第2章随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及分布函数2/2/20231§2.1.1随机变量观察以下随机试验的结果:例2.1掷一枚色子考察出现的点数,则试验结果与数之间的恒等映射为:例2.2某厂出厂灯泡中抽取一只做寿命试验,记录灯泡的寿命,则样本点与数之间也有恒等映射2/2/20232例2.4

随机从某人群中抽样,观察抽得的人的性别,此时我们可以建立样本点与数之间的映射为:定义2.1

设是一试验的样本空间,如果对于每一个样本点,规定一个实数这样就定义了一个定义域为的实值函数,称X为随机变量注意:还有许多试验的结果本身不是实数2/2/20233随机变量的定义随机变量常用X、Y、Z或

、、等表示2/2/20234随机变量与普通函数的区别(1)定义域是样本空间,样本空间不一定是实空间;(2)随机变量的取值具有随机性;即试验之前,不知道样本空间中哪一个样本点出现,从而取何值不能确定,而试验之后,才确定取何值;(3)随机变量的取值具有一定的概率;例如在例2.1中,2/2/20235利用随机变量表示事件有了随机变量的定义之后,我们可以用随机变量落入某个区域来表示随机事件.例如:用“”表示打色子的时候“出现奇数点”这一随机事件；用“”表示“打出的色子数等于1”这一随机事件.一般情况下，我们可以用表示随机变量取值在G中的样本点构成的事件，简记为2/2/20236§2.1.2随机变量的分布函数定义2.2设X是随机变量，对任意实数x∈R，定义

F(x)＝P(Xx)称F(x)

为随机变量X的分布函数.注

(1)分布函数的本质是一个概率，即

事件{ω|X(ω)x}的概率P(Xx)(2)

对任意实数a,b(a<b),

P(a<Xb)＝F(b)－F(a)2/2/20237X012P0.10.60.3例2.5已知随机变量X的取值情况如右表，求X的分布函数分布函数的求法因为分布函数是定义在整个数轴上，所以0122/2/20238可见,此题中,F(x)是一个阶梯型函数2/2/20239例2.6某射手向半径为R的圆形靶射击一次，假定不会脱靶。弹着点落在以靶心为圆心，r为半径的圆形区域的概率与该区域的面积成正比,设随机变量X表示弹着点与靶心的距离,求X的分布函数,并求概率RX解:对任意的2/2/202310例2.6由题意,2/2/202311例2.6F(x)xF(x)是一个单调不减的函数2/2/202312定理2.1分布函数的性质

1)单调不减性：若x1<x2,

则F(x1)F(x2);3)右连续性：对任意实数x，2)归一性：

对任意实数x，0F(x)1且4)对任意的2/2/202313注:(1),(2),(3)也是分布函数的特征，即任意一个函数G(x)满足(1),(2)和(3)，则G(x)是某个随机变量的分布函数.2/2/202314§2.2离散型随机变量定义2.3

若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…

且取值的概率

P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)

(2.2.1)称(2.2.1)为离散型随机变量X的分布律或概率分布.

可表为表格X

x1 x2 …

xk … P

p1 p2 … pk …2/2/202315X~或矩阵2/2/202316分布律的性质属于(a,b]中的那些xk所对应的概率的和2/2/202317利用分布律的性质计算参数例：设随机变量X的分布律为试求常数c.解：由随机变量的性质，得2/2/202318例2.7一批产品包括7件正品,3件次品,依次从中不放回取一件产品,X表示取到正品时的抽取次数,求X的分布律,并求P(X>2)与分布函数.解:Xp1234P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=1/152/2/202319例2.7由题意:2/2/202320解:设Ai表示第i个零件不合格,它们之间互相独立.用一台机器独立地制造3个同种零件,第i个零件不合格的概率为1/(i+1),i=1,2,3.以X表示三个零件中不合格品的个数，求X的分布律与分布函数.例2/2/2023212/2/202322X~2/2/202323§2.2.2常见的离散型分布(1)几何分布定义2.4

若随机变量X取值为1,2,…,且其中则称X服从参数为的几何分布,记为可见,若一个随机变量X表示重复的贝努利试验中,首次成功出现所需的试验次数,则2/2/202324(2)超几何分布定义2.5

设N,n,m为正整数,若随机变量X的分布律为则称X服从超几何分布,记为古典概型中,不放回摸球试验,N个球,其中有m个红球,随机从N个球中取n个,取到红球的个数为X,则2/2/202325(3)二项分布则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X~B(n,p)定义2.6设随机变量X的可能取值为0,1，2,…,n，且特别地,当n=1时，二项分布X~B(1,p)，即为(0-1)分布.2/2/202326某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概率.

解每次射击看成一次试验，设击中次数为X，则

X~B(400,0.02)X的分布律为例2/2/202327所求概率为2/2/202328二项分布的最有可能次数若X~B(n,p)，则可见,pk是先是随着k的增大而增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少.记二项分布的最可能次数为k02/2/202329(4)泊松(Poisson)分布则称X服从参数为的泊松分布，X~P().定义2.7

若随机变量X可能的取值为0,1,2,…,且可证：二项分布以泊松分布为极限分布

定理2.2(泊松定理)设随机变量且满足则2/2/202330证：二项分布以泊松分布为极限分布

左=11得证2/2/202331P(X2)=1－P(X＝0)－P(X＝1)=1－(1＋8)e－8＝0.996981

上例可用泊松定理计算取

=np=400×0.02＝8,故近似地有2/2/202332例2.12某网吧有300台电脑,每台电脑的上网人因各种原因需要网管帮助的概率为0.01,现在有两种方式配备网管:

A:配备10名网管,每人负责30台电脑;

B:配备8名网管,共同负责300台电脑;(1)证明:方式B比方式A效果好;(2)若只需要方式B下有上网人得不到及时帮助的概率小于0.02,则8名网管可减少至几名?2/2/202333例2.12

证明:设分别为两种方式下有人得不到帮助的概率,则只需证

X为方式A下一名网管负责的30台电脑中任意时刻需要帮助的人数,设Ai为方式A下一名网管负责的30台电脑中有人得不到及时帮助,i=1,2,…,102/2/202334例2.12注意相互独立,于是2/2/202335例2.12

Y为方式B下300台电脑中任一时刻需要帮助的人数,由于np=3,近似地有于是,查泊松分布表,有(2)设N为使得的最小的N,查泊松分布表,得N+1=82/2/202336某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？解

用X表示每月销量，则X~P()=P(5)。由题意，要求k，使得P(X≤k)≥0.999，即思考题2/2/202337这里的计算通过查Poisson分布表得到,=5

k+1=14时,k+1=13时,所以，k=13，即月初进货库存要13件.2/2/202338对离散型随机变量的认识(1)离散型随机变量是通过“分布律”来刻画的；(2)分布律包括两点:一是随机变量的取值二是随机变量取值对应的概率;(3)若已知分布律:A.可求随机变量落入任意区域的概率;B.可求随机变量的分布函数;2/2/202339§2.3连续型随机变量定义2.8

设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负可积函数f(x)，使得则称X为连续型随机变量,概率密度函数，简称密度函数，记为

f(x)为X的X~f(x)

2/2/202340xf(x)密度函数本身并不表示概率,对密度函数的积分才是概率.也就是说,密度函数图象下的面积才表示概率密度函数的意义2/2/202341x2f(x)密度函数的意义x1问:f(x1)>f(x2)意味着什么呢?答:

f(x1)△x>f(x2)△x,表示随机变量X落入x1附近的可能性要比落入x2附近的可能性大.2/2/202342密度函数的性质定理2.3

X为连续型随机变量,F(x)和f(x)分别为X的分布函数与密度函数,则(1)

对任意a,b(a<b),有(1)

非负性：(2)

归一性：这两个性质也是密度函数的特征2/2/202343密度函数的性质(2)

F(x)是连续函数且在f(x)的连续点，有连续型随机变量取单个值的概率为零(3)

对任意实数c，有P(X=c)＝0因此，对连续型随机变量X，有2/2/202344例2.13已知随机变量X的密度为且P(2<X<3)=2P(1<X<2),求常数a,b及分布函数F(x)解：因为2/2/202345例2.13下求分布函数F(x)本题的分布函数是不是分段函数呢?如果是,应该分几段?2/2/202346例2.13注意积分限的变化2/2/202347例2.13所以F(x)是分段函数,共三段表示为:2/2/202348思考2/2/202349§2.3.2几种常见的连续型分布X~U(a,b)定义2.9设随机变量X的密度函数为则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为(1)

均匀分布2/2/202350均匀分布的概率背景若X~U(a,b)，则X在区间[a,b]中任意长度相同的子区间里的概率是相同的.即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关.对任一长度为l的子区间2/2/202351abf(x)1F(x)均匀分布的分布函数2/2/202352例设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客在7:00到7:30之间随机到达该车站，试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率．解：设该乘客于7点过X分到达此站，X~U(0,30)，则设A表示候车时间不超过5分钟2/2/202353(2)

指数分布

X的分布函数为：定义2.10设随机变量X的密度函数为则称X服从参数为的指数分布,记为X~e()2/2/202354例电子元件寿命X(年)服从参数为1/3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率；(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？解2/2/2023552/2/202356思考题2/2/202357令：B表示等待时间为10~20分钟2/2/202358(3)Γ函数与Γ分布定义2.11

Γ函数的定义：α>0Γ函数的性质：(3)如果n为自然数，则2/2/202359定义2.12

设随机变量X的密度函数为Γ分布则称随机变量X服从参数为的Γ分布.记为X~Γ(α,β)2/2/202360例2.15某厂生产的元件其寿命1)随机取一个元件,求该元件寿命大于4万小时的概率;2)随机取10个元件,求至少有1个元件寿命大于4万小时的概率;解:由题意,X的密度函数为:2/2/202361例2.152)设Y表示10只元件中寿命大于4的只数,则Y~B(10,0.406)已知:求分部积分2/2/202362§2.4随机变量函数的分布例2.16

X有概率分布求Y,Z的概率分布.解:

Y的取值为0,1,4,分别求Y取这些值的概率:P(Y=0)=P(X=0)=0.3P(Y=1)=P(X=-1或X=1)=0.52/2/202363P(Y=4)=P(X=2)=0.2从而类似地,可得2/2/202364例2.17设随机变量X的密度函数为Y=-2lnX,求Y的密度函数.解:当X取值在(0,1)内时,Y的值域为Y的分布函数为:2/2/202365例2.172/2/202366例2.17