对图形与几何的理解及教学策略思考

对图形与几何的理解及教学策略思考第一页，共三十二页，2022年，8月28日数与代数(50％)空间与图形(35％)统计与概率(15％)实践与综合应用数与式函数方程与不等式认识关系变换概率统计初中数学知识树第二页，共三十二页，2022年，8月28日一、对图形与几何的理解1.图形与几何的核心内容图形与几何认识(一个图形)关系(两个图形)变换数学是研究空间形式与数量关系的一门学科，图形与几何是中小学数学教学中较为重要的内容。第三页，共三十二页，2022年，8月28日重庆市近几年中考考点09年10年11年

12年认识圆中的角圆中的角圆中的角圆中的角三视图三视图弧长扇形面积尺规作图(三角形)尺规作图(角的组合)尺规作图(应用)简单全等证明解直角三角形简单全等证明解直角三角形关系相似比(面积)相似比(中线周长)相似比(图形面积)相似比(高)平行线相交线平行线相交线平行线相交线平行线相交线圆与圆位置直线与圆位置中心对称轴对称第四页，共三十二页，2022年，8月28日变换几何综合几何综合几何综合几何概率直角梯形(证线段等求线段长)直角梯形(证线段2倍证角和差)一般梯形(求线段长证线段和差)菱形(求线段长证线段和差)抛物线,旋转,证线段2倍,等腰分类动点,分段函数旋转,证周长不变,等腰分类动点,分段函数平移,等腰分类动点,分段函数平移,直角分类合计第五页，共三十二页，2022年，8月28日2.图形与几何的课标要求①平行线等分线段②梯形和等腰梯形③梯形的中位线定理④相似三角形的证明⑤与圆有关的证明⑥圆和圆的位置关系⑦圆锥的侧面积和全面积⑧弦切角、相交弦、切割线定理第六页，共三十二页，2022年，8月28日3.图形与几何的知识结构点:线:角：三角形:四边形:圆:①认识从一般到特殊:角特殊,边特殊…直角三角形,等腰三角形平行四边形→矩形,菱形,正方形

梯形→直角梯形,等腰梯形从简单到复杂边,角,特殊线段概念,性质(判定),运用第七页，共三十二页，2022年，8月28日点与点：点与线：点与多边形(角):点与圆：线与线：线与多边形(角):线与圆：角与角:多边形与多边形:多边形与圆：圆与圆：②关系从简单到复杂/点在线外,点在线上点在形外,点在形上,点在形内点在圆外,点在圆上,点在圆内比较(相等:和差倍分,不等),平行,相交/直线与圆相离,直线与圆相交比较(相等:和差倍分,不等)全等,相似//数量关系,位置关系第八页，共三十二页，2022年，8月28日③变换点:线:角:三角形:四边形:圆:运动变换平移旋转对称从简单到复杂第九页，共三十二页，2022年，8月28日二、图形与几何教学策略1.整体结构要让学生掌握学习的主动权，最有效率的是掌握和运用结构。结构具有较知识点更强的迁移力。（1）框架性结构——体现知识整体（3）过程性结构——体现知识形成（2）方法性结构——体现学生学习第十页，共三十二页，2022年，8月28日案例1：菱形的性质菱形的性质可以从哪些角度入手?学习菱形以什么方法来学(过程性结构)?教结构，用结构为什么学习矩形之后是菱形(框架性结构)?边,角,特殊线段(对称性)观察—猜想—验证四边形转化为三角形,平行线等□→角特殊→边特殊菱形要学习哪些内容(方法性结构)？概念→性质判定→运用第十一页，共三十二页，2022年，8月28日案例2：两条直线的位置关系相交线(邻补角,对顶角)→垂线→三线八角→平行线边,角,特殊线段概念,性质(判定),运用每节课局限在这些知识点的结论记忆和运用请画两条直线,你能画出几种不同的位置?(框架性结构)两条直线相交要学习哪些内容？(方法性结构)用结构：平行两条直线位置关系：相交，平行观察→猜想→验证两条直线相交以什么方法来学？(过程性结构)教结构：相交第十二页，共三十二页，2022年，8月28日案例：等腰三角形例题：∠ABC=∠ACB,BO.CO分别平分∠ABC,∠ACB.①图中有几个等腰三角形?变式1：…

过O作EF∥BC.①图中有几个等腰三角形?②线段EF与BE、FC之间有何关系?变式2：…

若∠B≠∠C.①图中有没有等腰三角形?②线段EF与BE、FC之间还有无关系?2.变式训练第十三页，共三十二页，2022年，8月28日【例题】如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、AC边上的点,DE∥BC.求证：△ADE是等边三角形.ABCDE案例：等边三角形（1）条件结论变式常见方法：第十四页，共三十二页，2022年，8月28日【例题】如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、AC边上的点,DE∥BC.求证：△ADE是等边三角形.ABCDE【变式】当点D、E满足什么条件时,△ADE是等边三角形？（2）封闭开放第十五页，共三十二页，2022年，8月28日【变式】将△AED绕点A旋转任意角度,上述结论是否都成立？【例题】如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、AC边上的点,DE∥BC.求证：△ADE是等边三角形.ABCDEABCED【变式】将△ADE绕着点A旋转，使C、A、D三点在一条直线上.求证：CE=BD.你还能得出哪些结论？(边.角.三角形…位置关系.数量关系.形状)（3）图形变换第十六页，共三十二页，2022年，8月28日【变式】将正方形CGEF绕点C旋转任意角度,上述结论还成立吗？如图，正方形CGEF的边CG在正方形ABCD的边BC的延长线上，连接AE，取线段AE的中点M，连接MD、MF.

求证：MD=MF.【变式】

将正方形CGEF绕点C旋转，使对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，其他条件不变，上述结论还成立吗？（4）改变载体第十七页，共三十二页，2022年，8月28日【原型】如图,△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、AC边上的点,DE∥BC.求证：△ADE是等边三角形.ABCDE【改编】若点D是直线AB上的动点，点P是DE的中点，AB=2，是否存在这样的点D，使△ABP是等腰三角形，若存在，求出此时AD的长，若不存在，说明理由.（5）化静为动P第十八页，共三十二页，2022年，8月28日【原型】如图，菱形ABCD中,E、F分别是AB、AD边的中点,H为CD边上一点,且满足∠BHC=2∠BCE．（1）求证：CE=CF；（2）求证：CH=AB+AH．【改编】（6）特殊一般第十九页，共三十二页，2022年，8月28日【原型】如图，∠C=90°DE⊥AC，若AE=1，AC=3，BC=2，求△ADE的面积.【改编】

（7）转换题型第二十页，共三十二页，2022年，8月28日3.语言转化(1)文字语言(2)图形语言(3)符号语言①几何符号:∵,∴,⊥,∥,△,□②关系符号:≌,∽,＝,≠,≈,＞,≥,＜,≤③英文字母A,B,C,D等,希腊字母π,α,β,γ等条件上图,辅助线写法第二十一页，共三十二页，2022年，8月28日4.推理论证由数式的计算转到对几何图形的推理论证。知道结论可以证明出来，但不知道怎么用符号语言把论证的过程完整准确的表达出来，或论证过程拖泥带水，语言表达无法准确简明.

第二十二页，共三十二页，2022年，8月28日5.问题引导好“问”五度（1）准确度——对准教学目标（2）趣味度——激发力强（3）深刻度——有效攻克重难点（4）开放度——充分暴露相异构想（5）集中度——主问突出，线索清晰答疑—质疑暴露问题—提出问题第二十三页，共三十二页，2022年，8月28日案例：轴对称问题1．阅读教材58—59页，找出其中的重要概念,勾出概念中的关键词,思考：如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何判断两个图形是否成轴对称？问题2．成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形成轴对称吗?第二十四页，共三十二页，2022年，8月28日问题3．轴对称图形和(成)轴对称有什么区别和联系?问题4．图中的两个三角形关于直线MN对称，请你标出点A、B、C的对称点A′、B′、C′,思考直线MN与线段AA′有什么关系？PNMCBA第二十五页，共三十二页，2022年，8月28日案例1：正比例函数的性质问题1．在同一坐标系内画出y=x,y=2x,y=3x的图象,观察它们有什么共性？(形)问题2．你能说明它们为什么有这样的共性？(数)问题3．上述结论能推广到一般情形吗？问题4．你能类比上述研究过程,得出k＜0的情形吗？第二十六页，共三十二页，2022年，8月28日案例2：一元二次方程的解法——公式法问题1．你能用配方法求出二次项系数为1的一元二次方程的解吗？问题2．你能用配方法求出二次项系数不为1的一元二次方程的解吗？问题3．你能用配方法求出二次项系数为字母的一元二次方程的解吗？第二十七页，共三十二页，2022年，8月28日案例3：有理数的加法问题1．小明在一条东西向的跑道上，先向东走了20米，又向东走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米?你能用一个算式简洁的表示这两次运动及结果吗？（必须表明运动的方向和距离）问题2．如果删去问题1中的两个“向东”，你还能确定小明的位置吗？一共有几种情形？请直接用算式写出所有情形．第二十八页，共三十二页，2022年，8月28日问题3．观察得到的几个算式，你能发现和的符号与两个加数的符号有什么关系吗？和的绝对值与两个加数的绝对值又有什么关系？问题4．两种特殊情形：（1）第一次向西走了30米，第二次向东走了30米；（2）第一次向西走了30米，第二次没走．请分别写出算式，你能从中得出什么结论？第二十九页，共三十二页，2022年，8月28日案例4：抛物线的增减性变式1:抛物线y=3x2上有两点(x1,y1)、(x2,y2)

当x1＞x2＞0时,问y1和y2的大小关系问题.抛物线y=3x2上有两点(4,y1)、(1,y2)

问y1和y2的大小关系.变式2:抛物线y=ax2(a＜0)上有两点(x1,y1)、(x2,y2)

当x1＜x2＜0时,问y1和y2的大小关系第三十页，共三十二页，2022年，8月28日案例5：已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是

.(只需写出一个方程)(上海2005)学生尝试，教师追