2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：选修4-5 不等式选讲

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，贝yla+bIWIal+lbl,当且仅当ab三0时，等号成立.定理2：如果a,b,c是实数，那么Ia—cIWIa—bI+Ib—cI,当且仅当(a—b)(b—c)20时,等号成立.；IaI-IbKIa-bKIaI+IbI,当且仅当IaI^IbI且ab三0时，左边等号成立，当且仅当abWO时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)IxI<a与IxI>a型不等式的解法不等式a>0a=0a<0IxIva{xI—a<x<a}00IxI>a{xIx>a或x<—a}{xIxWR且xMO}R⑵Iax+bKc(c>0)和Iax+bI2c(c>0)型不等式的解法：Iax+bKcO—cKax+bKc；Iax+bI三cOax+b三c或ax+bK—c.Ix—aI+Ix—bI三c和Ix—aI+Ix—bIKc型不等式的解法及体现数学思想利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想考点一绝对值不等式的解法［典例］(2016・全国卷I)已知函数fx)=lx+llT2x—31.(1)画出y=f((1)画出y=f(x)的图象；⑵求不等式lfx)l>1的解集.［解］<(1)由题意得f(x)=x—4,xW—1,一33x—2,—1<xW2,<—x+4,x>2,故y=f(x)的图象如图所示.(2)(2)由fx)的函数表达式及图象可知,当f(x)=1时，可得x=1或x=3;当f(x)=—1时，可得x=3或x=5.故f(x)>1的解集为{xl1<x<3},f(x)<—1的解集为<x|x<|或x>5>.所以l所以lfx)l>1的解集为bxvg或1<x<3或x>5［题组训练］［题组训练］1.解不等式lx+1l+lx—1lW2.解：当x<—1时，原不等式可化为一x—1+1—xW2,解得x±—1,又因为xv—1,故无解；当一1WxW1时，原不等式可化为x+1+1—x=2W2,恒成立；当x>1时,原不等式可化为x+1+x—1W2,解得xW1,又因为x>1,故无解；综上，不等式lx+11+lx—1IW2的解集为[—1,1].2.(2019・沈阳质检)已知函数fx)=lx—al+3x,其中a^R.当a=1时，求不等式f(x)23x+I2x+1I的解集；若不等式f(x)WO的解集为｛xIxW—1｝，求a的值.解：(1)当a=1时,f(x)=lx—1l+3x.法一：由f(x)三3x+I2x+1I，得lx—1I—I2x+1I三0,当x>1时，x—1—(2x+1)三0,得xW—2,无解；当一gwxW1时，1—x—(2x+1)三0,得一^WxWO;当x<—2时，1—x—(—2x—1)20,得一2Wx<—2，・•.不等式的解集为｛xl—2WxW0｝.法二：由f(x)23x+I2x+1I，得lx—1l2l2x+1I,两边平方,化简整理得x2+2xW0,解得一2WxW0,・•.不等式的解集为｛xl—2WxW0｝.x2a,fxva,TOC\o"1-5"\h\z⑵由lx—aI+3xW0,可得｛或｛4x—aW0[2x+aW0,x2a,xva,即<a或^axWj[xw_2，当a>0时，不等式的解集为<xxW—^>.a由一2=—1，得a=2.当a=0时，不等式的解集为｛xIxW0｝，不合题意.当a<0时，不等式的解集为<xx<4>•

由4=—1，得a=—4.综上，a=2或a=—4.考点二绝对值不等式性质的应用［典例］(2019・湖北五校联考)已知函数fx)=l2x—11,x^R.(1)解不等式f(x)<|x|＋1；⑵若对x,yWR,有lx—y—1IW*，l2y+1lW*,求证：f(x)v1.[解](1)Vf(x)<IxI+1,AI2x—1I<IxI+1,即严，、2x即严，、2x—1<x+10<x<2,、1—2x<x+1或严0，、1—2x<—x＋1，得fwx<2或0<x<2或无解.故不等式f(x)<IxI+1的解集为{xI0<x<2}.(2)证明：fx)=I2x—1I=I2(x—y—1)+(2y+1)IWI2(x—y—1)I+I2y+1I=2Ix—y—1I+I2y+1I<2xi+6=l<1.故不等式f(x)V1得证.［解题技法］绝对值不等式性质的应用利用不等式Ia+bIWIaI+IbI(a,b^R)和Ia—bIWIa—cI+Ic—bI(a,b^R),通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式.[题组训练]求函数f(x)=Ix+2019I—Ix—2018I的最大值.解：因为f(x)=Ix+2019I—Ix—2018IWIx+2019—x+2018I=4037,所以函数f(x)=Ix+2019I—Ix—2018I的最大值为4037.若xW[—1,1],IyIW*,IzIW*，求证：Ix+2y—SzIW*.证明：因为xW[—1,1],IyIW*,IzIW*,所以Ix+2y—3zIWIxI+2lyI+3IzIW1+2x6+3X*=3,所以lx+2y—3zl^3成立.考点三绝对值不等式的综合应用

［典例］(2018・合肥质检)已知函数f(x)=\2x~1\.⑴解关于x的不等式fx)—fx+1)W1；(2)若关于x的不等式fx)vm—fx+1)的解集不是空集，求m的取值范围.［解］(1)fx)—fx+1)W1o\2x—1\—\2x+1\W1,心2,心2,11—2<x<2,x<—2,、1—2x+2x+1W1,、2x—1—2x—1W1、1—2x+2x+1W1,解得x±2或一4wx<2即x^—4，所以原不等式的解集为一4，+^).(2)由条件知，不等式\2x—1\+\2x+1\vm有解，则m>(\2x—1\+\2x+1\)min即可.由于\2x—1\+\2x+11=\1—2x\+\2x+1\三\1一2x+(2x+1)1=2，当且仅当(1—2x)(2x+1)三0，即xW—2，2时等号成立，故m>2.所以m的取值范围是(2，+^).［解题技法］两招解不等式问题中的含参问题(1)转化把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题;不等式的解集为0的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题,即fx)Va恒成立Oa>fx)max，fx)>a恒成立oa<fx)m，n.(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：利用绝对值的几何意义；利用绝对值三角不等式，即\a\+\b\三\a土b\三\\a\—\b\\；利用零点分区间法．［题组训练］1.(2018・全国卷II)设函数fx)=5—\x+a\—lx—21.当a=1时，求不等式fx)20的解集；若fx)W1,求a的取值范围.2x+4，x<—1，解：(1)当a=1时，fx)=<2，—1WxW2，、—2x+6，x>2.当x<—1时，由2x+420，解得一2Wxv—1，

当一lWxW2时，显然满足题意，当x>2时，由一2x+6三0,解得2<xW3,故fx)20的解集为{xl—2WxW3}.(2fx)W1等价于lx+al+lx—2124.而lx+al+lx一21三la+21，且当x=2时等号成立.故f(x)W1等价于la+2l±4.由la+2l±4可得aW_6或a三2.所以a的取值范围是(一°°，一6］U［2，+^).2.(2018•广东珠海二中期中)已知函数f(x)=lx+ml+l2x-1l(m£R)，若关于x的不等式3f(x)Wl2x+1l的解集为A，且匕，2_|CA,求实数m的取值范围.解：2住A,TOC\o"1-5"\h\z_31、当xW4，2时，不等式f(x)Wl2x+1l恒成立，\o"CurrentDocument"「31、即lx+ml+l2x一1lWl2x+1l在xW4，2上恒成立，lx+ml+2x一1W2x+1,「31即lx+mlW2在xW4,2上恒成立，一2Wx+mW2,\o"CurrentDocument"「31一、、一x一2WmW—x+2在xW4,2上恒成立,¥，0•••(—X—^maxW/WLx+¥，0.•.一¥wmW0,故实数m的取值范围是［课时跟踪检测］1.求不等式l2x—1l+l2x+1lW6的解集.解：原不等式可化为］1解：原不等式可化为］1x<—2,或］-昙卍，、1、1—2x—2x—1W6、1一2x+2x+1W6、2x—1+2x+1W6.33解得一2<x<2^即原不等式的解集为b即原不等式的解集为b33〕-2^x<31已知函数fx已知函数fx)=lx—41+lx—al(aWR)的最小值为a.求实数a的值；解不等式f(x)W5.解：(l)fx)=lx—4l+lx—al三la—4l=a,从而解得a=2.—2x+6,xW2,⑵由⑴知，f(x)=lx—41+lx—21=*,2VxW4,、2x—6,x>4.故当xW2时，由一2x+6W5,得#WxW2；当2<xW4时，显然不等式成立；当x>4时，由2x—6W5，得4<%w¥,[111〕故不等式f(x)W5的解集为若2WxWy1.(2018・全国卷I)已知f(x)=lx+1l—lax—ll.(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；⑵若x£(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.解：(1)当a=1时，fx)=lx+1l—lx—1l,—2,xW—1,即f(x)="2x,—1<x<1,、2,x21..f1〕故不等式fx)>1的解集为(xx>21.(2)当x^(0,1)时lx+1l—lax—1l>x成立等价于当x^(0,1)时lax—1l<1成立.若aW0,则当xG(0,1)时，lax—1l21;若a>0,则lax—1l<1的解集为(x0<x<_1,a2所以_三1,故0<aW2.a综上，a的取值范围为(0,2].4.设函数fx)=l3x—1l+ax+3.(1)若a=1,解不等式fx)W4；(2)若fx)有最小值，求实数a的取值范围.解：(1)(2)若fx)有最小值，求实数a的取值范围.解：(1)当a=1时，fx)=l3x—ll+x+3W4,即l3x—llWl—x,x—1W3x—1Wl—x,解得OWxW*,所以fx)W4的解集为［o,2|.I(3+a)x+2,(2)因为fx)=<<(a—3)x+4,1fa+3^0,所以fx)有最小值的充要条件为｛解得一3WaW3,［a—3W0,即实数a的取值范围是［—3,3］．(2019・贵阳适应性考试)已知函数fx)=lx—21—lx+1l.解不等式f(x)>－x；若关于x的不等式fx)Wa2—2a的解集为R，求实数a的取值范围.解：⑴原不等式等价于fx)+x>0,不等式fx)+x>0可化为lx—2l+x>lx+1l,当x<—1时，一(x—2)+x>—(x+1)，解得x>—3,即一3<x<—1;当一1WxW2时，一(x—2)+x>x+1,解得x<1,即一1Wx<1;当x>2时，x—2+x>x+1,解得x>3，即x>3,综上所述，不等式fx)+x>0的解集为｛xl—3<x<1或x>3｝.(2)由不等式fx)Wa2—2a可得lx—2l—lx+1lWa2—2a,Vlx—2l—lx+1lWlx—2—x—1l=3,当且仅当xW(—g,—1］时等号成立，.°.a2—2a三3,即a2—2a—3三0,解得aW—1或a三3.・•・实数a的取值范围为(一g,—1］U［3,+s).已知函数fx)=lx—al+lx+1l.若a=2,求不等式fx)>x+2的解集；如果关于x的不等式fx)V2的解集不是空集，求实数a的取值范围.—2x+1,xV—1,解：(1)当a=2时，fx)=<3,—1WxV2,、2x—1,x22.不等式fx)>x+2等价于<xV—1,—2x＋1>x＋2—1WxV2,3>x＋2或严2，［、2x—1>x＋2解得xV1或x>3,故原不等式的解集为{xIxVl或x>3}.(2)°.fx)=lx—aI+Ix+1I三I(x—a)—(x+1)I=Ia+1I，当(x—a)(x+1)W0时取等号.・•・若关于x的不等式fx)V2的解集不是空集，只需Ia+1I<2,解得一3<a<1,即实数a的取值范围是(一3,1).7.已知函数fx)=I2x—aI+a.当a=2时，求不等式fx)W6的解集；⑵设函数g(x)=I2x—1I.当x£R时，fx)+g(x)23，求a的取值范围.解：(1)当a=2时，fx)=I2x—2I+2.解不等式I2x—2I+2W6，得一1WxW3.因此fx)W6的解集为{xI—1WxW3}.当xWR时，fx)+g(x)=I2x—aI+a+I1—2xI三3,1--1--。一2-xmina1x—2+2—x即3—a3一3一0一2-1-2~，解得a三2.所以a的取值范围是［2,+^).8.(2018.福州质检)设函数f(x)=Ix—1I,x£R.求不等式fx)W3—fx—1)的解集；已知关于x的不等式fx)Wfx+1)—Ix—aI的解集为M,若T1,2)—M,求实数a的取值范围.「1WxW2,1W3解：(1)「1WxW2,1W3x<1,所以Ix-^3-Ix-2I°Ix-1I+Ix-2拓3°〔3—2xW3x>2,2x—3W3,解得0Wxv1或1WxW2或2<xW3,所以0WxW3,故不等式fx)W3—fx—1)的解集为[0,3].(2)因为(1,D—M,所以当xW(1,2)时，fx)Wfx+1)—Ix—aI恒成立,而f(x)Wf(x+1)—lx—aloix—II—lxl+lx—alWOoix—alWIxl—lx—II,因为xw(1,2),所以lx—alW1,即x—1WaWx+1,由题意，知x—1WaWx+1对于任意的xw(1,2)恒成立，所以|<aW2,故实数a的取值范围为|,2.第二节不等式的证明一、基础知识l．基本不等式定理1：如果a,b^R,那么a2+b2±2ab,当且仅当a=b时，等号成立.定理2：如果a,b>0,那么今M而，当且仅当a=b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.a-1-b~I~c3⑶定理3：如果a,b,cWR卡那么一3一三引赢，当且仅当a=b=c时，等号成立.比较法作差法的依据是：a－b>0a>b.作商法：若B>0,欲证A三B，只需证B三1.综合法与分析法综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立.考点一比较法证明不等式［典例］已知函数f(x)=x—*+x+2，M为不等式fx)V2的解集.求M；证明：当a,b^M时,la+blVIl+abl.1-2-1-2-Wx1［解］(lfx尸•y1--

xV1--2x,乳三夕当xW—*时，由fx)V2,得一2xV2,解得x>—1;

当一2<x<2时，fx)V2恒成立；当x±2时，由fx)V2，得2xV2,解得xVl.所以fx)V2的解集M={xl—lVxVl}.(2)证明：由(1)知，当a,bGM时，一lVaVl,—lVbVl,从而(a+b)2一(l+ab)2=a2+b2—a2b2—l=(a2—l)(l—b2)V0.因此la+blVll+abl.［题组训练］l.当p,q都是正数且p+q=l时，求证：(px+qy)2Wpx2+qy2.解：(px+qy)2—(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy—(px2+qy2)=p(p—l)x2+q(q—l)y2+2pqxy.因为p+q=l，所以p—1=—q，q—1=—p.所以(px+qy)2—(px2+qy2)=—pq(x2＋y2—2xy)=—pq(x—y)2.因为p，q为正数，所以—pq(x—y)2<0，所以(px+qy)2px2+qy2.当且仅当x=y时，不等式中等号成立.a+ba-b2，2•求证：当a>0,b>0时，aabb三(ab)a-b2，证明：•.・—皿a+b当a=b时o=b2=l，当a=b时o=b2=l，a.当a>b>0时，当b>a>0当b>a>0时，小a-0<0,a—b(a\z2<°，弋丿2>lj:.aabb三(ab)a+b2考点二综合法证明不等式［典例］(20l7・全国卷II)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(l)(a+b)(a5+b5)24；

(2)a+bW2.［证明］(l)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2—2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2—b2)224.(2)*.*(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3一，一-,，-、一一,3(a+b)2，-、=2+3ab(a+b)W2+4(a+b)=2=2+3(a+b)34.°.(a+b)3W8,因此a+bW2.［解题技法］综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．［题组训练］设a,b,c,d均为正数，若a+b=c+d,且ab>cd，求证：\/a+j'b>\；c+\；d.证明：因为⑴a+pb)2=a+b+2”Jab,(\：c+pd)2=c+d+2”Jcd.由题设a+b=c+d,ab>cd得(*a+\_；b)2>(\；'c+、；d)2.因此岑3+fb>\；c+\''d.(2018・湖北八校联考)已知不等式lxl+lx—3l<x+6的解集为(m,n).求m，n的值；若x>0，y>0，nx＋y＋m=0，求证：x＋y216xy.解：(1)由lxl+lx—3l<x+6,x±3x±3,x+x—3<x+6或］0<¥<33<x+6或严0，—x+3—x<x+6,解得一1<x<9,.°.m=—1,n=9.(2)证明：由(1)知9x+y=1,又x>0,y>0,(9x(9x+y)=10+x+¥学=6y9x11当且仅当X=/,即x=12y=4时取等号,•••1+•••1+A16,即x+y216xy.考点三分析法证明不等式［典例］(2019.长春质检)设不等式llx+ll—lx—1IIV2的解集为A.(1)求集合A；⑵若a⑵若a,b,c^A，求证:1—abc>1.2,x21,［解］(1)由已知，令f(x)=lx+1l-lx~1l=\2x,~1<x<1,、一2,xW—1,由lfx)l<2,得一1<x<1,即A={x—1<x<1}.-1—abc十(2)证明：要证血一c>1,只需证l1一abcl>lab—cl,即证1+a2b2c2>a2b2+c2，即证1一a2b2>c2(1—a2b2),即证(1—a2b2)(1—c2)>0,由a,b,c^A，得—1<ab<1,c2<1，所以(1—a2b2)(1—c2)>0恒成立.综上，1综上，1—abc>1.［解题技法］分析法证明不等式应注意的问题注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．注意恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．［题组训练］已知a>b>c，且a+b+c=0,求证：pb2—ac<\'3a.证明：由a>b>c且a+b+c=0,知a>0，c<0.要证b2—ac<J3a,只需证b2—ac<3a2.*.*a+b+c=0,A只需证b2+a(a+b)<3a2,即证2a2—ab—b2>0，即证(a—b)(2a+b)>0,即证(a—b)(a—c)>0.*.*a>b>c,.*.a—b>0,a——c>0,(a—b)(a—c)>0显然成立，故原不等式成立.已知函数fx)=lx+1l.(1)求不等式fx)Vl2x+1l—1的解集M；(2)设a,bWM，求证：f(ab)〉f(d)_f(—b).解：(1)由题意，Ix+llvl2x+l|—1,当xW—1时，不等式可化为一x—1V—2x—2,解得xV—1;当一1VxV—*时，不等式可化为x＋1V—2x—2，此时不等式无解；当x±—2时，不等式可化为x+1V2x，解得x>1.综上，M={xIxV—1或x>1}.(2)证明：因为f(a)—f(—b)=la+1l—I—b+1IWIa+1—(—b+1)l=la+bl，所以要证f(ab)>f(a)—f(—b)，只需证lab+1l>la+bl，即证Iab+1l2>la+bl2，即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，即证a2b2—a2—b2＋1>0，即证(a2—1)(b2—1)>0.因为a，bWM，所以a2>1，b2>1，所以(a2—1)(b2—1)>0成立，所以原不等式成立.［课时跟踪检测］已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，试用分析法证明：ZB为锐角.证明：要证ZB为锐角，只需证cosB>0，所以只需证a2＋c2—b2>0，即a2+c2>b2，因为a2+c2±2ac，所以只需证2ac>b2，由已知得2ac=b(a+c).所以只需证b(a+c)>b2，即a+c>b，显然成立.所以ZB为锐角.若a>0,b>0,且a+b=\；ab.(1)求a3+b3的最小值；(2)是否存在a,b使得2a+3b=6?并说明理由.112解：⑴由讥*尹产而，得ab三2,仅当a=b="』2时等号成立.故a3+b322\；a3b324j2,仅当a=b=、G2时等号成立.所以a3+b3的最小值为4p2.(2)由(1)知，2a+3b22p6./0b24./5.由于4\打>6,从而不存在a，b使得2a+3b=6.(2019・南宁模拟)(1)解不等式Ix+1l+lx+3lv4；⑵若a,b满足(1)中不等式，求证：2la-bl<lab+2a+2bl.解：(1)当xv—3时，lx+1l+lx+3l=—x-1-x-3=-2x-4<4,解得x>—4,所以－4<x<－3；当一3Wx<—1时，lx+1l+lx+3l=—x—1+x+3=2<4恒成立，所以一3Wx<—1;当x2—1时，lx+1l+lx+3l=x+1+x+3=2x+4<4，解得x<0，所以一1Wx<0.综上，不等式lx+1l+lx+3lv4的解集为{xl—4vx<0}.(2)证明：因为4(a—b)2—(ab＋2a＋2b)2=—(a2b2＋4a2b＋4ab2＋16ab)=—ab(b＋4)(a＋4)v0，所以4(a—b)2v(ab＋2a＋2b)2，所以2la—blvlab＋2a＋2bl.(2018・武昌调研)设函数f(x)=lx-2l+2x-3,记f(x)W—1的解集为胚⑴求M；(2)当x£M时，求证：xfx)]2—xfx)WO.fx—1，xW2,解：(1)由已知，得f(x)=\3x—5,x>2・当xW2时，由f(x)=x—1W—1,解得xWO,此时xWO;当x>2时，由f(x)=3x—5W—1,4解得x<3，显然不成立.故fx)W—1的解集为M={xlxW0}.(2)证明：当x£M时，fx)=x—1,于是x[f(x)]2—x2fx)=x(x—1)2—x2(x—1)=—x2+x=—(^—2^2+4.

x_2)2+4则函数g(x)在(一8,0］上是增函数,.•・g(x)Wg(0)=0.故xf(x)]2—x2f(x)W0.5.(2019・西安质检)已知函数fx)=l2x—ll+lx+ll.(1)解不等式fx)W3；3⑵记函数g(x)=f(x)+lx+1l的值域为M若t丘M,求证：t2+1三；+3t.—3x,xW—1,解：(1)依题意，得fx)=<2—解：(1)依题意，得fx)=、3x,x±2‘••・fx)W3—••・fx)W3—3xW3—1<x<2,或］、2—xW3、3xW3,解得一1WxW解得一1WxW1,即不等式fx)W3的解集为{xl—1WxW1}.(2)证明：g(x)=fx)+lx+1l=l2x—1l+l2x+2l三I2x—1—2x—2l=3,当且仅当(2x—1)(2x+2)W0,即一1WxW1时取等号，.M=[3,＋8).t2+1—3t—3=t3—3t2+t—3=(