=4,故△DEF的面积为4.答案:4(2)在▱ABCD中，因为AB∥CD,所以△BEF∽△DCF，所以BF∶DF=BE∶DC，因为AE∶BE=4∶3，所以BE∶DC=3∶7，所以2∶DF=3∶7，所以DF=答案:【名师助学】由三角形相似证线段成比例的一般步骤(1)先看这些线段确定哪两个可能相似的三角形.(2)再找这两个三角形相似所需的条件.(3)如这两个三角形不相似,则采用其他方法(如找中间比代换等).注意:当无法用三角形相似来证明线段成比例时,可试着用引平行线的方法.热点考向三三视图【例3】(1)(2012·天津中考)如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的三视图是()(2)(2013·无锡中考)如图是一个几何体的三视图,若这个几何体的体积是36,则它的表面积是

.【思路点拨】(1)首先明确左视图在主视图的右边,俯视图在主视图的下边,然后根据三视图的定义判定三视图的形状.(2)由题意知这个几何体是长方体,由它的长、宽和体积求出它的高和表面积.【自主解答】(1)选A.从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为1,2;从左面看可得到从左往右2列正方形的个数依次为2,1;从上面看可得从上到下2行正方形的个数依次为2,1.(2)由题意知,长方体的长为6,宽为2,由几何体的体积是36,可得长方体的高为3,所以它的表面积为2(6×2+6×3+3×2)=72.答案:72【名师助学】画几何体的三视图时遵循的规律1.主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,俯视图与左视图的宽相等.2.看得见部分的轮廓线画成实线,看不见部分的轮廓线画成虚线.热点考向四平行投影与中心投影【例4】(2012·安顺中考)某一时刻,身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m.同一时刻同一地点,测得某旗杆的影长是5m,则该旗杆的高度是()A.1.25mB.10mC.20mD.8m【思路点拨】设该旗杆的高度为xm,根据平行投影的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等,列出比例式求解即可.【自主解答】选C.设该旗杆的高度为xm,根据题意得,1.6∶0.4=x∶5,解得x=20,即该旗杆的高度是20m.【名师助学】中心投影的两个特点及相关应用技巧1.中心投影的两个特点:(1)等高的物体垂直地面放置时,在灯光下,离点光源近的物体的影子短,离点光源远的物体的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时,在灯光下,离点光源越近,影子越长;离点光源越远,影子越短,但不会比物体本身的长度还短.2.因为太阳的光线是平行的,因此可利用物体在太阳光下的影子测量物体高度,当影子全部落在地面上时,利用同一时刻物体与影长成正比可进行计算,当影子不全落在地面上时,通常通过添加辅助线解决问题.位似图形的画法与坐标变化【典例】(2012·桂林中考)如图,△ABC的顶点坐标分别为A(1,3),B(4,2),C(2,1),(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出顶点A1,B1,C1的坐标.(2)以原点O为位似中心,在原点另一侧画出△A2B2C2,使【思路点拨】创新点在平面直角坐标系中研究图形的轴对称、位似变换突破口1.先根据轴对称的作法作出△A1B1C1,再根据图形写出顶点A1,B1,C1的坐标2.先根据两个三角形的位似比作出A2,B2,C2,再画出△A2B2C2【自主解答】(1)如图,A1(1,-3),B1(4,-2),C1(2,-1).(2)如图.【思考点评】1.方法感悟:画位似图形的关键就是要确定位似图形各个顶点的坐标.2.技巧提升:(1)在直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.(2)位似中心既可以位于两位似图形的同侧,也可以在两位似图形之间.【学以致用】(2012·咸宁中考)如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶2,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为()【解析】选C.因为四边形ABCO是正方形,所以AB=BC=OC=OA.因为点A的坐标为(1,0),所以AB=BC=OC=OA=1.因为正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,所以所以所以E点的坐标为().【归纳整合】位似图形的定义及性质1.定义:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又叫做位似比.位似一定相似,但相似不一定位似.2.性质:(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.(2)对应线段的比等于位似比.(3)周长比等于位似比.(4)面积比等于位似比的平方

1.(2013·萧山模拟)如图,下列四个几何体中,其各自的主视图、左视图、俯视图中有两个相同,而另一个不同的是()A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】选D.正方体和球的主视图、左视图、俯视图都相同;③中圆锥的主视图、左视图是三角形,俯视图是圆(带圆心);④中圆柱的主视图、俯视图是矩形,左视图是圆,所以③④符合题意.2.(2013·北京模拟)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,AE=3,BD=4,则AC的长为()A.9B.8C.7D.6【解析】选A.因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以,即,所以AC=9.3.(2013·南通模拟)如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图,那么在原正方体的“着”相对的面上的汉字是()A.冷B.静C.应D.考【解析】选D.动手操作知原正方体的“着”相对的面上的汉字是“考”,原正方体的“沉”相对的面上的汉字是“应”,原正方体的“冷”相对的面上的汉字是“静”.4.(2013·宁夏模拟)如图,是一个几何体的三视图,根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为()A.24πB.32πC.36πD.48π【解析】选A.由几何体的三视图知这个几何体是圆柱体,它的体积为π×22×6=24π.5.(2013·重庆模拟)如图,在△ABC中,DE∥AB分别交AC,BC于点D,E,若AD=3,CD=5,则△CDE与△CAB的周长比为

.【解析】因为DE∥AB,所以△CDE∽△CAB,所以答案:6.(2013·滨州模拟)一个几何体的三视图如图所示,它的俯视图为菱形.请写出该几何体的形状,并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积.【解析】该几何体的形状是直四棱柱(答直棱柱,四棱柱,棱柱也正确).由三视图知,棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm,3cm.∴菱形的边长为cm,∴棱柱的侧面积=×8×4=80(cm2)，棱柱的体积=×3×4×8=48(cm3).7.(2013·无锡模拟)某晚的海滨路,小明和小亮与安装有路灯的电线杆整齐地排列在马路的一侧,地面上有他们两人在路灯灯光下的影子(如图1所示).在图2中,线段AB和CD分别表示小明和小亮的身高,A'B和C'D表示所对应的影子.(1)请用尺规作图的方法,在图2中作出路灯O和电线杆OP的位置(不写作法,但须保留作图痕迹).(2)若AB=CD=180cm,A'B=270cm,C'D=120cm,BD=200cm,你能否计算出路灯O的高度?若能,请求出路灯高度;若不能,说明理由.【解析】(1)路灯O和电线杆OP如图所示.(2)能，路灯高度是420cm.理由如下:∵CD∥PO,∴∵AB∥OP,解得:OP=420cm.答:路灯O高度为420cm.8.(2013·朝阳模拟)如图,▱ABCD中,点E在BA的延长线上,连接CE,与AD相交于点F.(1)求证:△EBC∽△CDF.(2)若BC=8,CD=3,AE=1,求AF的长.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.∴△EAF∽△EBC,△EAF∽△CDF.∴△EBC∽△CDF.(2)∵△EAF∽△EBC,解得AF=2.1.(2012·牡丹江中考)如图,在▱ABCD中,过点B的直线与对角线AC,边AD分别交于点E和F,过点E作EG∥BC,交AB于G,则图中相似三角形有()A.4对B.5对C.6对D.7对【解析】选B.∵GE∥BC,∴△AGE∽△ABC,∵GE∥AF,∴△BGE∽△BAF.∵AF∥BC,∴△AEF∽△CEB,全等三角形:△ABC≌△CDA,传递性:△AGE∽△CDA,∴图中相似的三角形共有5对.2.(2013·聊城中考)如图,点D是△ABC的边BC上任一点,已知AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为()【解析】选C.由已知∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△DAC∽△ABC，即S△ABC=4S△DAC，∴S△ABD=3S△DAC，∴S△DAC=3.(2013·丽水中考)用3个相同的立方块搭成的几何体如图所示,则它的主视图是()【解析】选A.几何体的三视图是从三个方向再现物体三个方向上的平面图形,主视图是从物体的正面看,本题从正面看有两列,第一列两个正方形,第二列一个正方形.4.(2012·绵阳中考)把一个正五棱柱如图摆放,当投射线由正前方射到后方时,它的正投影是()【解析】选B.当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同;物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.由正投影的概念可知,B项正确.5.(2012·玉林中考)如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上,正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形,已知若点A′的坐标为(1,2),则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是()【解析】选B.∵O′是正方形ABCD的对角线AC的中点,AC=，∴O′(1.5,1.5),A(0,3),∵A′(1,2),∴6.(2012·郴州中考)如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,连接DE,要使△ADE∽△ACB,还需添加一个条件(只需写一个).【解析】∵∠A=∠A,∴只要添加一对角相等或它们的夹边对应成比例