初中数学北师大版九年级上册第四章　图形的相似 省赛获奖

7相似三角形的性质【知识与技能】1.理解并掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）比与相似比之间的关系.2.理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系.【过程与方法】对性质定理的探究：学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度.【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.【教学重点】相似三角形性质定理的探索及应用.【教学难点】相似三角形的性质与判定的综合应用.一、情境导入,初步认识1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？3.相似三角形还有其它的性质吗？本节我们就来探索相似三角形的其它性质.【教学说明】回顾前面所学的知识，为本节课的学习作铺垫.二、思考探究，获取新知1.如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′，又∵AD⊥BC，AD⊥B′C′∴∠ADB=∠A′D′B′=90°∴△ABD∽△A′B′D′∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.2.△ABC∽△A′B′C′,AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，AE、A′E′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AB︰A′B′=k，那么AD与A′D′、AE与A′E′之间有怎样的关系？【教学说明】学生小组内交流讨论，写出过程，教师点评.【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.探究这几个问题的目的是引导学生运用所学知识，通过合情推理，探索出相似三角形的性质.3.如图，△ABC∽△A′B′C′，=k，AD、A′D′为高线.（1）这两个相似三角形周长比为多少？（2）这两个相似三角形面积比为多少？分析：（1）由于△ABC∽△A′B′C′，所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k,由合比性质可知（AB+BC+AC)︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k；（2）由题意可知△ABD∽△A′B′D′，所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k，因此可得△ABC的面积︰△A′B′C′的面积=（AD·BC）︰（A′D′·B′C′）=k2.【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合作交流，找出解决问题的方法.【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.三、运用新知，深化理解1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且，B′D′=4，则BD的长为6.2.已知△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD=8cm,A′D′=3cm.则△ABC与△A′B′C′对应高的比为.3.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A.B.C.D.解析：由题意可知△DAO∽△DEA，∴==.所以选D.4.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的_____倍.解析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的倍.5.已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.解：设△ABC的三边依次为：BC=5,AC=12,AB=13，则∵AB2=BC2+AC2，∴∠C=90°.又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′=∠C=90°.==，∴B′C′=10,A′C′=24.∴S=A′C′×B′C′=×24×10=120.6.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF与AB的延长线交于点G.（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，∴△CDF∽△BGF.（2）解：∵△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，∴△CDF≌△BGF，∴DF=FG，CD=BG，又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AG，得2EF=AB+BG.∴BG=2EF-AB=2×4-6=2cm，∴CD=BG=2cm.【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1、布置作业：教材“习题及3.12”中第1