初中数学正方形

已知正方形ABCD的边长为1,直线1”直线UL与I2之间的距离为一「I2与正方形ABCD的边总有交点。（1）如图（1）,当1JAC于点A,12，AC交边DC、BC分别于E、F时，求^EFC的周长；（2）把图（1）中的11与12同时向右平移x个单位，得到图（2）,问^EFC与4AMN的周长的和是否随x的变化而变化，若不变，求出^EFC与4AMN的周长的和；若变化，请说明理由；（3）把图（2）中的正方形绕点O逆时针旋转a,得到图（3）,问4EFC与4AMN的周长的和是否随a的变化而变化，若不变，求出^EFC与4AMN的周长的和；若变化，请说明理由。解：（1）如图（1）,・・•正方形ABCD的边长为1,.，.AC/又•・•直线L〃直线12,1］与12之间的距离为1,.•.CG=/-1,;.EF=2^-2,EC=CF=2-陋.•.△EFC的周长为EF+EC+CF=2；I2F（2）AEFC与4AMN的周长的和不随x的变化而变化，如图（2）,把1/12向左平移相同的距离，使得乙过4点，I2F即L平移到14,12平移到13,过E、F分别作13的垂线，垂足为R,G可证△AHM04ERP,4AHN04FGQ.\AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ/.△EFC与AAMN的周长的和为^CPO的周长，由已知可计算^CPQ的周长为2./△EFC与4AMN的周长的和为2；

(3)4EFC与4AMN的周长的和不随a变化而变化，如图(3),把l1、l2平移相同的距离，使得11过A点，即11平移到l4，l2平移到l3,F分别作13的垂线，垂足为R,S,过A作l1的垂线，垂足为H,可证△AHM04FSQ,4AHN04ERP.\AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=PR•••△EFC与AAMN的周长的和为^CPO的周长，如图(4),过A作l3的垂线，垂足为T连接AP、AQ可证△APT04APD,4AQT04AQB,ADP=PT,BQ=TQ.•.△CPQ的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2...△EFC与AAMN的周长的和为2附如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的对称中心，边MN与边AB交于F,边AD与边QM交于E.附(1)在图1中求证：ae+af=V3am；(2)如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且NQMN=NCBA=60°,其他条件不变，则在图2中线段AE,AF与AM的关系为；(3)在(2)的条件下，若菱形MNPQ在绕着点M运动的过程中，点E,F分别在边AD,AB所在直线上时，已知菱形ABCD的边长为4,AE=1,求^AFM的面积.解：(1)..•正方形ABCD和正方形QMNP,M为正方形ABCD的中心,.\ZMDA=ZBAM=45°,MD=MA,ZAMD=ZQMN=90°,.\ZAMD-ZAME=ZQMN-ZAME,IPZDME=ZFMA,2QME=AFMA\DM=AM在△DME和AFMA中，।/皿七=,,\ADME=AFMA(ASA),ADE=AF,.•.AE+AF=AE+ED=AD,在Rt^AMD中，sin/MDA:sin45°=। =匕，即AD三二AM,则AE+AF=3=AM；(2)在图2中线段AE,AF与AM的关系为：AE+AF=AM,理由为：取AD的中点K,连接MK,IM为菱形的中心，即M为DB中点，.KM为三角形ABD的中位线，.\KM=JAB,,・,菱形ABCD,M为菱形的中心，.•・AM平分/BAD,BM平分NABC,又•「NCBA=60°,.•・/BAD=120°,11.\ZBAM=ZMAP=JZBAD=60°,ZABM=JZABC=30°,••・/A乂8=90°,即三角形ABM为直角三角形，1.\AM=JAB,.KM二AM,又/MAP=60°,.△AKM为等边三角形，.\KM=AM=AK,ZMKA=ZKME=60°,.\ZMKE=ZMAF=60°,图3.\ZKME+ZEMA=60°,ZEMA+ZAMF=60°,图3.\ZKME=ZAMF,^KME="MF*KM=AM在^KME和^AMF中，। 卜，/.△KME^AAMF(ASA),.\KE=AF,则AM二AK=AE+KE=AE+AF.故答案为：AM=AE+AF；(3)\•菱形ABCD的边长为4,AAB=BC,又NABC=60°,/.△ABC为等边三角形，.\AC=AB=BC=4,又M为AC中点，1.•・AM=£aC=2,又AE=1,由(2)得出的结论AM=AE+AF,可得AF=1,=AV・^MAE=MAF在AAME和^AMF中，,./△AME^AMF(SAS),...△AME与^AMF的面积相等，过M作MH，AD,连接AM,•・•四边形ABCD是菱形，..AM±BD,在Rt^ADM中，AD=4,AM=2,根据勾股定理得：DM=2二:，在Rt^DMH中，NMDH=30°,1?.mh=jdm=E2,1亚..・====皿・皿=二.

如图，正方形ABCD的边长为6.以直线AB为x轴、AD为y轴建立坐标系，菱形EFGH的三个顶点H、E、G分别在正方形ABCD边DA、AB、CD上，已知AH=2。(1)如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；(2)设DG=x,请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；(3)设点F的横坐标为m.问：m有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由。.*.DG=EM=x,FM=DH=4,・•.在RSEFM中,

・•.在Rt^AEH中，/.Mf=