第14章光的衍射

第4篇波动光学第十四章光的衍射

2一.光的衍射现象saE

几何阴影区

几何阴影区

光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘偏离直线传播，并且光强重新分布的现象称为衍射现象。§14.1光的衍射现象

惠更斯－菲涅耳原理

缝宽3

波振面上任何一点都是发射子波的波源，各子波在空间某点相干叠加，就决定了该点波的强度。··PdE(P)rQdSS(波前)设初相为零nK():方向因子P点的振动为合振动：二.惠更斯－菲涅耳原理P点的振幅4*

衍射的分类菲涅耳衍射夫琅和费衍射光源—障碍物—接收屏距离为有限远。光源—障碍物—接收屏距离为无限远。平行光衍射光源障碍物接收屏光源障碍物接收屏5P1.实验装置

屏幕中心为中央明纹，两侧对称分布着其他明暗条纹，这是缝处波阵面上(连续的)无穷多子波发出的光的相干叠加的结果。AB=a

为缝宽：衍射角§14.2单缝夫琅和费衍射SfafBA透镜L1单缝透镜L2观察屏o62.菲涅耳半波带法

P

o

fa

fS

B

A

透镜L1单缝

透镜L2

观察屏

——中央明纹(中心)A→P和B→P的光程差P点(衍射角),该束光线的最大光程差为:d72

相邻波带上对应点发出的平行光线会聚时的光程差都是/2，因而总是相干相消。由此得出结论：

两个相邻波带所发出的光线会聚于屏幕上时全部干涉相消。如果单缝被分成偶数个半波带，屏幕上对应点P出现暗纹;如果单缝被分成奇数个半波带，于是屏幕上对应点P出现亮纹.

这些平面把缝上的波振面就分割成许多等宽的窄带——菲涅耳半波带。22ABaC

平行于AC作一系列相距/2的平面,••••••8

综上所述，单缝衍射明暗纹的中心位置是:暗纹

(k=1,2,3,…)亮纹

(k=1,2,3,…)零级(中央)亮纹直线条纹波带数注意：1.k与波带数的关系2.明暗…3.k≠0afoPABC*S93.振幅矢量叠加法(定量)相邻两波带发出的子波到达P点的光程差：相位差为：将a划分为N个等宽的狭窄波带，设每个波带发出的子波在P点引起的光振动的振幅近似相等，即10

根据惠更斯－菲涅耳原理，P点合振动的振幅等于这N个振幅相等、相差依次为的光振动的叠加，如图所示。θθθθθθθθ11则令合振幅：——P点合振动的振幅12与半波带法所得结论一致①在=0处，

=0，

则I=I0，光强最大，即中央亮纹；②当

=±k,

k=1,2,3…时，sin

=0则I=0，光强最小，为暗纹；此时③其他各级亮纹的位置：令得与半波带法所得结论略有差异13

中央明纹又亮又宽(约为其它明纹宽度的2倍)。中央两旁，明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。这是由于k越大，分成的波带数越多,而未被抵消的波带面积越小的缘故。(1)光强分布sin相对光强曲线1.0oaa2a2a图15-64.条纹特点:14(2)中央亮纹宽度：两个第一级暗纹间的距离称为中央亮纹的宽度1是第一级暗纹中心对应的角位置也称为中央亮纹半角宽度：

中央亮纹的线宽度：其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。λΔxIx1x2衍射屏透镜观测屏Δx0

f115(4)波长对条纹宽度的影响(3)缝宽对条纹的影响当a一定时条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。该衍射图样称为衍射光谱。当，各级条纹全部并入中央条纹，形成单一的明条纹,这是光直线传播的结果，即衍射现象消失。几何光学是波动光学在a>>

时的极限情况。缝宽a越小，衍射现象越明显。——衍射反比定律16例1

波长为的单色光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹对应的衍射角为30°，求狭缝的缝宽及对应此衍射角狭缝的波阵面可分为几个半波带。解:

由单缝的暗纹条件：k=1,

=30°,算得：a=2

。

(半)波带数=(半)波带数

若不知某处是明纹还是暗纹，则计算波带数的方法是：2k=2。17例2单缝衍射，a=0.6mm透镜焦距f=40cm,可见光垂直入射。在屏上x=1.4mm处观察到明纹极大。求入射光波长及该处衍射条纹的级次。解:k=11=14000Åk=22=8400Åk=33=6000Åk=44=4667Å即在x=1.4mm处两种波长光的亮纹重叠橙色第3级7个半波带青色第4级9个半波带x

f明纹：18例3已知一雷达位于路边d=15m处，射束与公路成15°，天线宽度a=0.20m，射束波长=30mm。求：该雷达监视范围内公路长L=?解：将雷达波束看成是单缝衍射的中央亮纹。由：如图：可以将雷达天线看成是发出衍射波的单缝，考虑到雷达距离公路较远,故可按夫琅禾费衍射作近似计算。daβLθ11519a12AB例4设有一单色光斜射到宽度为a的单缝上，求单缝衍射明暗纹的中心位置。各级明、暗纹的中心位置：a(sin+sin)=DC光线1与2的光程差为：BD+CB=asin+asin(规定：衍射光在缝法线上侧，取“+”，下侧取“-”)解：（k=1,2,……）暗纹=-零级亮纹亮纹20*14.3圆孔衍射光学仪器的分辨本领相对光强曲线I圆孔直径D一.小圆孔的夫琅和费衍射爱里斑的半角宽度：爱里斑21二.光学成像仪器的分辨本领几何光学：一个点通过透镜成像于一点。衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样。..0.81.0不能分辨恰能分辨

瑞利判据:

若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰好与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合,则这两个点光源恰能被分辨。..22

光学仪器的最小分辨角—恰能分辨时两光点对透镜中心所张的角(即为爱里斑的半角宽度):分辨率为

对望远镜，不变，尽量增大透镜孔径D，以提高分辨率。90年哈勃太空望远镜直径达2.4米。对显微镜主要通过减小波长来提高分辨率。荣获1986年诺贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小分辨距离已达0.01Å，能观察到单个原子的运动图像。S1S2透镜L透镜直径D23例题

通常亮度下,人眼瞳孔的直径D=3mm，同学们最多坐多远，才不会把黑板上写的相距1cm的等号“=”号看成是减号“”？解只需“=”号对人眼所张的角最小分辩角就行。取=5500Å，有(人眼的最小分辩角)由上式算得：d=45.5m。人眼dL等号24反射光栅透射光栅§14.4光栅衍射一.光栅

大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件。dda是透光(或反光)部分的宽度d=a+b

光栅常数b是不透光(或不反光)部分的宽度种类：25设平行光线垂直入射。每条狭缝有衍射，缝间光线还有干涉，光栅衍射图样是是单缝衍射和多缝干涉的总效果。可以证明：屏上合成光强=缝间干涉光强×单缝衍射光强二.平面透射光栅的衍射1.多光束干涉

设衍射角为的光束经透镜会聚在屏上的P点，任意相邻两光束到达P点的光程差：(a+b)sind=(a+b)oPEfabP26(a+b)sind=(a+b)oPEfab(1)明纹(主极大)条件：(k=0,1,2,…)此时缝间干涉加强，对应主极大亮纹。上式称为光栅方程。根据干涉理论，当NAiAi(N为光栅的总缝数)相位差:振幅矢量图:P点合振动的振幅:光强:光程差：27得：

和N－2个次极大。当N

很大时，在主极大明条纹之间实际上形成一片相当暗的背底。(2)暗纹条件：如果N束衍射光在P点的光振动的振幅首尾连接成一闭合多边形，则P点的光振动的合振幅为零。即这时N束衍射光在P点干涉相消，P点为暗纹。A2A3A4A5A6A1相邻主极大间有N－1个暗纹282.单缝衍射缝数愈多，亮纹愈细。0Ii-2-112单缝衍射光强(asin)/lk=(a)(dsin)/l04-8-48多缝干涉光强

亮纹(主极大)k=(b)IN2I0单048-4-8dsin(l/d)单缝衍射

轮廓线光栅衍射光强曲线k=(dsin)/l(c)29(2)主极大亮纹出现缺级现象单缝衍射暗纹：缝间干涉明纹：为整数时，会出现缺级：(1)各主极大亮纹的强度受到单缝衍射的调制。IN2I0单048-4-8dsin(l/d)单缝衍射

轮廓线光栅衍射光强曲线k=(dsin)/l图15-10(c)30综上所述，光栅衍射是N缝干涉和N个单缝衍射的总效果，衍射图样的特点:在黑暗的背景上显现窄细明亮的谱线(N越大谱线越细越亮)，且各级亮纹强度不同，还可能出现缺级。如果用白光照射光栅,由光栅方程

dsin=±k

,(k=0,1,2,…)可知,同一级谱线中，不同波长的谱线出现在不同的角处(中央零级除外),由中央向外按波长由短到长的次序分开排列，形成颜色的光带—光栅光谱。这就是光栅的色散特性。3.光栅光谱k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-331例5

波长=6000Å的单色平行光垂直照射光栅，发现两相邻的主极大分别出现在sin1=0.2和sin2=0.3处，而第4级缺级。求：(1)光栅常数d=？

(2)最小缝宽a=？

(3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。解：(1)由题意有

dsin1=k,dsin2=(k+1)于是求得光栅常数=10=6×10-6m(2)因第4级缺级，由缺级公式：=4，取k´=1(因要a最小)32求得：a=d/4

=1.5×-6m由光栅方程：

dsin

=k

最大k对应

=90°，于是

kmax=d/=10缺级：屏上实际呈现

0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9级，15条亮纹(±10在无穷远处，看不见)。opEfab(3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数:33例6一双缝，缝距d=0.40mm，两缝宽度都是a=0.08mm,用波长为=4800Å的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f=2.0m的透镜，求：(1)在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距x；(2)在单缝衍射中央亮纹包迹内可能出现的主极大亮纹数目。第k级亮纹在屏上的位置：相邻亮纹的间距：(1)双缝干涉第k级亮纹条件：ad

f透镜λP

解:34(2)衍射的影响：单缝衍射中央明纹宽度:IN2I0单048-4-8单缝衍射轮廓线应缺±5±10…等级在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目为：又因等9条35例7一个每厘米刻有4000条缝的光栅，在白光垂直照射下，可以产生多少完整的光谱？问哪一级光谱中的哪个波长的光开始与其它谱线重叠？

解:根据光栅方程对第k级光谱，要产生完整的光谱，必须满足由:36得：只有k=1才满足上式，所以只能产生一个完整的可见光谱，而第二级和第三级光谱即有重叠出现。

设第二级光谱中波长为的光与第三级中紫光开始重叠，这样(白)0级1级2级-2级-1级3级-3级37解：(1)光栅常数为例8用每毫米刻有500条纹的光栅，观察钠光谱线=589.3nm。问(1)平行光线垂直入射时；(2)平行光线以入射角i=30°入射时,最多能看见第几级条纹？总共有多少条条纹？得：k只能取整数，故取k=3,即能看到第三级条纹。根据光栅方程共7条明纹。38(2)如平行光以i角入射时，光程差的计算公式应做适当的调整,如图所示。斜入射时的光栅方程为d(sin-

sini)=±k,k=0,1,2,...oPEfabi21在o点上方观察到的最大级次为k1m，取=90o得而在o点下方观察到的最大级次为k2m，取=-90o

得所以斜入射时，总共有7条明纹，即(+1、0、-1、-2、-3、-4、-5)39三.光栅的分辨本领由光栅方程和暗纹方程:是恰能分辨的两条谱线的波长差,是两条谱线的平均波长。表征光栅性能的主要技术指标就是光栅的分辨本领，定义为：怎样才算是恰能分辨？(瑞利判据)得到:40一.X射线的产生-KAX射线X射线管+X射线