初二数学秋直升班教师版第2讲几何变换之旋转二

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///一、“丫”字型旋转：模型1：等边三角形的“Y”字型旋转因为在旋转角为60。的旋转变换下，任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个正三角形的三个顶点，这样，对于条件中含有正三角形的平面几何问题，我们即可以考虑用旋转角为60。的旋转变换处理.旋转中心可以选取正三角形的某个顶点.模型II:等腰直角三角形的“丫”字型旋转模型II:等腰直角三角形的“丫”字型旋转因为在旋转角为90。的旋转变换下，任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个等腰直角角形的三个顶点，这样，对于条件中含有等腰直角三角形的平面几何问题，我们即可以考虑用旋转角为90。的旋转变换处理.旋转中心通常选取等腰直角三角形的直角顶点.二、三角形中的费马点:1.定义：在一'个四边形内找一'个点，使得这个点到四边形四个点的距离和最小，这个点即为四边形两条对角线的交点.在一个三角形内找一个点，使得这个点到三角形三个点的距离和最小，这个点我们称为三角形中的费马点.2.性质：(1)费马点到三角形的三个顶点的距离和最小；(2)费马点对应三边的三个张角都相等，且为120.模块一“Y”字型旋转例1内“丫”A1AKBCBC等腰直角三角形的“丫”字型旋转线“Y”BX外“丫”BX.BXcBP例2(1)如图2-1,P是等边△ABC内部一点，PC=3,PA=4,PB=5，求△ABC的边长.(2)如图2-2,在等边△ABC中，P为BC边上一点，则以AP、BP、CP为边组成的新三角形的最大内角为e，则e为多少度？(3)如图2-3，△ABD是等边三角形，在△ABC中，BC=a，CA=b，问：当/ACB为何值时，C、D两点的距离最大？最大值是多少?图2-3解析(1)将△APC绕点A逆时针旋转60。，得到△AQB.连接PQ,则/AQB=ZAPC,/PAQ=60。，AQ=AP=4,QB=PC=3,故△APQ是等边三角形，从而/AQP=60°,PQ=AP=4.在△PQB中，PQ=4,QB=3,PB=5,故/PQB=90°,/APC=/AQB=/AQP+/PQB=150°.过点C作CD±AP，交AP的延长线于点D,一一— 1 3则/CPD=30°,CD=-PC=-,2 2PD=\PC2-CD2=-<3.2因此，在母△ACD中，AC=AAD2+CD2=..'(4+1<3)2+(|)2=<25+12<3.(2)120°;(3)我们通过旋转设法将a、b、CD集中到一个三角形中.E最大值为a+b.,将△BCD绕点D逆时针旋转60°,得到△AED.连接EC,则由旋转的性质可知CD=ED,fZCDE=60°,故NDE是等边三角形，则CE=DEE最大值为a+b.,而AC=b,AE=BC=a,故CEWAC+AE=a+b.当且仅当A、C、E三点共线时等号成立，即/EAD+ZCAD=180°.此时/CAD+ZCBD=180°,/ACB=180°—/ADB=120°.因此，当ZACB=120°时，CD最大ErSI^B^ •(1)如图3-1,在正方形ABCD内有一点P，且PA=、右,PB=>2,PC=1.求/BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.(2)如图3-2,已知在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,点D是BC上的任意一点，探究：BD,CD与AD的关系，并证明你的结论.(3)如图3-3,四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角^CBD,其中/A和/C都是直角，另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABCD的面积.ADA(1)如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得△BP'A，则△BPC/△BP'A.，.APf^PC=1,BP=BP=<2,/P'BP=90。.连接PP',在及△BP'P中，:BP=BP'=22,/PBP'=90°,：.PP=2,乙BPP=45°.在△APP中，AP=1,PP'=2,AP='无,•:12+22=(<5)2，即AP2+PP2=AP2.：.△APP是直角三角形，即/APP=90°.•・ZAPB=135°.，.ZBPC=ZAP'B=135°.过点B作BE±AP交AP的延长线于点E.•・ZEPB=45°.・'.EP=BE=1.AAE=2.•.在□△ABE中，由勾股定理，得AB=<5.AZBPC=135°,正方形边长为<5.(2)探究得到的关系为：BD2+CD2=2AD2.证明：以AC为边向三角形外作/EAC=ZDAB，且AE=AD，连接DE、CE.AB=AC在△ABD和△ACE中｛ZBAD=ZCAE^AD=AEA△ABD/△ACE,ABD=CE,ZABC=ZACE「ZBAD+ZCAD=90。，又「ZBAD=ZCAEAZCAE+ZCAD=90。即ZDAE=90。，同理ZDCE=90。AED2=AD2+AE2,ED2=CD2+CE2,AAD2+AE2=CD2+CE2AAE=AD,CE=BD,AAD2+AD2=CD2+BD2,即2AD2=CD2+BD2.(3)将三角形ABC绕A点逆时针旋转90。，使B与D重合，C到。点.则有CZCDC=ZADC+ZADC'=ZADC+ZABC=180。，所以C,D,C'在同一条直线上，又因为AC=AC'.所以△ACC'是等腰直角三角形.又四边形ABCD的面积等于等腰直角△ACC'.C的面积.S四力舟abcd=SAACC'=2x2+2=2.例4ED)AED)A如图，正方形ABCD的对角线交于点O,以AD为边向外作RtAADE,ZAED=90。,连接OE,DE=6,OE=8<2，求AE的长.

EDADA解析将△AOE绕点O顺时针旋转90。，使OA和OD重合，得到△DOF,则可得OF=OE=8v2,/EOF=90。，点E、O、F三点共线，・•・EF:16Erl例5,DF=10,AE=DF・•・EF:16Erl例5如图，以RtAABC的斜边BC为一边在^ABC同侧作正方形BCEF,设正方形的中心解析AO=6<2，求AC解析AO=6<2，求AC的长.为O,在AC上截取CM=AB，连接OM,可证△ABO/△MCO,：./COM=/BOA,：.ZAOM=/BOC=90。，;AO=MO=6<2,・•・AM=12,・•・AC=AM+MC=12+4=16.模块二三角形中的费马点例6例6若P为△ABC所在平面上一点，且ZAPB=/BPC=/CPA=120。，则点P叫做△ABC的费马点.如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB'连接BB'.求证：BB'过^ABC的费马点P，且BB'=PA+PB+PC.使/BPC=120。，连接AP,再在PB'上截取PE=PC，连接CE.・•・/EPC=60。，・・.△PCE为正三角形，•・PC=CE,/PCE=60。，/CEB'=120°,「△ACB'为正三角形，・•・AC=B'C,/ACB'=60°,•・/PCA+ZACE=/ACE+/ECB'=60°•・/PCA=/ECB，，△ACP/△B'CE.•・ZAPC=/B'EC=120°,PA=EB',；.ZAPB=ZAPC=/BPC=120°,•・P为△ABC的费马点，・•・BB'过△ABC的费马点P,例7且BB'=EB+PB+PE=PA+PB+PC.例7卜〉如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN、AM、CM.求证：△AMB^AENB；①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由;当AM+BM+CM的最小值为v-3+1时，求正方形的边长.

解析解析(1)证明：:△ABE是等边三角形，•BA=BE,/ABE=60。.丁ZMBN=60。，•ZMBN—ZABN=ZABE—ZABN.即ZMBA=ZNBE.又:MB=NB,•△AMB/△ENB(SAS).(2)①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小.②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小.理由如下：连接MN，由(1)知，△AMB/△ENB,AM=EN，丁ZMBN=60。，MB=NB,•△BMN是等边三角形.•BM=MN.AM+BM+CM=EN+MN+CM.根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短・•.当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长.(3)过E点作EF1BC交CB的延长线于F,•ZEBF=ZABF—ZABE=90。一60。=30。.3设正方形的边长为x，则3设正方形的边长为x，则BF=—x2在RtAEFC中，丁EF2+FC2=EC2,xEF=-.2，丫“工3 ¥•一+--x+x后常祸战解得，x二衣,解析后常祸战解得，x二衣,解析x2=—、.5(舍去负值)..•.正方形的边长为G.(金牛区期末)如图，矩形纸片ABCD(AD>AB)中，将它折叠，使点A与C重合，在矩形ABCD中，AB=600,BC=1000,P是内部一点，Q是BC边上任意一点，试确定点P、Q的位置，使得PA+PD+PQ最小，并求出这个最小值.点Q是BC边的中点，点P在AD的中垂线上且满足ZADP=120。.最小值为600+500<3.

演练1L»»复习巩固模块一“Y”字型旋转如图，△ABC为等边三角形，以AB演练1L»»复习巩固模块一“Y”字型旋转如图，△ABC为等边三角形，以AB为对角线作矩形ADBE,点、E在^ABC内部，连接EC,若/BEC=150。，EC=1,则4ABC的边长为.已知：PA=五,PB=4，以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB如图1,过点A作AE±PB于点E.「ZAPB=45。，.・.△APE是等腰直角三角形.;PA=、，2,PB=4，二AE=PE=1,BE=3,,.AB=、AE2+BE2=>10.如图2,将△APD绕点A顺时针旋转90。至△APB，连接P'P，则△APP'是等腰直角三角形.;PA=22，二PP=2，丁ZAPB=45。，•・ZBPP=90。，.・.△BPP'是直角三角形•・BP=\PP'2+BP2=、；22+42=2v5显然，△APD9^APBB，,PD=BP=2v5模块二三角形中的费马点如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD,/BAD=60。,BC+DC=AC.（思想：以D为旋转中心将△ACD旋转60。到△BED）如图所示，延长BC至E，使CE=CD.连接DE，由/BCD=120°可知/DCE=60。，又由CE=CD可知NDE为等边三角形，即有DE=CD=CE,/CDE=60°.又因AB=AD,/BAD=60°,连接BD，可知△ABD为等边三角形，即AB=AD=BD/BDA=60°.在△ACD和△BED中，由ZADB=/CDE可得：AADC=ZADB+/BDC=/CDE+/BDC=/BDE.而AD=BD,CD=DE，故△ACD/△BED.于是AC=BE=BC+CE=BC+CD，即BC+DC=AC.,演练4演练4►»>已知O是^ABC内一点，ZAOB=/BOC=/COA=120°；P是4ABC内任一点，求证：PA+PB+PC三OA+OB+OC.（O为费马点）以B为旋转中心，60°为旋转角，将点P、O、C分别旋转到点P'、O'、C,连接OO，、PP二则△