第四章-幂级数

函数项级数的基本性质一、数项级数

1、定义：考虑各项均为复数的级数

它的每一项都可分为实部和虚部，设为

，则级数的部分和为：

第四章解析函数的幂级数表示

2、级数的收敛性如果为有限数s,则称级数收敛，并称s为它的和，记为不收敛的级数称为发散级数，显然

这样复数项级数的收敛问题就归结于两个实数项级数的收敛问题，即级数收敛于的充要条件是两个实级数及分别收敛于

及。

3、绝对收敛和条件收敛如果由级数各项的模所构成的级数收敛，则称绝对收敛。收敛而非绝对收敛的级数，称为条件收敛级数，显然，绝对收敛必收敛。

二、函数项级数收敛和一致收敛

讨论各项均在区域D有定义的函数项级数

1、定义：如果对于D上每一点Z，上述级数均收敛，就称级数在D上收敛，其和在D上构成一函数，称为级数的和函数，记为

（*）（*）定义：对于级数（*），如果在点集D上有一个函数，使得则称级数（*）在D上是一致收敛于哥西一致收敛准则：级数（*）在点集D上一致收敛于某函数的充分必要条件：若级数在D的任一有界闭集上一致收敛，则称此级数内闭一致收敛

(1)若在D上连续，则也在D上连续，即由连续函数组成的(内闭)一致收敛的函数项级数的和也连续。

(2)如果在C上连续，则沿C可逐项积分，且

性质：如果级数在D上（内闭）一致收敛于3、一致且绝对收敛判别法如果对于某区域D上所有各点z，复数项级数各项的模，而正的常数项级数收敛，则复变函数项级数在D上绝对且一致收敛。级数称为的强（优）级数，即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛。

(3)如果在D上解析，则在D上解析，并且即（内闭）一致收敛于幂级数与解析函数

一、幂级数的收敛性

1、幂级数

各项均为幂函数的复变项级数其中，都是复常数，这样的级数叫做以z0为中心的幂级数。

2、幂级数的收敛性，收敛半径

先看由上级数各项的模所组成的正项级数(*)

应用正项级数的比值判别法可知，如果

则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记号即，如果则原级数绝对收敛，如果，则

即级数后面的项的模越来越大，不满足级数收敛的心要条件，因而级数发散，即当时，级数(*)发散。以为圆心作一半径为R的圆周，原幂级数在圆的内部（即）绝对收敛，在圆外发散，这个圆叫幂级数的收敛圆，它的半径R叫做收敛半径，在收敛圆周上各点，幂级数可能收敛，也可能发散，应具体分析。

用根值判别法可得到收敛半径的另一公式例1.求级数的收敛半径。解：故级数在任何z点收敛。例2.求级数的收敛半径。解：故它们的收敛半径都为1。在收敛圆周上，即

，由于通项不趋于零，故处处发散。当时，收敛，当时，发散，其余的具体而定。由于收敛，所以在上收敛。

幂级数收敛半径确定法：定理：如果幂级数的系数满足（1）（2）（3）则幂级数的收敛半径

例.收敛半径例.例.当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散，故注：幂级数

收敛半径R，

收敛圆：，收敛圆周：

收敛圆外不收敛。

3、幂级数在收敛圆内的性质

(1)幂级数在收敛圆的内部绝对且一致收敛。

(2).幂级数的和函数在收敛圆内解析。定理：（1）

幂级数数的和函数在其收敛圆内解析（2）在内，幂级数可以逐项求导至任意阶

幂级数（1）和（2）的收敛半径相同（3）

二、解析函数的泰勒展示泰勒定理：设在区域D内解析，，只要圆含于D内，则在K内能展成幂级数其中系数并且展式是唯一的。泰勒级数，泰勒展式，泰勒系数(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法来求一个解析函数的泰勒展式，不一定要用系数公式来求系数，即可用简接法展开。(2)由于幂函数的和是解析函数，而解析函数又可以展为唯一的泰勒级数，所以解析函数与幂级数有着不可分割的联系。

解析函数的充分必要条件可表为：

在D内解析在D内任一点的某领域内可展成幂级数(泰勒级数)。定理：函数

在区域D内解析的充分必要条件：在D内的任a的领域内可展成z-a的幂级数，即泰勒级数。幂级数的和在收敛圆上的状况定理：如果幂级数的收敛半径，则在收敛圆周上至少有一个奇点从上述定理，我们可以确定：

如果在a点解析，b是的奇点中距离a最近的一个奇点，则为函数在点a的邻域内的幂级数展式的收敛半径

例一些初等函数的泰勒级数例以-1和为支点的多值函数取主值分支在单位圆内展成的幂级数例按z-1的幂级数展开，并指明收敛范围解析函数零点的孤立性，唯一性定理定义：设函数在解析区域D内一点a的值为零，则称a为解析函数的零点。若但，称a为解析函数的m阶零点。

定理：不恒为零的解析函数以a为m阶零点的充要条件为：其中在内解析，且例求其全部的零点，并指出起阶函数在z平面上解析这是的全部零点注意到因此都是的二阶零点解析函数零点的孤立性，唯一性定理定理：设函数在解析，且不恒为零，a为其零点，则必有a的一个邻域，使得在其中没有a之外的零点。推论：设在解析，在内有的一列零点收敛于a，则函数在

内必恒为零定理：设函数和在区域D内解析，且在D内有一个收敛于a的点列，在其上和等值，则和在D内相等推论：设函数和在区域D内解析，且在D内某一子域（或一小弧）上相等，则两个函数在D内相等推论：一切在实轴上成立的恒等式，在z平面上也成立，只要该恒等式的等号两