利用导数证明不等式方法总结及典型例题

利用导数证明不等式问题一4大解题技巧趣题引入已知函数g(x)=xlnx,设(〃+〃、证明：0<g(a)+g(Z?)-2 <(Z?-(2)ln2I2J分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。(〃+九、证明:g'(x)=InX+1,SF(x)=g(a)+g(x)-2g I2JH5二gW-2g g⑺Y=乙 乙 乙 J当0<x<a时/(x)<0,当x〉a时「(x)〉0,即方(%)在X£(0,〃)上为减函数，在X£(Q,+oo)上为增函数・••尸(x) =尸(。)=0,又b>amin・•・F(b)>F(a)=O,即式口)+久/一2 >0—L彳设GV)=g(a)+g(x)-2g(^—-)-2：.H(琦=Lnx-hi-In2=lnx-ln(3+x)当月>0时，C?1(jt)<0,因此G(为在区间(Q+oo)上为减函数；因为仔(口)=。，又b>0cG(a)=0,-■-7+K即gg)+g(R-2g(k)一(工一季)瓜2《0故式厘)+gO)-2g(匕产)工0-©出2八、——、「一一一， (a+b\综上可知，当0<a<b时，0<g(a)+g(b)-2——<(b—a)ln212)本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。技巧精髓一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。1、利用题目所给函数证明【例1】已知函数」⑴=也(工+D—K，求证：当忑二-1时，恒有1-分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数式於时+1)+占j从其导数入手即可证明。【绿色通道】尸⑺=・•・当—Imec。时，尸(0：0,即/⑺在:^(―L0)上为增函数当兀:。时，尸⑺<0,即/⑺在上为减函数故函数」㈤的单调递增区间为，单调递减区间色的)于是函数了⑵在(T”)上的最大值为八打皿二/⑼二0,因此，当c-1时，」（力《丁（5二口，即匣x+D—・・・贝元+1）Ex（右面得证），现证左面，令当xw(-1Q时,g((x)cO-^xe(Q+o涧；H⑴>0，即g⑴在工七LL0）上为减函数，在大匕（0，-K0）上为增函数，故函数目⑴在L1”）上的最小值为现幻曲二自⑼二0,...当x>-l时，虱x）2gQ）=0,即lnO+l）++-lN0...ln（x+l）Nl--!-,综上可知，当芯>-1时，有二--1<1h（i+1）<;y工+1 a+1【警示启迪】如果/㈤是函数/⑶在区间上的最大（小）值，则有（（或了之/9））,那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过U就可得证.2、直接作差构造函数证明【例2】已知函数/W=1?+lnx.求证：在区间（L+刈上，函数了（克）的图象在函数^-1式/=孑的图象的下方；分析：函数了（戈）的图象在函数打灯的图象的下方O不等式*力<g（x）问题，1P 1 ?即三产+3n工厂只需证明在区间（L+刈上，恒有工/十比兀亡六:？成立，设2 3 2 3F⑶=宫㈤-y⑶，k考（L+w），考虑到F⑴=g>0要证不等式转化变为：当兀:1时，成力二尸（D，这只要证明：或切在区间（VK◎是增函数即可。【绿色通道】设F0）=冢对一/⑶，即尸⑶=|J-；/—Inx,贝U可⑺=21二任二"空±三±2当；Y〉］时，目琼二〔工―1乂2/十工十”从克 工 X而尸（期在a+网上为增函数，，手（力o，当cl时g⑸-穴0I口，即八工”且⑴，故在区间a+刈上，函数八工）的图象一、23在函数式不二M的图象的下方。【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设巴璜二人力一式力做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元后作差构造函数证明【例3】证明：对任意的正整数n，不等式+ 』都成立.甩 «n分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令1二盯则问题转化为：题当先:。时，恒有InO+D、”-工*成立，现构造函数/工fl），求导即可达到证明。【绿色通道】4^（x）=?-?+h（x+l），贝U 3尸一2元十一^二交上上丫在x十1 x十1王匚通包）上恒正，所以函数出⑺在（QM）上单调递增，・・・工匚（。,”）时，恒有以元）〉双0）=0,即1—尸+的0+1）>0,・•・lnO+D、/—F对任意正整数n,取三=工£（。,母），则有Int匚+D与n 盟 盟岸【警示启迪】我们知道，当尸（刈在［应句上单调递增，则尤〉厘时，有"璜口尸0）.如果/⑷=飘口），要证明当X>厘时，了0）>>0）,那么，只要令尸（X）=了⑶一加工），就可以利用双幻的单调增性来推导.也就是说，在成璜可导的前提下，只要证明＞0即可.4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y二7（外在R上可导且满足不等式xfa）＞—/（月恒成立，且常数a,b满足a＞b,求证:.a"）＞b"）【绿色通道】由已知xf（XW（Xb0.•.构造函数百⑸二工八琦,则x/rW+/W＞0,从而因⑸在R上为增函数。"a＞b 侬）即ayg）＞b/@）【警示启迪】由条件移项后以'（璜+」（幻，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数=不％对，求导即可完成证明。若题目中的条件改为4r（打,则移项后不以R-以幻，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。【思维挑战】1、设金之K—1—ln口元+2厘Inx求证：当冗＞1时，恒有五：瓦窑走一2c?ln王十1,2、已知定义在正实数集上的函数汽。二;/+2依/（工）二及’由工+加其中。＞0,且上二：1-3/出口，求证：/⑴之且⑴3、已知函数/（骑=也（1+工）-7^，求证：对任意的正数修、占，1十五恒有]na-]nb＞a4、」（工）是定义在（0,+s）上的非负可导函数，且满足帮飞。一』（工）戌，对任意正数a、b,若a<b，则必有(A)af(b)<bf(a) (B)bf(a)<af(b)（C）af（a）9（b） （D）bf（b）g（a）【答案】小、-2kL工2q … 21n汇t1、提示：了⑴=1- 十——，当羌＞1,0之。时，不难证明 clXX X・•.」工»:口，即」（制在（Q卡间内单调递增，故当兀时，了（疗＞产⑴=口，.•.当时，恒有无羌一加In元十12、提示：设尸（玻二爪幻一^（不二;f+2口五一如"lnx-&则抨，（幻=兑+加一至一二坛二迎2土边（x＞0）:以二0,・・・当汇=厘时，FrO）=0,故尸（力在（”口）上为减函数，在（⑥加）上为增函数，于是函数产（力在⑪市期上的最小值是5⑷二丁㈤―烈行=口，故当忑 时，有了⑴—g⑶之口，即了⑶之目⑶[ ] X3、提示：函数的定义域为（一1一8）,尸⑴=工一门，L「一中1+K（1+X）Q+X）.,.当—1c兀c。时，尸（幻匕口，即」（幻在xw「L。）上为减函数当月＞0时，了'（幻'口，即了（工）在xE（Q+oa）上