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文档简介

1§5.1

基本概念与计算§5.3n维向量空间的正交化§5.4实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量§5.2矩阵的相似对角化2一、特征值与特征向量的定义三、特征值与特征向量的计算§5.1基本概念与计算二、特征值与特征向量的性质3一、特征值与特征向量的定义例

矩阵4定义设A是n阶方阵，成立，

是方阵A的一个特征值，

是方阵A的对应于特征值的一个特征向量.若数和n维非零列向量

，使得例

则称5定义设A是n阶方阵，成立，

是方阵A的一个特征值，

是方阵A的对应于特征值的一个特征向量.若数和n维非零列向量

，使得则称说明2.特征值与特征向量是成对出现的6二、性质推广k为非0数7特征子空间8三、特征值与特征向量的计算9称为矩阵A的特征方程,定义数是关于的一个n次多项式，称为矩阵A的特征多项式,特征方程的根称为特征值，或特征根。10求特征值、特征向量的步骤：(2)求齐次线性方程组的一个基础解系即可求出特征值;11解例(2次多项式)12基础解系13基础解系14解设求A的特征值与特征向量．例15特征值为：(2称为二重根)(-7称为单根)(3次多项式)16基础解系特征值为：1718基础解系19解

求A的特征值与特征向量．练一练20(1是三重根)(4次多项式)2122232425求矩阵的特征值.解矩阵A的特征多项式为对角矩阵、上(下)三角形矩阵的特征值为其主对角元练一练26特殊矩阵2.数量矩阵kI,所以k是（且仅是）kI的特征值，任意非0向量是对应的特征向量。3.单位矩阵I,1是（且仅是）I的特征值，1.零矩阵O,所以0是（且仅是）O的特征值，任意非0向量是对应的特征向量。任意非0向量是对应的特征向量。27所以0是不可逆矩阵的特征值。而0不是可逆矩阵的特征值。4.不可逆矩阵A,5.可逆矩阵A,28例

设矩阵A可逆,且

解29解

练一练30例31结论32例解33解练一练3435设

A2=A,证明：A

的特征值为0或1.证例36设

A2=A,证明：0或1的为A特征值.证A

的特征值为0或1.例37设A是奇数阶实矩阵，证练一练38

1.特征值的重数与其对应的线性无关特征向量个数的关系:下面结论不证,知道结论即可392.

设n阶方阵的n个特征值为

则主对角元素之和注

A可逆的条件:称为矩阵A的迹.

40设A为3阶方阵,A的特征值分别为-1、4、2,求例

解

41小结1.特征值与特征向量的定义2.特征值与特征向量的求法3.特征值与特征向量的性质4.特征值与A的关系42作业P1771(2)(4)(6),8,1143想一想44设

求A的特征值与特征向量.解练一练4546

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